Материалы по математике
<<  На задания действия формулами базовый уровень Решение заданий В14 (задачи на прогрессии) по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 года  >>
Решение заданий В8 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по
Решение заданий В8 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по
Ответ: – 2
Ответ: – 2
№2
№2
–
Ответ: 3
Ответ: 3
+
+
Ответ: 4
Ответ: 4
Ответ: 6
Ответ: 6
Ответ: 6
Ответ: 6
?
?
?
?
+
+
Ответ: 15
Ответ: 15
Ответ: –34
Ответ: –34
Ответ: 19
Ответ: 19
Ответ: 4
Ответ: 4
Ответ: 6
Ответ: 6
Ответ: 6
Ответ: 6
+
+
Используемые материалы
Используемые материалы

Презентация на тему: «Решение заданий В8 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2012 года». Автор: Администратор1. Файл: «Решение заданий В8 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2012 года.pptx». Размер zip-архива: 300 КБ.

Решение заданий В8 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2012 года

содержание презентации «Решение заданий В8 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2012 года.pptx»
СлайдТекст
1 Решение заданий В8 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по

Решение заданий В8 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по

математике 2012 года

Автор: Семёнова Елена Юрьевна

МОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

2 Ответ: – 2

Ответ: – 2

№1

Решение: Если прямая параллельна касательной к графику функции в какой-то точке (назовем ее хо), то ее угловой коэффициент (в нашем случае k = 4 из уравнения у = 4х +11) равен значению производной функции в точке хо: k = f ?(xo) = 4 Производная функции f ?(x) = (х2 + 8х + 6)? = 2x + 8. Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо, чтобы 2хo + 8 = 4, откуда хо = – 2.

Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к графику функции у = х2 + 8х + 6. Найдите абсциссу точки касания.

3 №2

№2

Ответ: ?1.

Прямая у = 3х + 11 является касательной к графику функции у = x3 ? 3x2 ? 6x + 6. Найдите абсциссу точки касания.

Решение: Заметим, что если прямая является касательной к графику, то ее угловой коэффициент (k = 3) должен быть равен производной функции в точке касания, откуда имеем Зх2 ? 6х ? 6 = 3, то есть Зх2 ? 6х ? 9 = 0 или х2 ? 2х ? 3 = 0. Это квадратное уравнение имеет два корня: ?1 и 3. Таким образом есть две точки, в которых касательная к графику функции у = х3 ? Зх2 ? 6х + 6 имеет угловой коэффициент, равный 3. Для того чтобы определить, в какой из этих двух точек прямая у = 3х + 11 касается графика функции, вычислим значения функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной. Значение функции в точке ?1 равно у(?1) = ?1 ? 3 + 6 + 6 = 8, а значение в точке 3 равно у(3) = 27 ? 27 ? 18 + 6 = ?12. Заметим, что точка с координатами (?1; 8) удовлетворяет уравнению касательной, так как 8 = ?3 + 11. А вот точка (3; ?12) уравнению касательной не удовлетворяет, так как ?12 ? 9 + 11. Значит, искомая абсцисса точки касания равна ?1.

4 –

Ответ: –4.

№3

Решение: Заметим, что на отрезке [–8; –4] производная функции отрицательна, значит, сама функция убывает, а значит, наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правом конце отрезка, то есть в точке –4.

На рисунке изображен график у = f ?(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). В какой точке отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение.

У = f ?(x)

f(x)

5 Ответ: 3

Ответ: 3

№4

+

+

Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак либо с «+» на «–», либо с «–» на «+».

На рисунке изображен график у = f ?(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [– 6; 6].

У = f ?(x)

6 +

+

Ответ: 4.

№5

Решение: Заметим, что на интервале (–4; 8) производная в точке хо = 4 обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак производной с «–» на «+», точка 4 и есть искомая точка экстремума функции на заданном интервале.

На рисунке изображен график у = f ?(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 10). Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале (– 4; 8).

У = f ?(x)

.

7 Ответ: 4

Ответ: 4

№6

Решение: Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2x + 2 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент k = –2, а значит нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f ?(x) = –2. Для этого на графике производной проведем прямую у = –2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. Таких точек 4.

На рисунке изображен график у = f ?(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней.

У = f ?(x)

У = –2

8 Ответ: 6

Ответ: 6

№7

Решение: Заметим, что производная функции отрицательна, если сама функция f(x) убывает, а значит, необходимо найти количество целых точек, входящих в промежутки убывания функции. Таких точек 6: х = ?4, х = ?3, х = ?2, х = ?1, х = 0, х = 3.

