Интегралы
<<  Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования Вычисление площади с помощью интеграла  >>
Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема:
Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема:
§4
§4
1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку)
1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку)
Таким образом, по определению (1) При этом, если предел в правой части
Таким образом, по определению (1) При этом, если предел в правой части
Если y = f(x) непрерывна на
Если y = f(x) непрерывна на
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов I рода
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов I рода
На сходящиеся несобственные интегралы I рода переносятся некоторые
На сходящиеся несобственные интегралы I рода переносятся некоторые
Обозначим Тогда (3) примет вид: (4) Формулу (4) называют обобщением
Обозначим Тогда (3) примет вид: (4) Формулу (4) называют обобщением
ПРИМЕРЫ
ПРИМЕРЫ
2. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода
2. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы 1: Пусть (
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы 1: Пусть (
ТЕОРЕМА 2 (второй признак сравнения) Пусть f(x) и
ТЕОРЕМА 2 (второй признак сравнения) Пусть f(x) и
Замечания
Замечания
Пусть f(x) непрерывна на [a;+ 
Пусть f(x) непрерывна на [a;+ 
Несобственные интегралы
Несобственные интегралы
Если расходится, то об интеграле ничего сказать нельзя
Если расходится, то об интеграле ничего сказать нельзя
3. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций)
3. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций)
Таким образом, по определению (5) При этом, если предел в правой части
Таким образом, по определению (5) При этом, если предел в правой части
Если y = f(x) непрерывна на [a;b]\{c} и x = c – точка бес- конечного
Если y = f(x) непрерывна на [a;b]\{c} и x = c – точка бес- конечного
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов II рода
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов II рода
На сходящиеся несобственные интегралы II рода переносятся те же
На сходящиеся несобственные интегралы II рода переносятся те же
Ранее вводили обозначение: Тогда (7) примет вид: (8) Формулу (8)
Ранее вводили обозначение: Тогда (7) примет вид: (8) Формулу (8)
ПРИМЕРЫ
ПРИМЕРЫ
Замечание
Замечание

Презентация: «Несобственные интегралы». Автор: Пахомова Е.Г.. Файл: «Несобственные интегралы.ppt». Размер zip-архива: 163 КБ.

Несобственные интегралы

содержание презентации «Несобственные интегралы.ppt»
СлайдТекст
1 Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема:

Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема:

Несобственные интегралы

Лектор Янущик О.В.

2013 г.

2 §4

§4

Несобственные интегралы

Для существования необходимы условия: 1) [a;b] – конечен, 2) f(x) – ограничена (необходимое условие существования определенного интеграла). Несобственные интегралы – обобщение понятия определенного интеграла на случай когда одно из этих условий не выполнено.

3 1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку)

1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку)

Пусть y = f(x) непрерывна на [a;+ ?). ? y = f(x) непрерывна на ?[a;b], где b ? a . ? существует Имеем: D(I) = [a;+ ?) . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом I рода от функции f(x) по промежутку [a;+?) называется предел функ- ции I(b) при b ? + ? . Обозначают:

4 Таким образом, по определению (1) При этом, если предел в правой части

Таким образом, по определению (1) При этом, если предел в правой части

формулы (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся. В противном случае (т.е. если предел не существует или равен бесконечности) несобственный интеграл называют расходящимся. Если y = f(x) непрерывна на (–?;b] , то аналогично определя- ется и обозначается несобственный интеграл I рода для функции f(x) по промежутку (– ?;b]:

5 Если y = f(x) непрерывна на

Если y = f(x) непрерывна на

сли y = f(x) непрерывна на ? , то несобственным интегралом I рода для функции f(x) по промежутку (– ?;+ ?) называют (2) где c – любое число. Несобственный интеграл от f(x) по промежутку (–?;+?) называется сходящимся, если ОБА интеграла в правой части формулы (2) сходятся. В противном случае, несобственный интеграл по промежутку (– ?;+ ?) называется расходящимся. Будем рассматривать несобственные интегралы I рода по промежутку [a;+ ?). Для интегралов по промежутку (– ?;b] и (–?;+?) все полученные результаты останутся справедливы.

