Универсальные учебные действия
<<  По двигатель внутреннего сгорания 6 класс Развитие универсальных учебных действий в стандарах второго поколения  >>
Методические особенности отбора содержания учебного материала
Методические особенности отбора содержания учебного материала
Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать уравнения,
Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать уравнения,
Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать уравнения,
Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать уравнения,
Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать уравнения,
Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать уравнения,
Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010
Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010
Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010
Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010
Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010
Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
[1] : №№ … [2] : №№ …
[1] : №№ … [2] : №№ …
Системы рациональных уравнений
Системы рациональных уравнений
Системы рациональных уравнений
Системы рациональных уравнений
Системы рациональных уравнений
Системы рациональных уравнений
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
[1] : №№ … [2] : №№ … ( )
[1] : №№ … [2] : №№ … ( )
[1] : №№ … [2] : №№ … ( )
[1] : №№ … [2] : №№ … ( )
Система задач по теме «Иррациональные уравнения»
Система задач по теме «Иррациональные уравнения»
Система задач по теме «Иррациональные уравнения»
Система задач по теме «Иррациональные уравнения»
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Системы иррациональных уравнений
Системы иррациональных уравнений
Системы иррациональных уравнений
Системы иррациональных уравнений
Системы иррациональных уравнений
Системы иррациональных уравнений
Системы иррациональных уравнений
Системы иррациональных уравнений
Системы иррациональных уравнений
Системы иррациональных уравнений
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Системы, содержащие показательные и логарифмические уравнения
Системы, содержащие показательные и логарифмические уравнения
Системы, содержащие показательные и логарифмические уравнения
Системы, содержащие показательные и логарифмические уравнения
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,
Системы тригонометрических уравнений
Системы тригонометрических уравнений
Способ алгебраического сложения Пример 2. Решение: (1) + (2): (1)-(2):
Способ алгебраического сложения Пример 2. Решение: (1) + (2): (1)-(2):
Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010
Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010
Анализ задач C3, проверяющих умения решать неравенства и системы
Анализ задач C3, проверяющих умения решать неравенства и системы

Презентация: «Методические особенности отбора содержания учебного материала направленного на усвоение учащимися умений решать уравнения, неравенства и их системы, выполнять действия с функциями при выполнении заданий повышенного и высокого». Автор: user. Файл: «Методические особенности отбора содержания учебного материала направленного на усвоение учащимися умений решать уравнения, неравенства и их системы, выполнять действия с функциями при выполнении заданий повышенного и высокого.ppt». Размер zip-архива: 614 КБ.

Методические особенности отбора содержания учебного материала направленного на усвоение учащимися умений решать уравнения, неравенства и их системы, выполнять действия с функциями при выполнении заданий повышенного и высокого

содержание презентации «Методические особенности отбора содержания учебного материала направленного на усвоение учащимися умений решать уравнения, неравенства и их системы, выполнять действия с функциями при выполнении заданий повышенного и высокого.ppt»
СлайдТекст
1 Методические особенности отбора содержания учебного материала

Методические особенности отбора содержания учебного материала

направленного на усвоение учащимися умений решать уравнения, неравенства и их системы, выполнять действия с функциями при выполнении заданий повышенного и высокого уровней сложности

2 Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать уравнения,

Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать уравнения,

неравенства, и системы

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Методы решений

Методы решений

Методы решений

Методы решений

Методы решений

Методы решений

Равносильные

Виды уравнений

Виды уравнений

Рациональные

Иррациональные

Показательные

Логарифмические

Тригонометрические

Комбинированные

Содержащие переменную под знаком модуля

С параметром

2

Специальные

Разложение на множители

Замена переменной

Использование свойств функций

Использование графиков

Несколько приемов

3 Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать уравнения,

Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать уравнения,

неравенства, и системы

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Методы решений систем уравнений

