Без темы
<<  Знай коституцию Золотое сечение вокруг нас  >>
с использованием компьютерных технологий на тему: «Золотое сечение»
с использованием компьютерных технологий на тему: «Золотое сечение»
Эпиграф: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это
Эпиграф: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это
Воспитательные: формирование интереса к предмету математики;
Воспитательные: формирование интереса к предмету математики;
Оборудование: 1.чертёжные принадлежности (циркуль, угольники); 2
Оборудование: 1.чертёжные принадлежности (циркуль, угольники); 2
B
B
B
B
•
2.3 Устная работа на повторение :
2.3 Устная работа на повторение :
B
B
III
III
B
B
4.1
4.1
Построение "золотого сечения"
Построение "золотого сечения"
Постройте в своих тетрадях самостоятельно на произвольном отрезке АВ с
Постройте в своих тетрадях самостоятельно на произвольном отрезке АВ с
. Не исключено, что древние математики могли прийти к "золотому
. Не исключено, что древние математики могли прийти к "золотому
V. Применение «золотого сечения» 5.1 В геометрии
V. Применение «золотого сечения» 5.1 В геометрии
5.2 «Пентагон» и «пентаграмма»
5.2 «Пентагон» и «пентаграмма»
пифагорейцев
пифагорейцев
•
5.4 «Золотое сечение» в скульптуре
5.4 «Золотое сечение» в скульптуре
Статуя богини Афины Парфенос (Девы), г.Афины, Парфенон
Статуя богини Афины Парфенос (Девы), г.Афины, Парфенон
На рисунке изображена знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского,
На рисунке изображена знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского,
5.5 «Золотое сечение» в живописи
5.5 «Золотое сечение» в живописи
Тот же принцип мы видим в картине И.Е. Репина "А
Тот же принцип мы видим в картине И.Е. Репина "А
Еще один пример - картина Н.Н. Ге "Александр Сергеевич Пушкин в селе
Еще один пример - картина Н.Н. Ге "Александр Сергеевич Пушкин в селе
В знаменитом портрете Монны Лизы ("Джоконды"), который был завершен
В знаменитом портрете Монны Лизы ("Джоконды"), который был завершен
5.6 ”Золотое сечение” в архитектуре
5.6 ”Золотое сечение” в архитектуре
Проведя гармонический анализ Смольного собора в Санкт-Петербурге,
Проведя гармонический анализ Смольного собора в Санкт-Петербурге,
Помимо одно- и двухкупольных православных церквей, многие имели по 5 и
Помимо одно- и двухкупольных православных церквей, многие имели по 5 и
5.7 «Золотое сечение» в фигуре человека
5.7 «Золотое сечение» в фигуре человека
Рис
Рис
5.8 ”Золотое сечение” в природе
5.8 ”Золотое сечение” в природе
5.9 «Золотое сечение» в литературе А.С.Пушкин, «Сапожник»
5.9 «Золотое сечение» в литературе А.С.Пушкин, «Сапожник»
21
21
5.10 Тайны Египетских Пирамид
5.10 Тайны Египетских Пирамид
Рис
Рис
5.11 Феномен Древнего Египта В начале 20-го века в Саккаре (Египет)
5.11 Феномен Древнего Египта В начале 20-го века в Саккаре (Египет)
5.12 Алгебраические свойства золотой пропорции Что же это за "чудо"
5.12 Алгебраические свойства золотой пропорции Что же это за "чудо"
Рассмотрим теперь еще раз тождество (2)
Рассмотрим теперь еще раз тождество (2)
VI
VI

Презентация на тему: «Золотое сечение». Автор: Иван. Файл: «Золотое сечение.ppt». Размер zip-архива: 717 КБ.

Золотое сечение

содержание презентации «Золотое сечение.ppt»
СлайдТекст
1 с использованием компьютерных технологий на тему: «Золотое сечение»

с использованием компьютерных технологий на тему: «Золотое сечение»

Обобщение тем «Признаки подобия треугольников. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.» 8 класс, геометрия Подготовила и провела учитель математики Одышева О. В.

Урок

МОУ «Лямбирская средняя общеобразовательная школа №2» ОТКРЫТЫЙ

1

2 Эпиграф: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это

Эпиграф: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это

теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении…Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень.» И. Кеплер

Цель урока: повторить, обобщить и расширить знания учащихся, связанные с понятием подобия фигур; ввести и рассмотреть на примерах понятие «золотое сечение». Задачи урока. Образовательные: совершенствование умений определять подобные треугольники по данным рисунка; обучение практическим навыкам применения свойств подобия фигур к решению задач на построение; ознакомление учащихся с методом построения «золотого сечения» отрезка с помощью циркуля и линейки; обучение умению применять данный метод при решении задач на построение; обучение учащихся умению доказывать правильность своих выводов и суждений при решении задач. Развивающие: формирование умений слушать, наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рас – суждения по аналогии; содействие развитию логического мышления и внимания учащихся, их творческих способностей через различные виды деятельности; развитие интеллектуальных способностей учащихся с помощью решения задач повышенной сложности; развитие математической речи учащихся, речевого этикета; развитие способности эмоционально-образного восприятия учащимися математических понятий посредством примеров из мировой художественной культуры(скульптура, архитектура, живопись, литература) и из окружающего мира(природа, животные, человек); показ связи математики с другими предметами: история, литература, биология, мировая худо – жественная культура и т.д.