6 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов I рода

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов I рода

Пусть y = f(x) непрерывна на [a;+ ?) и f(x) ? 0 , ?x?[a;+ ?). Тогда – площадь криволинейной трапеции с осно- ванием [a;b], ограниченной сверху кривой y = f(x). Если несобственный интеграл от y = f(x) по [a;+ ?) сходится и равен S , то полагают, что область, ограниченная Ox, кривой y = f(x) и прямой x = a (криволинейная трапеция с бесконечным основанием) имеет площадь S. В противном случае говорить о площади указанной области нельзя.

7 На сходящиеся несобственные интегралы I рода переносятся некоторые

На сходящиеся несобственные интегралы I рода переносятся некоторые

свойства определенных интегралов (свойства 4, 5, 6, 7, 8). Кроме того, для несобственных интегралов существует обобщение формулы Ньютона – Лейбница. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a;+ ?). Тогда ?b?[a;+ ?) имеем (3)

8 Обозначим Тогда (3) примет вид: (4) Формулу (4) называют обобщением

Обозначим Тогда (3) примет вид: (4) Формулу (4) называют обобщением

формулы Ньютона – Лейбница для несобственных интегралов по промежутку [a;+ ?). Аналогично для несобственных интегралов по промежутку (–?;b] доказывается справедливость формулы

9 ПРИМЕРЫ

ПРИМЕРЫ

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

10 2. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода

2. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода

ТЕОРЕМА 1 (первый признак сравнения). Пусть f(x) и ?(x) непрерывны на [a;+?) и 0 ? f(x) ? ?(x) , ?x?[c; +?) (где c ? a). Тогда: 1) если – сходится, то тоже сходится, причем 2) если – расходится, то тоже рас- ходится.

11 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы 1: Пусть (

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы 1: Пусть (

1) и (?2) – области в xOy , ограниченные осью Ox, прямой x = c и кривыми y = ?(x) и y = f(x) соответственно. Неравенство 0 ? f(x) ? ?(x) (где x?[c;+ ?)) означает, что область (?2) является частью области (?1). ? 1) если область (?1) имеет площадь, то ее часть (?2) тоже имеет площадь; 2) если говорить о площади области (?2) нельзя, то и для содержащей ее области (?1) тоже нельзя говорить о площади.

12 ТЕОРЕМА 2 (второй признак сравнения) Пусть f(x) и

ТЕОРЕМА 2 (второй признак сравнения) Пусть f(x) и

(x) непрерывны и неотрицательны на [a;+ ?). Если где h – действительное число, отличное от нуля, то интегралы ведут себя одинаково относительно сходимости. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

13 Замечания

Замечания

1) Теорема 2 остается справедливой и в том случае, если f(x) и ?(x) непрерывны и СОХРАНЯЮТ ЗНАК на [a;+ ?). 2) При использовании теорем 1 и 2 в качестве «эталонных» интегралов обычно используют следующие несобственные интегралы:

14 Пусть f(x) непрерывна на [a;+ 

Пусть f(x) непрерывна на [a;+ 

усть f(x) непрерывна на [a;+ ?). Тогда определены несобственные интегралы ТЕОРЕМА 3 (признак абсолютной сходимости). Если сходится интеграл , то и интеграл тоже будет сходиться. При этом интеграл называется абсолютно сходящимся. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

15 Несобственные интегралы
16 Если расходится, то об интеграле ничего сказать нельзя

Если расходится, то об интеграле ничего сказать нельзя

Он может расходиться, а может и сходиться. Если расходится, а – сходится, то интеграл называют условно сходящимся.