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

У

У = f(x)

Х

–6

–4

5

–1

–2

0

–3

3

9 Ответ: 6

Ответ: 6

№8

Решение: Прямая у = ?5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках k = f ?(х) = 0. В нашем случае – это точки экстремума. Таких точек 6.

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = –5.

У

1

У = f(x)

Х

3

5

6

4

2

У = –5

0

6

–6

–5

10 ?

?

?

Ответ: 1,25.

№9

Решение: Значение производной функции f ?(хo) = tg ? = k равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. В нашем случае k > 0, так как ? – острый угол (tg ? > 0). Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых ? целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg ? = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25

На рисунке изображен график у = f(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–7; 5) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо.

У = f(x)

В

5

Хо

С

4

А

11 ?

?

180°? ?

Ответ: ?0,75.

№10

Решение: Значение производной функции f ?(хo) = tg ? = k равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. В нашем случае k < 0, так как ? – тупой угол (tg ? < 0). Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых ? целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°? ?) = ВС : АС = 6 : 8 = 0,75 tg ? = ? tg (180°? ?) = ?0,75

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–10; 2) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо.

В

У = f(x)

6

Хо

С

А

8

12 +

+

+

+

Ответ: 2.

№11

Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [?10; 10] пять. В точках х2 и х4 производная меняет знак с «+» на «?» – это точки максимума.

На рисунке изображен график производной у = f ?(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [?10; 10].

У

У = f ?(x)

Х

f(x)

Х3

Х5

Х2

Х4

Х1

max

max

–10

0

10

.

13 Ответ: 15

Ответ: 15

№12

Решение: Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo + 34 = 4. То есть ахo = –15. Найдем значение исходной функции в точке касания: ахo2 + 34хo + 11 = –15xo + 34хo + 11 = 19хo + 11. Так как прямая у = 4х – 4 – касательная, имеем: 19хo + 11 = 4хo – 4, откуда хo = –1. А значит a = 15.

Прямая у = 4х – 4 является касательной к графику функции ах2 + 34х + 11. Найдите а.

14 Ответ: –34

Ответ: –34

№13

Решение. Если хо – абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = – 4 – 18хо. Аналогично задаче №12 найдем хо: 9xo2 + (– 4 – 18хо) xo + 20 = – 4хo – 5, 9xo2 – 4xo – 18хо2 + 20 + 4хo + 5 = 0, – 9xo2 + 25 = 0, хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3 или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = – 4 – 18 ? 5/3, имеем b = –34.

Прямая у = – 4х – 5 является касательной к графику функции 9х2 + bх + 20. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

15 Ответ: 19

Ответ: 19

№14

Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo = –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2 ? (–5) – 6, откуда с = 19.

Прямая у = 2х – 6 является касательной к графику функции х2 + 12х + с. Найдите с.

16 Ответ: 4

Ответ: 4

№15

Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t), равна значению производной функции х npu t = to, искомая скорость будет равна x ?(t) = 0,5 ? 2t – 2 = t – 2, x ?(6) = 6 – 2 = 4 м/с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.

17 Ответ: 6

Ответ: 6

№16

Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t), равна значению производной функции х npu t = to, искомая скорость будет равна x ?(to) = 0,5 ? 2to – 2 = to – 2, Т.к. по условию, x ?(to) = 4, то to – 2 = 4, откуда to = 4 + 2 = 6 м/с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?

18 Ответ: 6

Ответ: 6

№17

Решение: Точки экстремума – это точки минимума и максимума. Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять. Найдем сумму их абсцисс: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

У = f ?(x)

19 +

+

+

Ответ: 20.

Решение: Заметим, что функция f(x) возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции. Таких точек 7: х = ?3, х = ?2, х = 3, х = 4, х = 5, х = 6, х = 7. Их сумма: ?3+(?2)+3+4+5+6+7 = 20

На рисунке изображен график производной у = f ?(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

У = f ?(x)

3

-3

5

7

20 Используемые материалы

Используемые материалы

ЕГЭ 2012. Математика. Задача В8. Геометрический смысл производной. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. 3-е изд. стереотип. ? М.: МЦНМО, 2012. ? 88 с. http://mathege.ru/or/ege/Main ? Материалы открытого банка заданий по математике 2012 года

«Решение заданий В8 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2012 года»
http://900igr.net/prezentacija/matematika/reshenie-zadanij-v8-po-materialam-otkrytogo-banka-zadach-ege-po-matematike-2012-goda-139904.html
cсылка на страницу

Материалы по математике

8 презентаций о материалах по математике
Урок

Математика

71 тема
Слайды
900igr.net > Презентации по математике > Материалы по математике > Решение заданий В8 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2012 года