Методы решений систем уравнений

Методы решений систем уравнений

Методы решений систем уравнений

Методы решений систем уравнений

Равносильность систем уравнений

Системы уравнений

Системы уравнений

Рациональных

Иррациональных

Показательных

Логарифмических

Тригонометрические

Комбинированных

С параметром

3

Подстановка

Алгебраическое сложение

Введение новых переменных

Использование свойств функций

Использование графиков функций

4 Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать уравнения,

Анализ задач C1, C3, C5, проверяющих умения решать уравнения,

неравенства, и системы

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Равносильные преобразования

Равносильные преобразования

Равносильные преобразования

+

+

+

Равносильные преобразования

Равносильные преобразования

Равносильные преобразования

+

+

+

Неравенства, системы неравенств

Неравенства, системы неравенств

Неравенства, системы неравенств

Неравенства

Неравенства

Неравенства

Неравенства

Системы неравенств

Системы неравенств

Методы решений

Методы решений

Методы решений

Методы решений

Методы решений

Методы решений

Равносильность неравенств, систем неравенств

Метод интервалов

Использование свойств функций

Использование графиков функций

Равносильные преобразования системы

Равносильные преобразования системы

Использование свойств и графиков функций

Рациональные

Показательные

Логарифмические

Комбинированные

С параметром

4

5 Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010

Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010

по математике

Решите систему уравнений

Решите систему уравнений

Ограничения для переменных x, y: 2. Решим первое уравнение системы с учетом ограничений для переменной y: Полученная система равносильна совокупности систем:

Решение

Анализ решения (требования к учащимся)

1. Анализ условия задачи и выбор способа решения системы (подстановка). 2. Учет ограничений для переменных на основе понятий ОДЗ, ООУ. 3. Решение тригонометрических уравнений. 4. Отбор множества корней уравнения с учетом заданных условий (ограничений) для переменной.

5

6 Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010

Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010

по математике

Решение системы уравнений (продолжение)

Анализ решения (требования к учащимся)

3. а) если тогда второе уравнение системы примет вид: , откуда . Так как 0 и 2 принадлежат множеству допустимых значений переменной x, следовательно - решения системы. б) если , тогда второе уравнение системы примет вид: Значения -1 и 3 принадлежат множеству допустимых значений переменной x, следовательно - решения системы. Ответ. ;

5. Вычисление значений тригонометрических функций при заданных значениях аргумента. 6. Решение иррациональных Уравнений. 7. Запись решений системы уравнений в виде пар чисел или соответствующих значений переменных. 8. Отбор решений системы уравнений с учетом ограничений и равносильности преобразований всех уравнений системы. 9. Запись ответа.

6

7 Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010

Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010

по математике

Выводы

Выводы

Объем содержания учебного материала, подлежащего повторению при подготовке к итоговой аттестации по теме «Уравнения»

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения; Равносильность преобразований уравнений; Системы уравнений и методы их решения

Отбор и дидактическое преобразование учебного материала при подготовке учащихся к итоговой аттестации по разделу «Уравнения»

Структурирование содержания по видам уравнений и методам решений Разработка дидактических материалов для организации самостоятельной учебной деятельности выпускников при повторении курса математики (на примере раздела «Уравнения»)

7

8 Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Основные понятия, теоремы

Основные понятия, теоремы

Основные понятия

Теоремы

Равенство вида (1), где и - функции, заданные на некотором числовом множестве М, наз.уравнением с одним неизвестным. Решением (корнем) уравнения (1) наз. значение неизвестного, взятого из множества М, которое обращает данное уравнение в верное равенство. Решить уравнение – найти множество всех его решений или установить, что их нет. Областью определения уравнения (1) или ОДЗ неизвестного уравнения (1) наз. множество всех значений, взятых из числового множества М, при которых существуют обе функции и . Пусть в результате преобразования уравнения (1) получилось уравнение (2). Если все решения уравнения (1) являются решениями уравнения (2), то уравнение (2) является следствием уравнения (1). Два уравнения (1) и (2) с одним и тем же неизвестным наз. равносильными, если уравнение (2) является следствием уравнения (1) и, наоборот, уравнение (1) является следствием уравнения (2) или если оба уравнения решений не имеют.

Т1 Если над частями данного уравнения произвести тождественные преобразования, не меняющие области определения этого уравнения, то получим уравнение, равносильное данному. Т2. Если к обеим частям данного уравнения прибавить одно и то же число или одно и то же выражение, имеющие числовой смысл при всех значениях неизвестного из области определения этого уравнения, то получим уравнение, равносильное данному. Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив их знаки на противоположные. Т3. Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, неравное нулю, или на одно и тоже, выражение, имеющее смысл и неравное нулю при всех значениях неизвестного из области определения этого уравнения, то получим уравнение, равносильное данному. Следствие. Если все члены уравнения делятся на одно и то же число или выражение, неравное нулю при всех знач. неизвестного из области определения уравнения, то их можно разделить на это число или выражение.

