Сокращенное умножение
<<  Формулы сокращенного умножения Разделение под действием сил разности давления  >>
Метод конечных разностей для решения уравнений динамики приливов
Метод конечных разностей для решения уравнений динамики приливов
Актуальность задачи
Актуальность задачи
Постановка задачи
Постановка задачи
Граничные условия
Граничные условия
Что было сделано до…
Что было сделано до…
Сетка на области
Сетка на области
Аппроксимация градиента
Аппроксимация градиента
Аппроксимация дивергенции
Аппроксимация дивергенции
Корректность аппроксимации
Корректность аппроксимации
Формула Гаусса-Остроградского
Формула Гаусса-Остроградского
Разностное уравнение
Разностное уравнение
Сеточная задача
Сеточная задача
Сходимость метода
Сходимость метода
Алгоритм решения задачи на шаге по времени
Алгоритм решения задачи на шаге по времени
Равномерная сетка
Равномерная сетка
Матрица для равномерной сетки
Матрица для равномерной сетки
Численный эксперимент
Численный эксперимент
Результаты
Результаты
Видео
Видео
Заключение
Заключение
Дополнение
Дополнение
Достоинства разностного подхода
Достоинства разностного подхода

Презентация: «Метод конечных разностей для решения уравнений динамики приливов». Автор: hydra-1. Файл: «Метод конечных разностей для решения уравнений динамики приливов.ppt». Размер zip-архива: 1394 КБ.

Метод конечных разностей для решения уравнений динамики приливов

содержание презентации «Метод конечных разностей для решения уравнений динамики приливов.ppt»
СлайдТекст
1 Метод конечных разностей для решения уравнений динамики приливов

Метод конечных разностей для решения уравнений динамики приливов

доклад Друцы А.В.

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова механико-математический факультет

2 Актуальность задачи

Актуальность задачи

Решение уравнений динамики мелкой воды позволяет моделировать динамику длинных волн (~10 км) на поверхности океана. Решение данной задачи актуально и используется при моделировании течений прогнозе погоды оценки возникновения цунами расчёта влияния приливных волн экология: распространения вредных примесей разработке нефти на шельфе Кроме этого задача является частью математической модели динамики океана. моделирование краевых условий на поверхности океана

3 Постановка задачи

Постановка задачи

Линеаризованная система динамики мелкой воды:

Обозначения: u=(u,v) – вектор скорости. ? – высота волны.

4 Граничные условия

Граничные условия

5 Что было сделано до…

Что было сделано до…

Сохранение баланса на ячейке в сеточном случае

Неструктурированная сетка

Использовался метод конечных элементов с неконформными элементами Равьяра-Тома.

6 Сетка на области

Сетка на области

Ok3

Ok1

Xk3

Xk1

Ok

Xk2

Ok2

7 Аппроксимация градиента

Аппроксимация градиента

Ok3

Ok1

Xk3

Xk1

Ok

Xk2

Хj – j-ый единичный орт декартовой системы координат.

SOk

Ok2

Nk? – внешняя нормаль к треугольнику ok к стороне с серединой xk?.

lk1

8 Аппроксимация дивергенции

Аппроксимация дивергенции

Xi

Xm

Xj

Si

li

O?(i,1)

O?(i,2)

9 Корректность аппроксимации

Корректность аппроксимации

Введём скалярные произведения:

В этом скалярном произведении определённые выше сеточные операторы градиента и дивергенции сопряжены, т.е. доказано следующее соотношение:

10 Формула Гаусса-Остроградского

Формула Гаусса-Остроградского

Также верен сеточный аналог формулы Гаусса-Остроградского:

- Треугольник с центром ok

11 Разностное уравнение

Разностное уравнение

Аппроксимация по неявной схеме, с шагом по времени ?.

12 Сеточная задача

Сеточная задача

После исключения из первых двух уравнений скоростей и подстановке в третье уравнение получается система:

(1)

Xj2

Xi

Xj3

Xj1

Xj4

13 Сходимость метода

Сходимость метода

14 Алгоритм решения задачи на шаге по времени

Алгоритм решения задачи на шаге по времени

Алгоритм решения задачи на шаге по времени: Берём начальные условия (u0, v0, ?0). Решаем систему (1) каким-нибудь стандартным методом (например, методом би-сопряжённых градиентов) и получаем значения высоты волны на верхнем слое. Найденные значения высоты волны подставляем в выражения для скорости и находим значения скоростей на верхнем слое. Повторяем шаги 2 и 3, пока мы не выполним нужное количество итераций.

15 Равномерная сетка

Равномерная сетка

?3

?1

?2

?4

5

1

Аппроксимации

4

3

6

2

7

9

8

- Номер треугольника

- Номер потокового узла

16 Матрица для равномерной сетки

Матрица для равномерной сетки

17 Численный эксперимент

Численный эксперимент

Данные.

Начальные данные и константы.

18 Результаты

Результаты

t=0.

t=0.1

t=0.2

t=0.3

t=0.4

t=0.5

19 Видео

Видео

20 Заключение

Заключение

Построена аппроксимация исходной задачи на неструктурированных сетках, сохраняющая свойства дифференциальной задачи. Доказано, что построенная разностная схема сохраняет баланс на ячейке, то есть поток жидкости через границу треугольников сохраняется. Построен итерационный алгоритм решения задачи на шаге по времени; показано, что возникающая при аппроксимации система уравнений является системой с М-матрицей. Доказана устойчивость решения по начальным данным.

21 Дополнение

Дополнение

22 Достоинства разностного подхода

Достоинства разностного подхода

вычислительные формулы проще, чем элементы Равьяра-Тома при использовании разностной схемы автоматически выполнено условие баланса на ячейке быстросходящийся метод легче встраивать в готовые пакеты программ.

«Метод конечных разностей для решения уравнений динамики приливов»
http://900igr.net/prezentacija/matematika/metod-konechnykh-raznostej-dlja-reshenija-uravnenij-dinamiki-prilivov-191914.html
cсылка на страницу
Урок

Математика

71 тема
Слайды
900igr.net > Презентации по математике > Сокращенное умножение > Метод конечных разностей для решения уравнений динамики приливов