Системы счисления
<<  Использование двоичной системы счисления при составлении генеалогического дерева Системы записи чисел  >>
4. Лекция: Системы счисления и действия в них
4. Лекция: Системы счисления и действия в них
Цель: рассмотреть
Цель: рассмотреть
Актуальность
Актуальность
Система счисления
Система счисления
Основные понятия кодирования и шифрования
Основные понятия кодирования и шифрования
Позиционные и непозиционные системы счисления
Позиционные и непозиционные системы счисления
Процедура перевода десятичных чисел в р-ную систему счисления:
Процедура перевода десятичных чисел в р-ную систему счисления:
Пример: найти: 12,810 =
Пример: найти: 12,810 =
Примеры
Примеры
Для перевода из 2-ной в 8-ную и наоборот, из 2-ной в 16-ную и наоборот
Для перевода из 2-ной в 8-ную и наоборот, из 2-ной в 16-ную и наоборот
Переводы в смешанных системах
Переводы в смешанных системах
Переводы в смешанных системах
Переводы в смешанных системах
Арифметические операции:
Арифметические операции:
Обратный и дополнительный код
Обратный и дополнительный код
Вычитание с помощью дополнительного кода:
Вычитание с помощью дополнительного кода:
Точность
Точность
Точность
Точность
В 1937 году Конрадом Цузе для увеличения диапазона чисел, представимых
В 1937 году Конрадом Цузе для увеличения диапазона чисел, представимых
Пример:
Пример:
Если из n разрядов, отводимых под изображение чисел, m двоичных
Если из n разрядов, отводимых под изображение чисел, m двоичных
Числа, меньшие нижней границы положительных чисел и большие верхней
Числа, меньшие нижней границы положительных чисел и большие верхней
Такое представление очень удобно для хранения в ЭВМ, так как на самом
Такое представление очень удобно для хранения в ЭВМ, так как на самом
К "неудобствам" этой формы представления чисел можно отнести
К "неудобствам" этой формы представления чисел можно отнести
может возникнуть так называемая ситуация "переполнения порядка" при
может возникнуть так называемая ситуация "переполнения порядка" при

Презентация: «По математике вычитание вида 16». Автор: . Файл: «По математике вычитание вида 16.ppt». Размер zip-архива: 173 КБ.

По математике вычитание вида 16

содержание презентации «По математике вычитание вида 16.ppt»
СлайдТекст
1 4. Лекция: Системы счисления и действия в них

4. Лекция: Системы счисления и действия в них

Информатика

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

1

2 Цель: рассмотреть

Цель: рассмотреть

Основные понятия числовых систем; правила построения систем; выполнение действий в системах счисления.

2

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

3 Актуальность

Актуальность

Алфавит Х из р символов и правила записи (изображения) и обработки чисел с помощью символов этого алфавита называются системой счисления (нумерацией) с основанием р. Число х в системе с основанием р обозначается как (х)р или хр.

3

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

4 Система счисления

Система счисления

Любая система счисления – это система кодирования числовых величин (количеств), позволяющая выполнять операции кодирования и декодирования, то есть по любой количественной величине однозначно находить его кодовое представление и по любой кодовой записи – восстанавливать соответствующую ей числовую величину. Наиболее используемые в информатике системы счисления: двоичная, над алфавитом Х = {0,1}; восьмеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; шестнадцатеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F}, где символы А, В, С, D, Е, F имеют десятичные веса 10, 11, 12, 13, 14, 15.

4

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

5 Основные понятия кодирования и шифрования

Основные понятия кодирования и шифрования

Все системы счисления строятся по общему принципу: определяется величина р – основание системы, а любое число х записывается в виде комбинации степеней веса р от 0-й до n-й степени следующим образом: (x)10 = xnpn + xn–1pn–1 + ... + x1p1 + x0p0 . Пример. 11012 = 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 8 + 4 + 1 = 1310 , 1578 = 1 x 82 + 5 x 81 + 7 x 80 = 64 + 40 + 7 = 11110 , A6F16 = 10 x 256 + 6 x 16 + 15 x 1 = 267110 . 110,0012 = 1x22 + 1 x 21 + 0 x 20 + 0 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 = 6,12510 ; A,B16 = A x 160 + B x 16-1 = 10 x 1 + 11 x 0,0625 = 10,687510 .

5

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

6 Позиционные и непозиционные системы счисления

Позиционные и непозиционные системы счисления

Система счисления в которой вес цифры (или символа алфавита) зависит от ее места в записи числа или слова называется позиционной; в противном случае система называется непозиционной. Непозиционная система – древняя римская система записи чисел с алфавитом вида Х={I (1), V (5), Х (10), L (50), С (100), D (500), М (1000)}. Примеры римских чисел: III (3), IV (4), V (5), VI (6), IX (9), XI (11), DCL (650). Запись числа в этой системе получается двусторонней конкатенацией, причем правая конкатенация ассоциируется с добавлением, а левая конкатенация – с убавлением (например, IV и VI).