8

9 Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Основные теоремы (продолжение), правила

Основные теоремы (продолжение), правила

Т4. Если уравнение (1) равносильно уравнению (2), а уравнение (2) равносильно уравнению (3), то уравнение (1) равносильно уравнению (3).

Если при некоторых преобразованиях ОДЗ уравнения расширяется, то полученное уравнение может иметь посторонние корни для данного уравнения, которые следует проверить подстановкой в него (в исходное уравнение). Если при некоторых преобразованиях данного уравнения ОДЗ полученного уравнения сузилось по сравнению с ОДЗ данного уравнения, то можно потерять корни данного уравнения. В этом случае необходимо дополнительно исследовать, нет ли среди тех значений неизвестного, на которые сузилась ОДЗ данного уравнения, его корней. Если решение данного уравнения проведено исключительно на основании теорем 1-4, то проверка найденных корней необязательна. Если же приходилось пользоваться какими-либо преобразованиями, не входящими в условия этих теорем, то проверка найденных значений неизвестного по условию уравнения обязательна, т.е. является составной частью решения уравнения.

9

10 Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Рациональные уравнения (информационная карта для ученика)

Рациональные уравнения (информационная карта для ученика)

Рациональные уравнения (информационная карта для ученика)

Общие теоретические сведения

Общие теоретические сведения

Общие теоретические сведения

Основные формулы: , , , , , , , где - корни уравнения . Т. Безу: Если многочлен разделить на двучлен x-a, то в остатке получим число . Опр. Уравнение вида , где - многочлен степени n, называется рациональным алгебраическим уравнением. Опр. Дробным рациональным алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, содержащее хотя бы в одной части дробное рациональное выражение относительно неизвестного.

Основные формулы: , , , , , , , где - корни уравнения . Т. Безу: Если многочлен разделить на двучлен x-a, то в остатке получим число . Опр. Уравнение вида , где - многочлен степени n, называется рациональным алгебраическим уравнением. Опр. Дробным рациональным алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, содержащее хотя бы в одной части дробное рациональное выражение относительно неизвестного.

Основные формулы: , , , , , , , где - корни уравнения . Т. Безу: Если многочлен разделить на двучлен x-a, то в остатке получим число . Опр. Уравнение вида , где - многочлен степени n, называется рациональным алгебраическим уравнением. Опр. Дробным рациональным алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, содержащее хотя бы в одной части дробное рациональное выражение относительно неизвестного.

Виды уравнений

Основа решения

Примеры заданий

1.

1.1. Если , то 1.2. Если , то нет корней; 1.3. Если a=0 и b=0, то x – любое д.Ч.

[1] : №№ …

10

11 [1] : №№ … [2] : №№ …

[1] : №№ … [2] : №№ …

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Рациональные уравнения (продолжение)

Рациональные уравнения (продолжение)

Рациональные уравнения (продолжение)

Виды уравнений

Основа решения

Примеры заданий

2.

3. n>2

[1] : №№ … [2] : №№ …

3.

[1] : №№ … [2] : №№ …

а) б) в) г) теорема Виета ….

Метод разложения левой части на множители. Метод понижения степени многочлена: если x=a – корень многочлена , то

11

12 Системы рациональных уравнений

Системы рациональных уравнений

Решите систему уравнений:

Решите систему уравнений:

Решение

Анализ задачи

Можно применить способ подстановки, выразив из первого уравнения и подставив во второе. Затем решить уравнение 6-ой степени. 2. Представленный способ опирается на прием понижения степени уравнения и использование подстановки, метода замены переменой.

(*) Пусть (x+y)=t, тогда первое уравнение системы (*) примет вид: , - единственный действительный корень. Система (*) равносильна системе Ответ. (-1; 2); (2; -1)

12

13 Системы рациональных уравнений

Системы рациональных уравнений

Решите систему уравнений: 2) 3) 4) 5)

ОДЗ: . Пусть , , тогда система (2) примет вид:

(3) . Пусть , , тогда система примет вид: …

(4) … Ответ. (-1; -3); (-3; -1); (1; 3); (3; 1).

13

14 Системы рациональных уравнений

Системы рациональных уравнений

Вывод

Решение систем рациональных уравнений: Решение линейных, квадратных, алгебраических уравнений Решение дробно-рациональных уравнений Применение основных способов решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, графический способ; Преобразование уравнений системы на основе равносильных преобразований; Использование различных приемов преобразования уравнений системы: с помощью формул сокращенного умножения, разложения на множители, введение новых переменных, преобразование системы к решению квадратного уравнения; использование свойств функции для исследования уравнения: нахождения ОДЗ, оценка значений выражений, определение количества корней уравнения, системы; Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля; Исследование решения уравнения, системы с помощью параметра. Решение систем рациональных уравнений – подготовительная работа к решению уравнений и систем других видов.