2

3 Воспитательные: формирование интереса к предмету математики;

Воспитательные: формирование интереса к предмету математики;

воспитание нравственного отношения к роли математики в окружающей действительности, формирование целостного восприятия общей картины мира; формирование у учащихся навыков совместной деятельности; развитие взаимопомощи и взаимоподдержки среди учащихся в процессе совместной работы; воспи тание чувства долга и ответственности, сопереживания за класс; воспитание уважения к культуре разных народов мира; формирование чувства национальной гордости. План урока: I. Вступительное слово учителя: сообщение темы и целей урока. II. Повторение изученного материала: 2.1 Работа у доски по карточкам ; 2.2 Разминка; 2.3 Устная работа на повторение. III. Применение свойств подобия. Решение задач. IV. Сообщение нового материала: 4.1 Геометрическое определение «золотого сечения»; 4.2 Построение «золотого сечения». V. Применение «золотого сечения»: 5.1 «Золотое сечение» в геометрии; 5.2 «Пентагон» и «пентаграмма»; 5.3 Геометрическое решение Евклида; 5.4 «Золотое сечение» в скульптуре; 5.5 «Золотое сечение» в живописи; 5.6 «Золотое сечение» в архитектуре; 5.7 «Золотое сечение» в фигуре человека; 5.8 «Золотое сечение» в природе; 5.9 «Золотое сечение» в литературе; 5.10 Тайны Египетских Пирамид; 5.11 Феномен Древнего Египта; 5.12 Алгебраические свойства «золотого сечения». VI. Домашнее задание. VII. Итог урока. Заключение. VIII. Литература, другие источники информации.

3

4 Оборудование: 1.чертёжные принадлежности (циркуль, угольники); 2

Оборудование: 1.чертёжные принадлежности (циркуль, угольники); 2

мультимедийная презентация (дискета прилагается); 3. тесты с дифференцированными заданиями на применение признаков подобия треугольников(составлены учителем). Ход урока: I. Вступительное слово учителя.(данная часть урока проводится учителем и нацелена на создание в классе благоприятного микроклимата и настрой на работу)

С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. На определённом этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэзии…Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой поэмы? Оказывается, можно, если будут найдены единые кри- терии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного от цветка ромашки до красоты обнажённого человеческого тела. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы – квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т.д. Вопрос о математических предпосылках прекрасного, о роли математики в искусстве волновали ещё древних греков. «Формул красоты» с тех пор известно немало. Но существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами, которую называют по разному – «золотой», «божественной», «золотым сечением», «золотым числом», «золотой серединой» и т.д. Именно она является связующим звеном для, казалось бы, несравнимых вещей, единым критерием красоты во всём. Именно о «золотом сечении» мы и поговорим сегодня, обобщим пройденный материал, привлекая допол- нительные сведения из различных источников. В роли моего помощника на сегодняшнем уроке выступит компьютер. Он будет помогать нам в течении всего урока: с его помощью мы проведём разминку, устный счёт, вы сможете проверить правильность своих ответов и решения задач, я покажу вам, как построить «зо- лотое сечение». С помощью компьютера мы рассмотрим примеры применения «золотого сечения» в живо- писи, скульптуре, архитектуре, литературе, в природе и т.д. Вы тоже к сегодняшнему уроку должны были подготовить дополнительный материал из истории «золотого сечения», и, надеюсь, познакомите нас с ним. Но в начале, как всегда, проверка домашнего задания. В качестве домашнего задания вам были даны тесты с дифференцированными заданиями на применение признаков подобия треугольников. Сдайте их,

4

5 B

B

N

В

А

F

С

D

C

А

D

пожалуйста, на проверку.(ученица собирает) Тест А (сильные) Тест Б (средние) 1. Заполните пропуски, чтобы получилось верное 1. Заполните пропуски, чтобы получилось верное высказывание: высказывание: если….стороны одного треугольника………… если….стороны одного треугольника….двум сторонам другого треугольника , то такие сторонам другого треугольника и углы, заклю- треугольники……. чённые между этими сторонами…., то такие треугольники…. 2. Установите истинность или ложность 2. Установите истинность или ложность следующих утверждений: следующих утверждений: 1) два треугольника называются подобными, если 1) средняя линия треугольника параллельна одной их углы соответственно равны. из его сторон и равнв половине этой стороны. 2) отношение периметров двух подобных тре- 2) медианы треугольника пересекаются в одной угольников равно коэффициенту подобия. точке,которая делит каждую медиану в отно- 3) высота прямоугольного треугольника, прове- шении 2:1. дённая из вершины прямого угла, есть среднее 3) свойства подобных треугольников могут пропорциональное между отрезками, на которые быть использованы для определения длины делится гипотенуза этой высотой предметов. 3. По данным рисунка определить подобные 3. По данным рисунка определить подобные треугольники: треугольники: Ответ:……………………. Ответ:…………………….

