Презентация на тему «Механические колебания»

Лекция № 12 Механические колебания

10/05/2014

Алексей Викторович Гуденко

План лекции

Свободные незатухающие гармонические колебания: Пружинный маятник Математический маятник Физический маятник Затухающие колебания с вязким трением. Вынужденные колебания. Резонанс. Параметрический резонанс.

Демонстрации

Автоколебания Резонанс камертонов Параметрический резонанс

Колебательные процессы

Колебание – изменение состояния системы по периодическому или почти периодическому закону: маятник часов, груз на пружине, гитарная струна, давление воздуха в звуковой волне. Свободные (или собственные) колебания: колебания в системе, предоставленной самой себе: шарик в лунке, маятник. Вынужденные колебания – колебания под действием внешней периодической силы: вибрации моста, качели. Автоколебания, параметрические колебания.

Свободные незатухающие гармонические колебания

Пружинный маятник

mx” = - kx ? mx” + kx = 0 ? x” + ?02x = 0 – дифференциальное уравнение гармонических колебаний (?02 = k/m) x = Acos(?0t + ?0) – гармоническое колебание A – амплитуда колебаний ?0 – циклическая частота ?0 – начальная фаза ?0t + ?0 – фаза колебаний T = 2?/ ?0 – период колебаний Изохронность: ?0 – определяется только свойствами системы и не зависит от амплитуды. F = -kx – квазиупругая возвращающая сила

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Смещение: x = Acos(?0t + ?0) Скорость: v = x’ = - ?0Asin(?0t + ?0) = ?0Acos(?0t + ?0 + ?/2); v0 = ?0A – амплитуда скорости; скорость опережает смещение x по фазе на ?/2. Ускорение a = - ?02Acos(?0t + ?0) = ?02Acos(?0t + ?0 + ?) a0 = ?02A – амплитуда ускорения; ускорение в противофазе со смещением

Векторная диаграмма

Векторная диаграмма: x = Acos (?t + ?0) проекция на ось OX радиус-вектора длиной A, вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью ? от начального положения ?0

Векторная диаграмма гармонических колебаний (картинка)

Смещение: x = Acos?0t Скорость: v = x’ = - ?0Asin(?0t + ?0) = ?0Acos(?0t + ?0 + ?/2); опережает смещение x по фазе на ?/2. a = - ?02Acos(?0t + ?0) = ?02Acos(?0t + ?0 + ?) ускорение в противофазе со смещением

Энергия гармонических колебаний

Потенциальная энергия: П = kx2/2 = ?kA2cos2(?0t + ?0) Кинетическая энергия: K = mv2/2 = ?m?02A2sin2(?0t + ?0) = ?кA2sin2(?0t + ?0) Полная энергия: Е = П + K = const = ?kA2 = ?mv02 Для гармонических колебаний: <K> = <П> = ?E

Энергетический метод для колебательных систем с одной степенью свободы

q – обобщённая координата (смещение, угол поворота, заряд на конденсаторе) q’ – обобщённая скорость (скорость смещения, угловая скорость, электрический ток) Уравнение энергии: ? ?q2 +? ?q’2 = const П = ? ?q2 – потенциальная энергия K = ? ?q’2 – кинетическая энергия ?2 = ?/? – циклическая частота ? – эффективная жёсткость системы ? – инерционность системы

Математический маятник

Математический маятник – материальная точка на нерастяжимой лёгкой нити в поле тяжести Земли. Энергетический метод: ? – угол отклонения нити от вертикали (обобщённая координата). Потенциальная энергия: П = mgL(1 – cos?) ? ? mgL?2 = ? к?2 k = mgL – эффективная жёсткость Кинетическая энергия: K = ? m(L?’)2 = ? mL2 ?’2 = ? ??’2 ? = mL2 – инерционность системы Уравнение колебаний: ?к?2 + ? ??’2 = const ?02 = к/? = g/L; T = 2?/?0 = 2?(L/g)1/2

Ангармонический математический маятник

?К?2 + ? ??’2 = const ? ?” + ?02 ? = 0 – линеаризованное уравнение ?” + ?02sin? = 0 – нелинеаризованное ангармоническое уравнение; T = T0(1 + ?02/16 + 9?04/64 + …) – период зависит от амплитуды ?0

Физический маятник

Физический маятник - твёрдое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси. Энергетический метод: Потенциальная энергия: П = mga(1 – cos?) ? ? mga?2 Кинетическая энергия: K = ?I?’2, I = Ic + ma2 - момент инерции относительно оси O Уравнение колебаний: ?mga?2 + ? I?’2 = const ?02 = mga/I; T = 2?/?0 = 2?(l/mga)1/2