14

15 Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Иррациональные уравнения (информационная карта для ученика)

Иррациональные уравнения (информационная карта для ученика)

Иррациональные уравнения (информационная карта для ученика)

Общие теоретические сведения

Общие теоретические сведения

Общие теоретические сведения

Основные формулы: 2. Основные методы решения иррациональных уравнений: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень; введение новых переменных 3.При решении иррациональных уравнений методами (2) возможно появление посторонних корней, поэтому необходимой частью решения иррациональных уравнений является проверка корней либо подстановкой корней в исходное уравнение, либо путем доказательства равносильности уравнений, получаемых на всех этапах решения. Возведение в четную степень обеих частей уравнения сохраняет равносильность уравнений на множестве М, если: обе части уравнения определены на множестве М; обе части уравнения неотрицательны на множестве М.

Основные формулы: 2. Основные методы решения иррациональных уравнений: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень; введение новых переменных 3.При решении иррациональных уравнений методами (2) возможно появление посторонних корней, поэтому необходимой частью решения иррациональных уравнений является проверка корней либо подстановкой корней в исходное уравнение, либо путем доказательства равносильности уравнений, получаемых на всех этапах решения. Возведение в четную степень обеих частей уравнения сохраняет равносильность уравнений на множестве М, если: обе части уравнения определены на множестве М; обе части уравнения неотрицательны на множестве М.

Основные формулы: 2. Основные методы решения иррациональных уравнений: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень; введение новых переменных 3.При решении иррациональных уравнений методами (2) возможно появление посторонних корней, поэтому необходимой частью решения иррациональных уравнений является проверка корней либо подстановкой корней в исходное уравнение, либо путем доказательства равносильности уравнений, получаемых на всех этапах решения. Возведение в четную степень обеих частей уравнения сохраняет равносильность уравнений на множестве М, если: обе части уравнения определены на множестве М; обе части уравнения неотрицательны на множестве М.

Виды уравнений

Основа решения

Примеры заданий

1.

[1] : №№ … [2] : №№ …

15

16 [1] : №№ … [2] : №№ … ( )

[1] : №№ … [2] : №№ … ( )

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Иррациональные уравнения (продолжение) (информ. карта для ученика)

Иррациональные уравнения (продолжение) (информ. карта для ученика)

Иррациональные уравнения (продолжение) (информ. карта для ученика)

Виды уравнений

Основа решения

Примеры заданий

2.

3.

[1] : №№ … [2] : №№ …

4.

[1] : №№ … [2] : №№ …

5.

[1] : №№ … [2] : №№ …

Метод введения новой переменной

16

17 [1] : №№ … [2] : №№ … ( )

[1] : №№ … [2] : №№ … ( )

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Иррациональные уравнения (продолжение) (информ. карта для ученика)

Иррациональные уравнения (продолжение) (информ. карта для ученика)

Иррациональные уравнения (продолжение) (информ. карта для ученика)

Виды уравнений

Основа решения

Примеры заданий

6. Уравнения, решаемые с помощью исследования ОДЗ, оценки МЗФ

7. Уравнения, решаемые подбором корней

[1] : №№ … [2] : №№ … ( )

Сравнение ОДЗ, МЗФ в левой и правой частях уравнения

Доказательство единственности корня уравнения, подбор, проверка корня подстановкой

17

18 Система задач по теме «Иррациональные уравнения»

Система задач по теме «Иррациональные уравнения»

1 тип:

1 тип:

Решение

Анализ решения (требования к учащимся)

1 способ: ОДЗ: , . Корни удовлетворяют условию ОДЗ. Проверка …? (Затруднение)

2 способ: Ответ

Понимание неравносильности преобразования уравнения с помощью возведения его в четную степень. 2. Знание основных видов иррациональных уравнений и способов решения. 3. Анализ задачи и определение вида иррационального уравнения. 4. Выбор алгоритма (способа) решения иррационального уравнения в зависимости от вида уравнения. 5. Правильное применение выбранного способа (алгоритма) решения.