5

6 B

B

M

C

F

A

4. Середины сторон квадрата соединили последо- 4. Середины сторон прямоугольника соединили вательно отрезками.Какая фигура при этом последовательно отрезками. Какая фигура при образовалась:1) параллелограмм; 2) ромб; этом образовалась: 1) параллелограмм; 2) ромб; 3) прямоугольник; 4) квадрат. 3) прямоугольник; 4) квадрат. 5. Периметр равностороннего треугольника равен 5. Стороны треугольника равны 6,0см , 8,0 см, 18 см. Найдите периметр треугольника, верши- 10,0 см. Найдите периметр треугольника, вер- нами которого являются середины сторон дан- шинами которого являются середины сторон ного треугольника. данного треугольника. 1) 4,0 см; 2) 9,0 см ; 3) 6,0 см; 4) 3,0 см. 1) 6,0 см ; 2) 12,0 см ; 3) 8,0 см ;4) 40,0 см. Тест В(слабые) 1. Заполните пропуски, чтобы получилось верное 4. Середины сторон четырёхугольника соединили высказывание: последовательно отрезками. Какая фигура при если …. угла одного треугольника…..двум углам этом образовалась: 1)параллелограмм; 2)ромб; другого, то такие треугольники….. 3)прямоугольник; 4) квадрат. 2. Установите истинность или ложность следующих 5. Стороны треугольника равны 6,0 см ; 8,0 см ; утверждений: 10,0 см. Найдите периметр треугольника, вер- 1) средняя линия треугольника – это отрезок, шинами которого являются середины сторон соединяющий середины двух его сторон. данного треугольника. 2) медианы треугольника пересекаются в одной 1) 6,0 см; 2) 8,0 см; 3) 12,0 см; 4) 20,0 см. точке, которая делит каждую медиану в отно- шении 3:1, считая от вершины. 3) свойства подобных треугольников могут быть использованы для определения высоты предмета. 3. По данным рисунка 1 определить подобные треугольники. Ответ:…………………… Рисунок 1.

6

7 •

А

А

С

С

О

В

В

II. Повторение изученного материала. 2.1 Работа у доски по карточкам. После того, как тесты собрали, 1 ученик вызывается к доске для работы по карточке: «Дан треугольник АВС. Построить треугольник А1В1С1 , подобный треугольнику АВС с коэффициентом подобия 3.» Построение:

7

8 2.3 Устная работа на повторение :

2.3 Устная работа на повторение :

2.2 Разминка Продолжите ряд слов :

Подобны ли два треугольника, если их стороны имеют длины :

1) острый, прямой, тупой, …

( Развёрнутый угол )

2) точка, отрезок, луч, …

( Прямая )

3) точка, отрезок,треугольник, …

( Четырёхугольник )

1) 2 см, 3 см, 4 см и 3 см, 4 см, 5 см ;

( Нет )

2) 3 см, 4 см, 6 см и 9 см, 14 см, 18см ;

( Нет )

3) 2 см, 4 см, 3 см и 10 мм, 15 мм, 20 мм.

( Да , к = 2 )

Весь класс в это время выполняет разминку и устные упражнения на повторение изученного материала с использованием компьютера: учащиеся читают вопросы на экране, отвечают на них , а на экране высвечи- ваются ответы . Это позволяет учащимся проверить правильность ответов и в случае необходимости испра- вить их.

8

9 B

B

D

K

P

N

S

T

M

A

C

B

D

A

C

Назовите возможные пары подобных треугольников, которые можно выделить на рисунке :

Найти высоту треугольника, если :

AD = ? 4 • 25 = 10

4

25

1) ABC ? SBT ; 2) ABC ? KBP ; 3) SBT ? KBP ; 4) ABM ? SBN ; 5) ABM ? KBD ; 6) SBN ? KBD ; 7) MBC ? NBT ; 8) MBC ? DBP ; 9) NBT ? DBP .

9

10 III

III

Применение свойств подобия. Решение задач.

A

B

a

d

a

c

c

m:a = n:b = d:c

Задача № 1 Разделите данный отрезок AB на части, длины которых пропорциональны длинам a, b,c трёх данных отрезков.

m

n

b

b

Дано: Построение:

Свойства подобия применяются при решении многих задач, особенно на построение. Рассмотрим некото-рые из них. Посмотрите внимательно на экран и прочтите условие задачи.Эту задачу мы с вами сейчас ре- шим с помощью свойств подобия. (решается учащимися у доски и в тетрадях, а затем этапы построения демонстрируются на экране монитора компьютера):

10

11 B

B

A

C

Задача №2 В данный треугольник впишите квадрат так, чтобы две его вершины лежали на основании треугольника, а две другие – на его боковых сторонах.

Построение:

Рассмотрим следующую задачу.(учащиеся снова читают условие на экране, решают задачу у доски и в тетрадях, а затем проверяют правильность построения с помощью компьютера.)

11

12 4.1

4.1

x

a - x

a

Геометрическое определение "золотого сечения"

C

A

B

Из "Начал Евклида" к нам пришла следующая геометрическая задача, называемая задачей "о делении отрезка в крайнем и среднем отношении". Суть задачи состоит в следующем. Разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы большая часть отрезка - АС так относилась к меньшей части - ВС, как отрезок АВ к своей большей части АС (Рис. 1), то есть:

Рисунок 1. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении ("золотое сечение").