6

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

7 Процедура перевода десятичных чисел в р-ную систему счисления:

Процедура перевода десятичных чисел в р-ную систему счисления:

Перевести отдельно целую часть числа х: последовательно делить целую часть [х]10, а затем все частные (получаемые при делении) на р до тех пор, пока не получим в очередном частном число меньшее р; результат получается последовательным приписыванием к последнему частному остатков от деления – от последнего до первого; перевести отдельно дробную часть (мантиссу) числа: последовательно умножать исходную мантиссу, а затем мантиссы получаемых чисел на р до тех пор, пока не получим мантиссу, равную нулю, или нужное количество цифр в {х}p ; результат получается приписыванием к целой части первого произведения второй такой же цифры и т.Д., До последней цифры целой части; итоговый результат будет иметь вид (х)р = [х]p, {х}p .

7

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

8 Пример: найти: 12,810 =

Пример: найти: 12,810 =

Переводим целую часть: 1210 =11002; переводим дробную часть (полужирным выделены цифры, идущие в изображение мантиссы в двоичной системе): 0,8 x 2 = 1,6; 0,6 x 2 = 1,2; 0,2 x 2 = 0,4; 0,4 x 2 = 0,8; 0,810 = 0,1100110...2 ; результат перевода: 12,810 = 1100,1100110011...2 .

8

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

9 Примеры

Примеры

Найдем 29,2510 = ?8 . Решение имеет вид 1) 2910 = 358 ; 2) 0,2510 = 0,28 ; 3) 29,2510 = 35,28 . Найдем 79,2610 = ?16 . Решение: 1) 7910 = 4F16 ; 2) 0,2610 = 0,4016 ; 3) 79,2610 = 4F,416. При переводе дробной части ограничились нахождением двух значащих цифр после запятой, так как перевод точно сделать невозможно.

9

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

10 Для перевода из 2-ной в 8-ную и наоборот, из 2-ной в 16-ную и наоборот

Для перевода из 2-ной в 8-ную и наоборот, из 2-ной в 16-ную и наоборот

из 8-ной в 16-ную и обратно, используется таблица. При переводе в 8-ную систему или из нее необходимо группировать в тройки биты, а при переводе в 16-ную или из нее – группировать их в четверки битов. Можно добавлять, если нужно, незначащие нули (слева от целой части и справа от мантиссы) или отбрасывать их.

10

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

11 Переводы в смешанных системах

Переводы в смешанных системах

Из 2-ной системы в 8-ную (двоично-восьмеричное изображение): из 8-ной системы в 2–ную (восьмерично-двоичное изображение):

11

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

12 Переводы в смешанных системах

Переводы в смешанных системах

Из 2-ной системы в 16-ную (двоично-шестнадцатеричное изображение): из 16-ной системы в 2-ную (шестнадцатерично-двоичное изображение):

12

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

13 Арифметические операции:

Арифметические операции:

Сложение в двоичной системе счисления осуществляется по правилам 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 210 = 102 (единица идет в старший разряд). Вычитание в двоичной системе счисления имеет вид 0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 0 – 1 = 10 – 1 = 1 (единицу забираем у старшего разряда). Умножение в двоичной системе счисления имеет вид 0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1. Деление в двоичной системе счисления имеет вид 0 : 0 = не определено, 1 : 0 = не определено, 0 : 1 = 0, 1 : 1 = 1.

13

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

14 Обратный и дополнительный код

Обратный и дополнительный код

Обратным кодом числа в системе с основанием р называется число в этой системе, получаемое заменой цифры, символа в каждом разряде числа на его дополнение до максимальной цифры в системе (то есть до р – 1). Дополнительный код = обратный код + единица в младшем разряде. Пример.10011 двоичное число, 01100 обратный код этого двоичного числа, 01101 дополнительный код этого двоичного числа; Найти обратный и дополнительный коды для: 4578, А916.

14

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

15 Вычитание с помощью дополнительного кода:

Вычитание с помощью дополнительного кода:

найти дополнительный код вычитаемого такой же разрядности, как и уменьшаемое, и сложить этот код с уменьшаемым. Результатом вычитания будет полученная сумма без учета старшего разряда (отбрасывается). Пример. Выполним вычитание напрямую и через сложение (через дополнительный код):

15

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

16 Точность

Точность

Точность в теоретической математике – понятие абстрактное и в практической математике может возникать иллюзия точности там, где ее на самом деле нет, – если нет корректной договоренности о пределах возможных значений неизбежных погрешностей в рамках рассматриваемых вычислительных ресурсов, например, трудоемкости и времени, а также не оговорена стратегия управления этой погрешностью.