Понимание неравносильности преобразования уравнения с помощью возведения его в четную степень. 2. Знание основных видов иррациональных уравнений и способов решения. 3. Анализ задачи и определение вида иррационального уравнения. 4. Выбор алгоритма (способа) решения иррационального уравнения в зависимости от вида уравнения. 5. Правильное применение выбранного способа (алгоритма) решения.

18

19 Система задач по теме «Иррациональные уравнения»

Система задач по теме «Иррациональные уравнения»

4 тип:

4 тип:

Решение

Ответ

Анализ решения (требования к учащимся)

1. Анализ задачи и выявление особенностей условия (имеется полный квадрат двучлена). 2. Применение формулы квадрата двучлена и свойства арифметического квадратного корня из степени к преобразованию уравнения. 3. Применение определения модуля числа к равносильному преобразованию уравнения с модулем. 4. Решение иррационального уравнения с учетом имеющихся ограничений и равносильности преобразований.

19

20 Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля (информационная карта)

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля (информационная карта)

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля (информационная карта)

Общие теоретические сведения

Общие теоретические сведения

Общие теоретические сведения

Основные формулы:

Основные формулы:

Основные формулы:

Виды уравнений

Основа решения

Примеры заданий

1. |f(x)| = a

?

[1] : №№ … [2] : №№ …

2. |f(x)| = g(x)

[1] : №№ … [2] : №№ …

1 способ: или

2 способ:

3. |f(x)| = |g(x)|

[1] : №№ … [2] : №№ …

1 способ:

2 способ: Применение метода интервалов

20

21 Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля (продолжение)

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля (продолжение)

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля (продолжение)

Виды уравнений

Основа решения

Примеры заданий

4. |f(x)| ± |g(x)| = h(x)

1 способ: Применение метода интервалов для определения промежутков знакопостоянства подмодульных выражений, рассмотрение всех возможных случаев. 2 способ:

[1] : №№ … [2] : №№ …

21

22 Системы иррациональных уравнений

Системы иррациональных уравнений

Пример 1. Решите систему:

Пример 1. Решите систему:

ОДЗ: 2. . Подстановка: получим: Откуда Ответ. (34; -30); (12; 4)

1. Преобразования, приводящие к системе, равносильной данной: линейные (алгебраическое сложение); замена уравнения на равносильное уравнение; замена уравнения совокупностью алгебраических уравнений; использование метода подстановки ( одно из уравнений содержит одно из неизвестных в первой степени). 2.Основные методы решения систем иррациональных уравнений: метод подстановки; метод введения новых неизвестных; преобразование уравнений системы возведением обеих частей в степень.

1. Преобразования, приводящие к системе, равносильной данной: линейные (алгебраическое сложение); замена уравнения на равносильное уравнение; замена уравнения совокупностью алгебраических уравнений; использование метода подстановки ( одно из уравнений содержит одно из неизвестных в первой степени). 2.Основные методы решения систем иррациональных уравнений: метод подстановки; метод введения новых неизвестных; преобразование уравнений системы возведением обеих частей в степень.

Решение

Анализ решения

1. Анализ условия задачи и выделение особенностей условия. 2. Введение новых переменных и преобразование системы. 3. Решение системы алгебраических уравнений. 4. Решение простейших иррациональных уравнений. 5. Отбор решений системы уравнений с учетом равносильности преобразований.

22

23 Системы иррациональных уравнений

Системы иррациональных уравнений

Примеры. Решите систему: 2) 3) 4) 5)

Примеры. Решите систему: 2) 3) 4) 5)

Решение

Анализ решения

2) ОДЗ: 2. Пусть … Ответ. (1; 64); (64; 1).

1. Нахождений ОДЗ и введение новых переменных на основе анализа условия. 2. Применение опыта преобразования систем рациональных уравнений к полученной системе. 3. Решение простейших иррациональных уравнений.

1. Нахождений ОДЗ и введение новых переменных на основе анализа условия. 2. Применение опыта преобразования систем рациональных уравнений к полученной системе. 3. Решение простейших иррациональных уравнений.

3) Пусть 2. Система примет вид: … Ответ. (1; 27); (27; 1).

23

24 Системы иррациональных уравнений

Системы иррациональных уравнений

Примеры. Решите систему: 4) 5) 6)

Примеры. Решите систему: 4) 5) 6)

Решение

Анализ решения

4) 1. Пусть , тогда система примет вид: … u=2?0, v=1?0. 2. 3. Проверка … Ответ. (3; 1).