AC : BС = АB : AC , или х : ( а – х ) = а : х , х? = а • ( а – х ) , откуда х = ? а • ( а – х ) . Это означает, что при «золотом сечении» длина большего отрезка есть среднее геометрическое, или, как часто говорят, среднее пропорциональное длин всего отрезка и его меньшей части. Рассмотрим, как можно построить «золотое сечение» отрезка геометрически.

12

13 Построение "золотого сечения"

Построение "золотого сечения"

4.2

D

E

C

А

B

DB ? AB, DB = ? AB, DE ? AD, DE = DB, AC = AE,т.С- искомая, AC : AB = CB : AC

13

14 Постройте в своих тетрадях самостоятельно на произвольном отрезке АВ с

Постройте в своих тетрадях самостоятельно на произвольном отрезке АВ с

помощью циркуля и линейки точку С, которая делит его в «золотом сечении». Докажите, используя теорему Пифагора, что точка С действительно делит отрезок АВ в «золотом сечении».(доказывается у доски)

( продолжение объяснения учителем темы урока ) Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AС = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВС = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей ( % ), то большая часть отрезка равна 62 ( % ), а меньшая – 38 ( % ) частям.Свойства золотого сечения описываются уравнеием: x2 – x – 1 = 0. (1) Решение этого уравнения : , х = 1, 618. Леонардо да Винчи назвал это число «золотым сечением» или «золотой пропорцией». Существует мнение, что Леонардо да Винчи не был первым, что этот термин идёт от Клавдия Птолемея, который дал ему такое название, убедившись, что рост человека правильного телосложения естественно делится в таком отношении. Уравнение (1) часто называют «уравнением золотой пропорции».

14

15 . Не исключено, что древние математики могли прийти к "золотому

. Не исключено, что древние математики могли прийти к "золотому

сечению", исследуя так называемый простейший прямоугольник с отношением сторон 2:1, называемый также "двухсмежным квадратом", так как он состоит из двух квадратов 1х1 (Рис.3 ).

Рисунок 3. Прямоугольник с отношением сторон 2:1 ("двухсмежный квадрат").

Если вычислить диагональ DB "двухсмежного квадрата", то в соответствии с теоремой Пифагора она равна DB = ? 5 . Если теперь взять отношение суммы отрезков AD + DB к большей стороне АВ "двухсмежного квадрата", то мы придем к "золотой пропорции", так как Свое восхищение "золотым сечением" знаменитый астроном Иоганн Кеплер выразил в следующих словах:"В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем” . Парадоксально, но теорему Пифагора знает каждый школьник, в то время как с "золотым сечением" знакомы далеко не все. Наш урок посвящён математическому открытию, которое в течение тысячелетий привлекало внимание и было предметом восхищения выдающихся ученых, математиков и философов Пифагора, Платона, Евклида, Леонардо да Винчи, Луку Пачиоли, Кеплера, и многих других. «Золотое сечение» имеет огромное при- менение в алгебре, геометрии, архитектуре, живописи, скульптуре и т.д.

15

16 V. Применение «золотого сечения» 5.1 В геометрии

V. Применение «золотого сечения» 5.1 В геометрии

Рисунок 1. "Золотой" прямоугольник

(Рисунки демонстрируются на экране и комментируются учащимися, которые подготовили доклады по применению «золотого сечения») Золотое сечение очень широко используется в геометрии, например, в геометрических свойствах «золото- го" прямоугольника, который имеет следующее геометрическое определение (Рис.1): "Золотым" прямо-угольником называется такой прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции, то есть Рассмотрим случай простейшего "золотого" прямоугольника, когда AB = t и BC = 1.

Точки E и F делят соответствующие стороны AB и DC в "золотом сечении". Ясно, что AE = DF = 1, тогда Отрезок EF называется "золотой линией". При этом с помощью "золотой линии" EF «зо- лотой» прямоугольник ABCD оказывается разделенным на квадрат и новый «золотой» прямоугольник EBCF .

«Золотая» линия GH разделяет "золотой" прямоугольник EBCF на квадрат GHCF и новый "золотой" прямоуголь-ник EBHG. Более того, точка I делит "золотым сечением" диагональ EC и сторону GH. Повторяя многократно эту процедуру, мы получим бесконечную последовательность квадратов и "золотых" прямоугольников.

Такое бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур, то есть квадрата и "золотого" прямоугольника, вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство гармонии и красоты. Считается, что именно это обстоятельство является причиной того, что многие предметы прямоугольной формы, с которыми человек имеет дело (спичечные коробки, зажигалки, книги, чемоданы), зачастую имеют форму "золотого" прямоугольника.

16

17 5.2 «Пентагон» и «пентаграмма»

5.2 «Пентагон» и «пентаграмма»

Рис.1. "Пентагон" или "пентаграмма".

Рис. 2. "Золотая" чаша.

Слово "пентагон" (от греческого "pentagonon" - пятиугольник) нам хорошо известно из названия здания военного ведомства США, которое в плане имеет форму правильного пятиугольника ("пентагона") (Рис. 1).