Приведённая длина

Центр качания. Теорема Гюйгенса. Оборотный маятник и измерение g

Lпр = I/ma – длина математического маятника с тем же периодом колебаний Lпр = I/ma = (Ic + ma2)/ma = a + Ic/ma Центр качания О’ расположен на прямой ОС расстоянии Lпр от точки подвеса O Теорема Гюйгенса Точка подвеса и центр качания являются “сопряжёнными” точками: если маятник подвесить за центр качания, то его период не изменится. Доказательство: Lпр = a + Ic/ma ? a2 - Lпрa + Ic/m = 0 ? a1 + a2 = Lпр Оборотный маятник и измерение g: экспериментально определяют расстояние между сопряжёнными точками ОО’ = Lпр и рассчитывают g по формуле: g = Lпр?02

Крутильный маятник

Крутильные колебания

Диск на упругой нити: Момент упругих сил Mz = - k?, k – коэффициент “крутильной” жёсткости I0?” = - k? ? ?” + (k/I0)? = 0 ? ?02 = k/I0

Затухающие колебания

Сила вязкого трения Fтр = -?v mx” = - kx – ?v ? mx” + ?v + kx = 0 ? x” + 2?x’ + ?02 x = 0 - дифференциальное уравнение колебаний с затуханием; ? = ?/2m – коэффициент затухания ?02 = k/m – собственная частота если ? < ?0,то x = а0e-?tcos(?t + ?0), ? = (?02 – ?2)1/2 – частота затухающих колебаний; а0e-?t – амплитуда затухающих колебаний

Характеристики затухающих колебаний

Время релаксации ? – это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз: ? = 1/ ? Логарифмический декремент затухания: ? = ln[a(t)/a(t + T)] = ?T = T/? Число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в e раз Ne = ?/T = 1/? Слабое затухание Ne = ?/T = ?/2?? >> 1 ? ? << ? ? ?0

Диссипация энергии

Добротность.

dE/dt = -?v2 - мощность силы трения dE/dt = -?v2 = -(2?/m) (mv2/2) = - 4?K Слабое затухание: ? << ?0 ? <K> = ? E ? dE/dt = - 2?E ? E = E0e-2?t Убыль энергии за период ?ЕT = 2?TE Убыль энергии при изменении фазы на 1 рад: ?Е = ?ЕT/2? = (2?/?)E0 Добротность: Q = E/?Е = ?/2? = ?Ne

Вынужденные колебания

Векторные диаграммы. Резонанс.

mx” + ?v + kx = Fcos?t ? x” + 2?x’ + ?02x = fcos ?t, f = F/m Вынужденные колебания ищем в виде: x = Bcos(?t + ?) Векторная диаграмма: x = Acos (?t + ?0) проекция на ось OX радиус-вектора длиной A, вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью ? от начального положения ?0

Вынужденные колебания

Векторные диаграммы. Резонанс.

Из векторной диаграммы: амплитуда B = f/((?2 – ?02)2 + 4?2?2)1/2 Фаза tg ? = 2??/(?02– ?2) В резонансе (при малых ?) Bmax ? B(?0) = f/2??0 ? Bmax/Bстат = ?0/2? = Q Вблизи резонанса: B = Bmax?/((? – ?0)2 + ?2)1/2 ? ширина резонансной кривой ?? = 2?

Резонансная кривая B = Bmax

/((? – ?0)2 + ?2)1/2

Три способа определения добротности колебательной системы

По затуханию: A(t) = A0e-?t ? Q = ?Ne, где Ne – число колебаний за которое амплитуда свободных колебаний падает в е раз По резонансной кривой Ширина кривой ?? = 2? ? Q = ?0/?? Q = Aрез/Астат

Параметрический резонанс

Параметрический резонанс - возбуждение незатухающих колебаний периодическим изменением параметров колебательной системы Пример: маятник с изменяющейся длиной (качели) Работа против тяжести: A1 = mg?h(1 - cos ?0) ? ? mg?h?02 = ? mv02 ?h/L Работа против центробежной силы: A2 = mv02?h/L приращение энергии за период: ?E = 2(A1 + A2) = 6 ?h/L mv02/2 dE/dt = 6 ?h/L E/T = E/? ? E = E0et/?

Разбиение бокалов

Лабораторные исследования

Научный способ разбиения бокалов

Научный способ разбиения бокалов

Научный способ разбиения бокалов