1. Введение новых переменных и определение их ОДЗ на основе анализа системы. 2. Решение полученной системы рациональных уравнений на основе использования формул сокращенного умножения и подстановки. 3. Решение простейших иррац. уавнений.

1. Введение новых переменных и определение их ОДЗ на основе анализа системы. 2. Решение полученной системы рациональных уравнений на основе использования формул сокращенного умножения и подстановки. 3. Решение простейших иррац. уавнений.

5) 1. Умножив первое и второе уравнения, получим уравнение: откуда y=4. 2. Подставив значение y=4 во второе уравнение, получим В результате возведения уравнения в квадрат и упрощения его левой и правой частей, получим: , откуда . Проверка показала, что пара чисел (5; 4) – решение системы. Ответ. (5; 4).

24

25 Системы иррациональных уравнений

Системы иррациональных уравнений

Примеры. Решите систему: 6)

Примеры. Решите систему: 6)

Решение

Анализ решения

6) 1. Второе уравнение системы заменим совокупностью уравнений: . Корень первого уравнения x=0 не удовлетворяет ОДЗ переменных: . Исходная система примет вид: Найденная пара чисел удовлетворяет заданной системе. Ответ. (0,5; 0,5).

1. Анализ условия и выбор уравнения для преобразования. 2. Преобразование уравнения системы на основе свойства равенства нулю произведения двух множителей к совокупности уравнений. 3. Отбор найденных корня (зависимости) по условию ОДЗ. 4. Преобразование системы на основе установленной зависимости между переменными. 5. Отбор (проверка) решений.

25

26 Системы иррациональных уравнений

Системы иррациональных уравнений

Вывод

Решение систем иррациональных уравнений предполагает использование опыта учащихся: решения систем рациональных уравнений; решения уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля; решения различных видов иррациональных уравнений; анализа и учета равносильности преобразований уравнений и системы;

26

27 Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Показательные уравнения (информационная карта для ученика)

Показательные уравнения (информационная карта для ученика)

Показательные уравнения (информационная карта для ученика)

Общие теоретические сведения

Общие теоретические сведения

Общие теоретические сведения

1. Или

2.

3.

Виды уравнений

Основа решения

Примеры заданий

[1] : №№ … [2] : №№ …

[1] : №№ … [2] : №№ …

Введение новой переменной

[1] : №№ … [2] : №№ …

27

28 Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Показательные уравнения. Примеры.

Показательные уравнения. Примеры.

Решение

а) Ответ. 8.

3 а) Ответ. 0.

1) а) б) в) г) 3) а)

1) а) б) в) г) 3) а)

Анализ решения (требования к учащимся)

1. Знание основных видов показательных уравнений и способов (алгоритмов)их решения. 2. Умения преобразовывать уравнение, содержащее неизвестное в показателе степени к известному виду на основе свойств степени, разложения левой части уравнения на множители, замены переменной. 3. Понимание условий равносильного перехода от показательного уравнения к алгебраическому. 4. Решать основные виды показательных уравнений

1. Знание основных видов показательных уравнений и способов (алгоритмов)их решения. 2. Умения преобразовывать уравнение, содержащее неизвестное в показателе степени к известному виду на основе свойств степени, разложения левой части уравнения на множители, замены переменной. 3. Понимание условий равносильного перехода от показательного уравнения к алгебраическому. 4. Решать основные виды показательных уравнений

28

29 Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Комбинированные уравнения: показательно-степенные

Комбинированные уравнения: показательно-степенные

Комбинированные уравнения: показательно-степенные

(Информационная карта для ученика)

(Информационная карта для ученика)

(Информационная карта для ученика)

1.

Виды уравнений

Основа решения

Примеры заданий

[1] : №№ … [2] : №№ …

29

30 Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Комбинированные уравнения: показательно-степенные. Примеры.

Комбинированные уравнения: показательно-степенные. Примеры.

Решение:

ОДЗ: 1 способ: уравнение равносильно совокупности систем: или Ответ. 0,1; 2; 1000.