Однако фигура на рис.1 имеет и другое название "пентаграмма" (от греческих слов "pentagrammon", "pente" - пять и "gramma" - линия), что означает правильный пятиугольник, на сторонах которого построены равнобедренные треугольники одинаковой высоты.

Диагонали "пентагона" образуют "пятиугольную звезду". Точки пересечения диагоналей всегда являются точками "золотого сечения". При этом они образуют новый "пентагон" FGHKL. В новом "пентагоне" можно провести диагонали, пересечение которых образуют еще один "пентагон" и это процесс может быть продолжен до бесконечности. Таким образом, "пентагон" ABCDE как бы состоит из бесконечного числа "пентагонов", которые образуются точками пересечения диагоналей. Эта бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры создает чувство ритма и гармонии, которое неосознанно фиксируется нашим разумом.

Пентаграмма на Рис.1 включает в себя ряд замечательных фигур, которые широко используются в произведениях искусства. В античном искусстве широко известен так называемый "закон золотой чаши" (Рис.2), который использовали античные скульпторы и золотых дел мастера. Заштрихованная часть "пентаграммы" на Рис.2 дает схематическое представление "золотой" чаши.

"Пентаграмма" всегда вызывала особое восхищение у пифагорейцев и считалась их главным опознавательным знаком. Существует следующая легенда. Когда на чужбине один из пифагорейцев лежал на смертном одре и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал, то он велел ему изобразить на своем жилище "пентаграмму", надеясь на то, что этот знак увидит кто-либо из

17

18 пифагорейцев

пифагорейцев

И действительно, несколько лет спустя один пифагореец увидел этот знак, и хозяин дома получил богатое вознаграждение. (комментарий учителя к докладу учащегося): Пятиконечной звезде около 3000 лет. Её первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таб – лички. В средние века пентаграмма считалась символом здоровья и «предохраняла» от нечистой силы. Например, в «Фаусте» Гёте Мефистофель говорит: «Нет, трудновато выйти мне теперь. Тут кое-что мешает мне немного: Волшебный знак у вашего порога.» Фауст отвечает: «Не пентаграмма-ль этому виной? Но как же, бес, пробрался ты за мной?»

"Пятиугольная звезда", входящая в "пентаграмму", состоит из пяти равносторонних "золотых" треугольников, каждый из которых напоминает букву "А" ("пять пересекающихся А") (Рис.3).

Каждый "золотой" треугольник имеет острый угол A = 36° при вершине и два острых угла D = C = 72° при основании треугольника. Основная особенность "золотого" треугольника состоит в том, что отношение каждого бедра AC = AD к основанию DC равно золотой пропорции t. Исследуя "пентаграмму" и "золотой" треугольник, пифагорейцы были восхищены, когда обнаружили, что биссектриса DH совпадает с диагональю DB "пентагона" (Рис.1) и делит сторону AC в точке H золотым сечением (Рис.3). При этом возникает новый "золотой" треугольник DHC. Если теперь провести биссектрису угла H к точке H' и продолжить этот процесс до бесконечности, то мы получим бесконечную последовательность "золотых" треугольников. Как и в случае с "золотым" прямоугольником и "пентаграммой" бесконечное возникновение одной и той же геометрической фигуры ("золотого" треугольника) после проведения очередной биссектрисы вызывает эстетическое чувство красоты и гармонии.

Рис.3. "Золотой" треугольник

18

19 •

5.3 Геометрическое решение Евклида

M

P

F

А

В

Е

D

К

С

«На отрезке АВ построен квадрат ABCD. Требуется найти точку F, делящую отрезок АВ в среднем отношении.» Данная задача очень древняя, она присутствует в «Началах» Евклида, который решил её геометрически.(ход построения по компьютеру комментирует учащийся)

Точка F – искомая.

19

20 5.4 «Золотое сечение» в скульптуре

5.4 «Золотое сечение» в скульптуре

456 г.д.н.э., г.Олимпия, статуя Зевса Олимпийского, скульптор Фидий.

Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использова- ли их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения». Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского и Афины Парфенос.

20

Фидий изобразил Зевса сидящим на троне. Оливковый венок украшал голову бога - громовержца, борода волнистыми прядями обрамляла его лицо, с левого плеча ниспадал плащ, прикрывавший часть ног. Фигура Зевса была выполнена из дерева, и на эту основу с помощью бронзовых и железных гвоздей, специальных крючков крепились детали из слоновой кости и золота (такая техника называется хрисоэлефантинной). Лицо, руки и другие обнаженные части тела были из слоновой кости, волосы и борода, венок, плащ и сандалии - из золота, глаза - из драгоценных камней. Трон был сделан, по одним источникам, из кедра, по другим - из черного дерева и покрыт золотом и слоновой костью. Ножки трона украшали фигурки танцующей Ники - богини Победы. Ручки трона поддерживали сфинксы, а его спинку украшали Хариты - богини Красоты, дочери Зевса и Геры. Высота статуи – 12м и 40см.

Из Олимпии статуя была перемещена богатыми греками в дворец Константинополя. Там она сохранялась, пока не была уничтожена серьезным пожаром в 462 году. Сегодня от статуи осталась только пыль... Были сделаны копии статуи, включая большой прототип в Курене (Ливия). Ни одна из них, тем не менее, не сохранилась до сегодняшнего дня.