17 3. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций)

3. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций)

Пусть y = f(x) непрерывна на [a;b) и ? y = f(x) непрерывна на ?[a;b1], где a ? b1 < b . ? существует Имеем: D(I) = [a;b) . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом II рода по промежутку [a;b] от функции f(x), неограниченной в точке b, называется предел функции I(b1) при b1 ? b – 0 . Обозначают:

18 Таким образом, по определению (5) При этом, если предел в правой части

Таким образом, по определению (5) При этом, если предел в правой части

формулы (5) существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся. В противном случае (т.е. если предел не существует или равен бесконечности) несобственный интеграл называют расходящимся. Если y = f(x) непрерывна на (a;b] и , то аналогично определяется и обозначается несобственный интеграл II рода по промежутку [a;b] от функции f(x), неограниченной в точке a :

19 Если y = f(x) непрерывна на [a;b]\{c} и x = c – точка бес- конечного

Если y = f(x) непрерывна на [a;b]\{c} и x = c – точка бес- конечного

сли y = f(x) непрерывна на [a;b]\{c} и x = c – точка бес- конечного разрыва функции, то несобственным интегралом II рода от функции f(x) по промежутку [a;b] называют (6) Несобственный интеграл по промежутку [a;b] от функции f(x), неограниченной внутри этого отрезка, называется сходя- щимся, если ОБА интеграла в правой части формулы (6) сходятся. В противном случае, несобственный интеграл по промежутку [a;b] называется расходящимся. Будем рассматривать несобственные интегралы II рода по промежутку [a;b] от функции, неограниченной в точке b . Для других несобственных интегралов II рода все полученные результаты останутся справедливы.

20 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов II рода

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов II рода

Пусть y = f(x) непрерывна на [a;b) и f(x) ? 0 , ?x?[a;b) . Тогда – площадь криволинейной трапеции с осно- ванием [a;b1], ограниченной сверху кривой y = f(x). Если несобственный интеграл от y = f(x) по [a;b] сходится и равен S , то полагают, что область, ограниченная Ox, кривой y = f(x) и прямыми x = a, x = b (неограниченная криволинейная трапеция) имеет площадь S. В противном случае говорить о площади указанной области нельзя.

21 На сходящиеся несобственные интегралы II рода переносятся те же

На сходящиеся несобственные интегралы II рода переносятся те же

свойства определенных интегралов, что и для сходящихся интегралов I рода (свойства 4, 5, 6, 7, 8). Кроме того, для несобственных интегралов II рода также существует обобщение формулы Ньютона – Лейбница. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a;b) . Тогда ?b1?[a;b) имеем (7)

22 Ранее вводили обозначение: Тогда (7) примет вид: (8) Формулу (8)

Ранее вводили обозначение: Тогда (7) примет вид: (8) Формулу (8)

называют обобщением формулы Ньютона – Лейбница для несобственных интегралов II рода от функций, неограниченных в точке b. Аналогично для несобственных интегралов II рода от функций, неограниченных в точке a, доказывается справедливость формулы

23 ПРИМЕРЫ

ПРИМЕРЫ

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: Сформулированные в п.2 признаки сходимости несобственных интегралов (теоремы 1, 2 и 3) останутся справедливы и для несобственных интегралов II рода. При использовании теорем 1 и 2 в роли «эталонных» интегралов используют интегралы

24 Замечание

Замечание

Некоторым расходящимся несобственным интегралам можно приписать определенное числовое значение. А именно: 1) Если – расходится, но , то число A называют главным значением этого несоб- ственного интеграла. 2) Главным значением расходящегося интеграла от функции, имеющей бесконечный разрыв в точке c?[a;b] называют число A, равное Обозначают соответствено:

«Несобственные интегралы»
http://900igr.net/prezentacija/matematika/nesobstvennye-integraly-88794.html
cсылка на страницу
Урок

Математика

71 тема
Слайды
900igr.net > Презентации по математике > Интегралы > Несобственные интегралы