16

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

17 Точность

Точность

Так как диапазон n-разрядных чисел системы счисления с основанием p находится в пределах , то для представления дробных чисел этот диапазон еще снижается, поскольку часть разрядов необходимо отвести под изображение мантиссы. Таким образом, имеются так называемые "зоны нечувствительности" форм представления чисел в n-разрядных арифметиках.

17

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

18 В 1937 году Конрадом Цузе для увеличения диапазона чисел, представимых

В 1937 году Конрадом Цузе для увеличения диапазона чисел, представимых

в арифметике двоичных чисел, а также для повышения точности этого представления чисел было предложено представление чисел в плавающей, нормализованной форме – число x представляется в виде: где m – мантисса числа, k – целый порядок числа,

18

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

19 Пример:

Пример:

Пусть даны два числа: ( ). Тогда можно проверить, что результаты выполнения операций будут равны:

19

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

20 Если из n разрядов, отводимых под изображение чисел, m двоичных

Если из n разрядов, отводимых под изображение чисел, m двоичных

разрядов отвести под мантиссу, k – под порядок, один разряд – под знак числа и один разряд – под знак порядка (например, 0 – плюс, 1 – минус), то диапазон представимых в форме с плавающей запятой чисел резко увеличивается (m + k + 2 = n): (многоточие соответствует k единицам).

20

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

21 Числа, меньшие нижней границы положительных чисел и большие верхней

Числа, меньшие нижней границы положительных чисел и большие верхней

границы отрицательных чисел, считаются равными нулю, не различаются между собой. Числа, большие верхней границы положительных чисел, полагаются равными положительной бесконечности (меньшие нижней границы отрицательных – отрицательной бесконечности). Сравнение двух разных по величине чисел в арифметике с ограниченной разрядностью может поэтому приводить к неверному результату, как и сравнение двух равных в таких системах чисел с точки зрения математической.

21

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

22 Такое представление очень удобно для хранения в ЭВМ, так как на самом

Такое представление очень удобно для хранения в ЭВМ, так как на самом

деле необходимо хранить не само число, а его знак, мантиссу, порядок и знак порядка, и все операции с числами сводятся к операциям с этими объектами. Операции же с этими объектами просты: сравнение знаков, увеличение, уменьшение порядка, сложение мантисс, нормализация, то есть в конечном итоге сводятся к достаточно просто реализуемым операциям сдвига, выравнивания, сравнения разрядов.

22

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

23 К "неудобствам" этой формы представления чисел можно отнести

К "неудобствам" этой формы представления чисел можно отнести

возможность возникновения следующих "особо опасных" ситуаций:

если число достаточно мало, например, а = 0.12Е + 00, то оно может быть представлено любым числом из наименьшего интервала включающего а, в частности числом 0.120000001 или 0.199999999 и в этом случае сравнивать на равенство "в лоб" нельзя (вещественные числа в форме с плавающей запятой опасно сравнивать на совпадение); порядок выполнения операций может влиять на результат, например, в 4-разрядной арифметике с фиксированной запятой 20.0000 + 0.0001 = 20.0001, но при этом 0.2000Е + 02 + 0.1000Е – 05 = 0.2000Е + 02;

23

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

24 может возникнуть так называемая ситуация "переполнения порядка" при

может возникнуть так называемая ситуация "переполнения порядка" при

сложении (умножении) очень больших чисел или "исчезновения порядка" при сложении (умножении) "очень малых чисел", в частности, 0.6000Е + 39 ?0.1200Е + 64 = 0.9999Е + 99 (или же не определено), а также 0.6000Е – 35 ? 0.0200Е – 65 = 0.9999Е – 99 (или же не определено), при соответствующим образом определенной разрядности десятичной арифметики; при сложении чисел с плавающей запятой (а, в конечном счете, все операции выполняются через сложение) происходит выравнивание порядков для последующего сложения мантисс, а при выравнивании степеней может происходить потеря (усечение) младших разрядов, например, такая ситуация может возникнуть при сложении одного "очень большого числа" с одним "очень малым числом"

24

Кафедра ЮНЕСКО по НИТ

«По математике вычитание вида 16»
http://900igr.net/prezentacija/matematika/po-matematike-vychitanie-vida-16-171085.html
cсылка на страницу

Системы счисления

13 презентаций о системах счисления
Урок

Математика

71 тема
Слайды
900igr.net > Презентации по математике > Системы счисления > По математике вычитание вида 16