Анализ решения (требования к учащимся)

Анализ условия: понимание, что т.к. МЗФ - любое действительной число, то по определению степени с действительным показателем , откуда . 2. Применение определения логарифма к нахождению ОДЗ переменной. 3. Правильное применение теоремы о равносильном переходе от показательного уравнения к алгебраическому: 4. Понимание, что использование данной теоремы сужает ОДЗ, то есть исключает значения x, при которых . 5. Рассмотрение уравнения при x , для которых выполняется условие

Анализ условия: понимание, что т.к. МЗФ - любое действительной число, то по определению степени с действительным показателем , откуда . 2. Применение определения логарифма к нахождению ОДЗ переменной. 3. Правильное применение теоремы о равносильном переходе от показательного уравнения к алгебраическому: 4. Понимание, что использование данной теоремы сужает ОДЗ, то есть исключает значения x, при которых . 5. Рассмотрение уравнения при x , для которых выполняется условие

2. способ: так как , то при всех x из ОДЗ обе части уравнения положительны, следовательно уравнение равносильно системе:

30

31 Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Логарифмические уравнения (информационная карта для ученика)

Логарифмические уравнения (информационная карта для ученика)

Логарифмические уравнения (информационная карта для ученика)

Общие теоретические сведения

Общие теоретические сведения

Общие теоретические сведения

1.

2.

2.

Теорема: Преобразование уравнения с помощью свойств логарифма: не являются равносильными.

Теорема: Преобразование уравнения с помощью свойств логарифма: не являются равносильными.

Теорема: Преобразование уравнения с помощью свойств логарифма: не являются равносильными.

Виды уравнений

Основа решения

Примеры заданий

1 способ: 2 способ:

[1] : №№ … [2] : №№ …

Метод введения новой переменной

[1] : №№ … [2] : №№ …

31

[1] : №№ … [2] : №№ …

32 Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Комбинированные уравнения: показательно-логарифмические

Комбинированные уравнения: показательно-логарифмические

Комбинированные уравнения: показательно-логарифмические

(Информационная карта для ученика)

(Информационная карта для ученика)

(Информационная карта для ученика)

2.

Логарифмирование обеих частей уравнения

Пример:

Пример:

Пример:

Решение: ОДЗ: -0,25 – принадлежит ОДЗ; -4 – не принадлежит ОДЗ. Так как все преобразования уравнения были равносильны на ОДЗ, то проверка не требуется. Ответ. -0,25.

Решение: ОДЗ: -0,25 – принадлежит ОДЗ; -4 – не принадлежит ОДЗ. Так как все преобразования уравнения были равносильны на ОДЗ, то проверка не требуется. Ответ. -0,25.

Решение: ОДЗ: -0,25 – принадлежит ОДЗ; -4 – не принадлежит ОДЗ. Так как все преобразования уравнения были равносильны на ОДЗ, то проверка не требуется. Ответ. -0,25.

Виды уравнений

Основа решения

Примеры заданий

[1] : №№ … [2] : №№ …

32

33 Системы, содержащие показательные и логарифмические уравнения

Системы, содержащие показательные и логарифмические уравнения

Способ подстановки; Способ алгебраического сложения; Метод введения новой переменной; Равносильность преобразований уравнений.

Способ подстановки; Способ алгебраического сложения; Метод введения новой переменной; Равносильность преобразований уравнений.

Примеры. Решите систему:

Примеры. Решите систему:

(1) ОДЗ: (2) ОДЗ: Все преобразования системы равносильны на ОДЗ, проверка не требуется. Ответ. (3; 9), (9; 3).

Решение

Анализ решения

1. Анализ условия и определение способов преобразования уравнений системы на основе умений решать показательные , логарифмические уравнения. 2. Решение систем рациональных ур.

33

34 Системы, содержащие показательные и логарифмические уравнения

Системы, содержащие показательные и логарифмические уравнения

Примеры. Решите систему:

Примеры. Решите систему:

(3) ОДЗ: Подставив значение y=3 в первое уравнение, получим: . Так как функция возрастающая, а функция - убывающая на ОДЗ переменной x, то полученное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x=9. Проверка показала, что пара чисел (9; 3) – решение системы. Ответ. (9; 3).

Решение

Анализ решения

1. Находить ОДЗ, выбирать способ преобразования уравнений на основе анализа связей между членами уравнения. 2. Знание показательно-степенного уравнения, способов его преобразования на основе понимания определения степени с дейст. показателем, теоремы о преобразовании показательного уравнения, и учете ограничений при ее использовании.

34

35 Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Тригонометрические уравнения (информационная карта для ученика)

Тригонометрические уравнения (информационная карта для ученика)

Тригонометрические уравнения (информационная карта для ученика)

1. Простейшие: sin x = a,|a|?1; cos x = a, |a|?1; tg x = a; ctg x =a;

2.