21 Статуя богини Афины Парфенос (Девы), г.Афины, Парфенон

Статуя богини Афины Парфенос (Девы), г.Афины, Парфенон

Скульптор Фидий.

В древние времена внутри Парфенона стояла десятиметровая статуя богини Афины Парфенос (Девы) в военном облачении. В правой руке Афина держала двухметровую скульптуру богини Победы Ники. Памятник имел деревянный каркас, обнаженные части статуи Афины и целиком скульптура Ники были исполнены из слоновой кости, а одеяние и шлем Афины - из съемных листов чеканного золота (отсюда и название статуи хрисоэлефантинная, т.е. сделанная из золота и слоновой кости). В первые годы византийского периода памятник бесследно исчез. Сведения, которые имеются сегодня в нашем распоряжении, почерпнуты из произведений древних авторов и из подробных описаний Павсания, знаменитого греческого путешественника II века. Ценным источником информации об утраченной статуе послужили также найденные копии, важнейшая из которых - Варвакиос Афина.

21

22 На рисунке изображена знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского,

На рисунке изображена знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского,

где точка С делит отрезок АД, а точка В делит отрезок АС в «золотом сечении».

А так выглядит скульптура Аполлона Бельведерского в действительности. Сейчас она находится в алупкинском дворцово – парковом ансамбле.

22

23 5.5 «Золотое сечение» в живописи

5.5 «Золотое сечение» в живописи

Например, картина И.И. Шишкина "Корабельная роща".

Исследуя композиционную структуру картин - шедевров мирового изобразительного искусства, искусство-веды обратили внимание на тот факт, что в пейзажных картинах широко используется закон золотого сечения . «Золотое сечение» мы находим в общей композиции произведения и в соотношении его частей вплоть до самых малых. В живописи линия «золотого сечения» является линией горизонта или линией смыслового центра композиции.

На этой знаменитой картине с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит картину золотым сечением по горизонтали. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит картину золотым сечением по вертикали. Слева от главной сосны находится много сосен - при желании можно с успехом продолжить деление золотым сечением по горизонтали левой части картины. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия в соответствии с замыслом художника

23

24 Тот же принцип мы видим в картине И.Е. Репина "А

Тот же принцип мы видим в картине И.Е. Репина "А

С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года".

Фигура Пушкина помещена художником в правой части картины по линии золотого сечения. Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения: от головы Пушкина до головы Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения, проходящей вдоль фигуры Пушкина.

24

25 Еще один пример - картина Н.Н. Ге "Александр Сергеевич Пушкин в селе

Еще один пример - картина Н.Н. Ге "Александр Сергеевич Пушкин в селе

Михайловском".

В этой картине фигура Пушкина также поставлена художником слева на линии золотого сечения. Композиционное построение картины подобно картине Репина. Голова военного, с восторгом слушающего чтение поэта, находится на другой вертикальной линии золотого сечения.

25

26 В знаменитом портрете Монны Лизы ("Джоконды"), который был завершен

В знаменитом портрете Монны Лизы ("Джоконды"), который был завершен

Леонардо да Винчи в 1503 г., образ богатой горожанки предстает воплощением возвышенного идеала женственности, не теряя при этом интимно-человеческого обаяния (знаменитая "улыбка Джоконды"); важным элементом композиции становится космически обширный пейзаж, таящий в холодной дымке. Картина гениального художника привлекла внимание исследователей, которые обнаружили, что композиционное построение картины основано на двух "золотых" треугольниках, которые являются частями "пентаграммы".

26

27 5.6 ”Золотое сечение” в архитектуре

5.6 ”Золотое сечение” в архитектуре

Древние греки оставили нам великолепные памятники архитектуры, которые доставляют современным людям такое же эстетическое наслаждение, как и их далеким предкам. И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону.

Гармонический анализ Парфенона был осуществлен многими исследователями. Все они сходятся в главном: удивительная величественность и глубокая человечность архитектурных и скульптурных образов и главная причина красоты Парфенона -исключительная соразмерность его частей, основанная на золотом сечении.

Рис. 1. Западный портик Парфенона в Афинах.

. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Рис.2.Античный циркуль золотого сечения

27

28 Проведя гармонический анализ Смольного собора в Санкт-Петербурге,

Проведя гармонический анализ Смольного собора в Санкт-Петербурге,

который является одним из общепризнанных памятников стиля барокко, Г.Д. Гримм делает заключение, "что неоспоримо наличие золотого сечения в членениях основных масс собора".

Рис. 3. Смольный собор в Санкт-Петербурге.

Рис.4.. Гармонический анализ храма Василия Блаженного.

Для композиции построек храма характерно гармоническое сочетание симметричных и асимметричных пропорций.

В соответствии с этой композиционной идеей построены и пропорции собора. Исследователи обнаружили в нем пропорцию, основанную на ряде золотого сечения:

В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех куполов, объединяющая их в одну соразмерную композицию.