Виды уравнений

Основа решения

Примеры заданий

А) б) в) г)

[1] : №№ … [2] : №№ …

алгоритм решения: Если cos x =0, то получим противоречие основн. тригон. Тождеству, значит cos x ?0.

[1] : №№ … [2] : №№ …

35

36 Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных,

логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения

Тригонометрические уравнения (информационная карта для ученика)

Тригонометрические уравнения (информационная карта для ученика)

Тригонометрические уравнения (информационная карта для ученика)

3.

4.

5. Уравнения, решаемые методом замены переменной

Виды уравнений

Основа решения

Примеры заданий

(3) Алгоритм: Существует такое число ? (0<? <2?), что , тогда , где

[1] : №№ … [2] : №№ …

[1] : №№ … [2] : №№ …

[1] : №№ … [2] : №№ …

36

37 Системы тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений

Замечание: в записи решений тригонометрических уравнений, решаемых в системе, используются разные буквы, обозначающие целые множители (n, k), так как использование одного и того же символа может привести к потере решения. Общие способы решения систем тригонометрических уравнений: Подстановки; Алгебраического сложения; Введение новых переменных

Замечание: в записи решений тригонометрических уравнений, решаемых в системе, используются разные буквы, обозначающие целые множители (n, k), так как использование одного и того же символа может привести к потере решения. Общие способы решения систем тригонометрических уравнений: Подстановки; Алгебраического сложения; Введение новых переменных

Информационная карта для учащихся

Информационная карта для учащихся

Образцы решений

Задания

Способ подстановки Пример 1 Ответ.

[1] : №№ … [2] : №№ …

37

38 Способ алгебраического сложения Пример 2. Решение: (1) + (2): (1)-(2):

Способ алгебраического сложения Пример 2. Решение: (1) + (2): (1)-(2):

исходная система примет вид: Ответ.

Системы тригонометрических уравнений

Информационная карта для учащихся

Информационная карта для учащихся

Образцы решений

Задания

[1] : №№ … [2] : №№ …

38

39 Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010

Решение и анализ решений заданий С1 тренировочных вариантов ЕГЭ-2010

по математике

Выводы

Выводы

Объем содержания учебного материала, подлежащего повторению при подготовке к итоговой аттестации по теме «Уравнения»

Основные виды рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических, комбинированных уравнений и методы их решения; Равносильность преобразований уравнений; Системы уравнений и методы их решения

Отбор и дидактическое преобразование учебного материала при подготовке учащихся к итоговой аттестации по разделу «Уравнения»

Структурирование содержания по видам уравнений и методам решений Разработка дидактических материалов для организации самостоятельной учебной деятельности выпускников при повторении курса математики (на примере раздела «Уравнения»)

39

40 Анализ задач C3, проверяющих умения решать неравенства и системы

Анализ задач C3, проверяющих умения решать неравенства и системы

неравенств

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Равносильные преобразования

Равносильные преобразования

Равносильные преобразования

+

+

+

Равносильные преобразования

Равносильные преобразования

Равносильные преобразования

+

+

+

Неравенства, системы неравенств

Неравенства, системы неравенств

Неравенства, системы неравенств

Неравенства

Неравенства

Неравенства

Неравенства

Системы неравенств

Системы неравенств

Методы решений

Методы решений

Методы решений

Методы решений

Методы решений

Методы решений

Равносильность неравенств, систем неравенств

Метод интервалов

Использование свойств функций

Использование графиков функций

Равносильные преобразования системы

Равносильные преобразования системы

Использование свойств и графиков функций

Рациональные

Показательные

Логарифмические

Комбинированные

С параметром

40

«Методические особенности отбора содержания учебного материала направленного на усвоение учащимися умений решать уравнения, неравенства и их системы, выполнять действия с функциями при выполнении заданий повышенного и высокого»
http://900igr.net/prezentacija/pedagogika/metodicheskie-osobennosti-otbora-soderzhanija-uchebnogo-materiala-napravlennogo-na-usvoenie-uchaschimisja-umenij-reshat-uravnenija-neravenstva-i-ikh-sistemy-vypolnjat-dejstvija-s-funktsijami-pri-vypolnenii-zadanij-povyshennogo-i-vysokogo-147191.html
cсылка на страницу
Урок

Педагогика

135 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по педагогике > Универсальные учебные действия > Методические особенности отбора содержания учебного материала направленного на усвоение учащимися умений решать уравнения, неравенства и их системы, выполнять действия с функциями при выполнении заданий повышенного и высокого