28

29 Помимо одно- и двухкупольных православных церквей, многие имели по 5 и

Помимо одно- и двухкупольных православных церквей, многие имели по 5 и

8 куполов. Однако новгородский Софийский собор (10-й век) был 13-главым, а Преображенская церковь в Кижах, вырубленную из дерева 2,5 столетия назад, венчает 21 глава. Случаен ли такой рост числа куполов "по Фибоначчи" (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21), отражающий естественный закон роста - от простого к сложному?

Преображенская церковь в Кижах.

29

30 5.7 «Золотое сечение» в фигуре человека

5.7 «Золотое сечение» в фигуре человека

Гармонический анализ статуи Дорифора. Гармонический анализ статуи Дорифора, изложенный в книге русского проф. Г.Д. Гримма "Пропорциональность в архитектуре" (1933), указывает на следующую связь знаменитой статуи с золотым сечением M = t: первый раздел фигуры Дорифора или ее полной высоты M0 = 1 в пропорции золотого сечения M1 = t -1 и M2 = t -2 проходит через пупок; второй раздел нижней части туловища M1 = t -1 и M2 = t -2 проходит M2 = t -2 и M3 = t -3 проходит через линию колена; третий раздел M3 = t -3 и M4 = t -4 проходит через линию шеи.

Скульптор Поликлет написал статью о правильных пропорциях человеческого тела и вылепил знаменитую статую Дорифора (копьеносца) ок. 440г. до н.э., которая долгое время служила каноном.

30

31 Рис

Рис

2. Золотые пропорции в фигуре человека

Рис. 1. Золотые пропорции в частях тела человека

В середине XIX в в 1855 г. немецкий исследователь ”золотого сечения ”профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования».

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

31

32 5.8 ”Золотое сечение” в природе

5.8 ”Золотое сечение” в природе

Рис.1 Цикорий

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

32

33 5.9 «Золотое сечение» в литературе А.С.Пушкин, «Сапожник»

5.9 «Золотое сечение» в литературе А.С.Пушкин, «Сапожник»

8

13

5

Картину раз высматривал художник И в обуви ошибку указал; Взяв тотчас кисть, исправился художник. Вот, подбоченясь, сапожник продолжал: «Мне кажется, лицо немного криво… А эта грудь не слишком ли нага?»… Тут Апеллес прервал нетерпеливо: «Суди, дружок, не выше сапога!» Есть у меня приятель на примете: Не ведаю, в каком бы он предмете Был знатоком, хоть строг он на словах, Но черт его несёт судить о свете: Попробуй он судить о сапогах!

В литературе на точку «золотого сечения» обычно приходится кульминация или главная мысль поэтичес- кого и драматургического произведения. Например, учёными были изучены все 792 стихотворения русско- го гения за период его творческой биографии с 1813 по 1837 г. включительно. Результаты анализа таковы: в каждом втором стихотворении Пушкина было обнаружено «золотое сечение» (385 стихотворений или 49%). Стихотворное наследие Пушкина насчитывает 20322 строки. Из них 11503 строки или 57% прихо- дятся на стихотворения с «золотым сечением».

33

34 21

21

2

5

3

8

13

3

3

2

5

5

3

3

5

8

8

2

2

3

1

А.С.Пушкин, «Из Пиндемонти» Не дорого ценю я громкие права, От коих не одна кружится голова. Я не ропщу о том, что отказали боги Мне в сладкой участи оспоривать налоги Или мешать царям друг с другом воевать: И мало горя мне, свободно ли печать Морочит олухов, иль чуткая цензура В журнальных замыслах стесняет балагура. Всё это, видите ль, слова,слова,слова. Иные, лучшие мне дороги права; Иная, лучшая потребна мне свобода: Зависеть от царя, зависеть от народа – Не всё ли нам равно? Бог с ними. Никому Отчёта не давать, себе лишь самому Служить и угождать; для власти, для ливреи Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи; По прихоти своей скитаться здесь и там, Дивясь божественным природы красотам, И пред созданьями искусств и вдохновенья Трепеща радостно в восторгах умиленья. Вот счастье! Вот права…

34

35 5.10 Тайны Египетских Пирамид

5.10 Тайны Египетских Пирамид

Рисунок 1. Комплекс пирамид в Гизе.

Пирамиды имели глубокое "научное содержание", воплощенное в их форме, размерах и ориентировке на местности. Ведь они строились на тысячелетия, "навечно". И недаром арабская пословица гласит: "Все на свете страшится времени. Время страшится пирамид". Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает Великая Пирамида фараона Хеопса (Хуфу).

35

36 Рис

Рис

3. "Золотой" прямоугольный треугольник.

Рис. 2. Геометрическая модель пирамиды Хеопса.

H = (L/2) ?

В 1837 г. английский полковник Г. Вайз измерил угол наклона граней пирамиды: он оказался равным a = 51°50'. Эта величина и сегодня признается большинством исследователей. Указанному значению угла отвечает тангенс (tg a), равный 1,272…. Эта величина соответствует отношению высоты пирамиды АС к половине ее основания CB (Рис.2), то есть AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L = 1,272…=

Эти измерения привели исследователей к следующей весьма интересной гипотезе: в основу треугольника АСВ пирамиды Хеопса было заложено отношение AC / CB = = 1,272 .

Прямоугольный треугольник, в котором стороны относятся как t : : 1, называется ”золотым ” прямоугольным треугольником .Тогда легко можно вычислить "проектную" высоту пирамиды Хеопса. Она равна х = 148,28м.

Но на самом деле (!) высота пирамиды (H) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. Дело в том, что, пирамида Хеопса является усеченной. Ее верхняя площадка в наши дни имеет размер примерно 10 ? 10 м, а столетие назад она была равна 6 ? 6 м. Очевидно, что вершину пирамиды разобрали, и она не отвечает первоначальной.

36

37 5.11 Феномен Древнего Египта В начале 20-го века в Саккаре (Египет)

5.11 Феномен Древнего Египта В начале 20-го века в Саккаре (Египет)

археологи вскрыли склеп, в котором были погребены останки древне-египетского зодчего по имени Хеси-Ра. Из склепа наряду с различными материальными ценностями были извлечены деревянные доски-панели, покрытые великолепной резьбой, которую исполнила рука безупречного мастера. Всего в склепе помещалось 11 досок; из них сохранилось только пять, а остальные панели полностью разрушены от проникшей в склеп влаги.

Эти рельефы интересны тем, что в руках у Хеси-Ра изображены две палки – два эталона меры. Если измерить длины этих палок и найти их отношение, то обнаружится, что они относятся как 1:?5 = 0,447!

37

38 5.12 Алгебраические свойства золотой пропорции Что же это за "чудо"

5.12 Алгебраические свойства золотой пропорции Что же это за "чудо"

природы и математики, интерес к которому не только не увядает с течением времени, а наоборот - возрастает с каждым столетием. Для ответа на этот вопрос мы предлагаем напрячь все математические знания и погрузиться в мир математики - только таким путем вы сможете насладиться чудесными математическими свойствами золотой пропорции и через эти математические свойства понять и оценить всю красоту и гармонию золотой пропорции

Из уравнения "золотой пропорции" х? = х + 1 (1)

непосредственно вытекает первое очень простое и тем не менее весьма удивительное свойство золотой пропорции. Если корень t ("золотая пропорция") подставить вместо x в уравнение (1), то мы получим следующее тождество для "золотой пропорции":

Тождество (2) может быть представлено в виде: (3-а) или (3-б)

Если в правую часть (3-а) вместо t подставить его значение, задаваемое (3-а), то мы придем к представлению t в виде следующей "многоэтажной" дроби:

Если продолжить такую подстановку в правой части бесконечно число раз, то в результате получим "многоэтажную" дробь с бесконечным количеством "этажей": (4)

Представление (4) в математике называется "непрерывной" или "цепной" дробью. Заметим, что теория "цепных" дробей является одной из важных частей современной математики.

38

39 Рассмотрим теперь еще раз тождество (2)

Рассмотрим теперь еще раз тождество (2)

Оно может быть представлено в следующей форме: (5)

Если теперь в правой части тождества (5) вместо t подставить его выражение, задаваемое (5), то получим следующее представление t: (6)

Если в правой части тождества (6) опять подставлять выражение (5) вместо t и повторить эту операцию бесконечное число раз, то мы получим еще одно "замечательное представление" золотой пропорции в "радикалах": (7)

Каждый математик интуитивно стремится выразить свои математические результаты в наиболее простой, компактной форме. И если такую форму удается найти, то это доставляет математику "эстетическое наслаждение". В этом отношении (стремление к "эстетическому" выражению математических результатов) математическое творчество подобно творчеству композитора или поэта, главная задача которых состоит в получении совершенных музыкальных или поэтических форм, доставляющих "эстетическое удовольствие". Заметим, что формулы (4) и (7) вызывают также "эстетическое наслаждение" и вызывают неосознанное чувство ритма и гармонии, когда мы начинаем задумываться над бесконечной повторяемостью одних и тех же простых математических элементов в формулах для t, задаваемых (4), (7).

39

40 VI

VI

Домашнее задание: №623(уч.Геометрия, 7-9,Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.) I. Итог урока. Заключение. 1. Вывод по изученному материалу и ходу урока делает учитель. 2. В заключение учитель рассказывает притчу: «Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства храма. Мудрец остановился и задал каждому один и тот же вопрос: «Что ты делал целый День?» Первый с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. Второй ответил, что целый день он добросовестно выполнял свою работу. А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!» Ребята! Давайте попробуем оценить каждый свою работу за урок. II. Литература, другие источники информации: 8.1 Математика / еженедельное учебно -методическое приложение к газете «Первое сентября», №1, 1999г. 8.2 Волошинов А.В. Математика и искусство: Кн. для тех, кто не только любит математику или искусство, но и желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. – 2-е изд., дораб. и доп. – М.: Просве – щение, 2000г. 8.3 Internet Explorer/http:// www.yandex.ru// золотое сечение. 8.4 уч. Геометрия, 7-9, Руденко В.Н., Бахурин Г.А./ Под ред. А.Я.Цукаря. – М.: Просвещение, 2000г.

40

«Золотое сечение»
http://900igr.net/prezentacija/obschestvoznanie/zolotoe-sechenie-146882.html
cсылка на страницу

Без темы

1473 презентации
Урок

Обществознание

85 тем
Слайды