Вычисление производной Скачать
презентацию
<<  Дифференцирование показательной функции Вычисление производных  >>
Полный дифференциал функции нескольких переменных
Полный дифференциал функции нескольких переменных
Полное приращение функции 2-х переменных
Полное приращение функции 2-х переменных
Определение дифференцируемой функции
Определение дифференцируемой функции
Определение дифференциала
Определение дифференциала
Формула для вычисления дифференциала
Формула для вычисления дифференциала
Дифференциалы высшего порядка
Дифференциалы высшего порядка
Достаточные условия дифференцируемости функции
Достаточные условия дифференцируемости функции
Функция
Функция
Экстремумы функции двух переменных
Экстремумы функции двух переменных
Теорема
Теорема
Достаточные условия экстремума функции двух переменных
Достаточные условия экстремума функции двух переменных
Наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшее и наименьшее значения функции
Абсолютный экстремум
Абсолютный экстремум
Скалярное поле
Скалярное поле
Основные определения
Основные определения
Множество точек
Множество точек
Линии уровня
Линии уровня
Производная по направлению
Производная по направлению
Вычисление производной по направлению
Вычисление производной по направлению
Градиент скалярного поля
Градиент скалярного поля
Найти градиент функции
Найти градиент функции
Направление градиента
Направление градиента
Скорость изменения функции
Скорость изменения функции
Величина градиента плоского скалярного поля
Величина градиента плоского скалярного поля
Продолжение
Продолжение
Градиент поля направлен по нормали к линии уровня
Градиент поля направлен по нормали к линии уровня
Слайды из презентации «Дифференциал функции нескольких переменных» к уроку алгебры на тему «Вычисление производной»

Автор: Людмла. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Дифференциал функции нескольких переменных.ppt» бесплатно в zip-архиве размером 138 КБ.

Скачать презентацию

Дифференциал функции нескольких переменных

содержание презентации «Дифференциал функции нескольких переменных.ppt»
СлайдТекст
1 Полный дифференциал функции нескольких переменных

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Лекция 2

2 Полное приращение функции 2-х переменных

Полное приращение функции 2-х переменных

Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение

3 Определение дифференцируемой функции

Определение дифференцируемой функции

Функция называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение можно представить в виде , где ?x и ?y -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М(х,у), А и В –постоянные, независящие от ?x и ?y , o(?)-бесконечно малая более высокого порядка, чем -расстояние между М(х,у) и

4 Определение дифференциала

Определение дифференциала

Главная линейная относительно ?x и ?y часть полного приращения функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y) . Таким образом, .

5 Формула для вычисления дифференциала

Формула для вычисления дифференциала

Если функция дифференцируема в точке М(х,у),то она имеет в этой точке частные производные и , причем =А, а =В . Таким образом, . Если положить ,то

6 Дифференциалы высшего порядка

Дифференциалы высшего порядка

Дифференциалом второго порядка функции z=f(x,y) называется Вообще: Если х и у независимые переменные, то .

7 Достаточные условия дифференцируемости функции

Достаточные условия дифференцируемости функции

Пусть функция в некоторой окрестности точки М(х,у)имеет частные производные , и ,которые непрерывны в самой точке М. Тогда функция дифференцируема в этой точке.

8 Функция

Функция

Опр. Функция, имеющая в некоторой точке непрерывные частные производные, называется непрерывно дифференцируемой в этой точке.

Достаточные условия дифференцируемости функции

9 Экстремумы функции двух переменных

Экстремумы функции двух переменных

Определение. Говорят, что в точке функция f (x,y) имеет максимум, если cуществует такая окрестность этой точки, что для всех точек P(x,y) этой окрестности, отличных от , выполнено неравенство Аналогично определяется минимум функции. Минимум и максимум функции называются ее экстремумами.

.

10 Теорема

Теорема

Экстремумы функции двух переменных.

Теорема (необходимое условие экстремума). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых выполнены эти условия, называются критическими.

11 Достаточные условия экстремума функции двух переменных

Достаточные условия экстремума функции двух переменных

Теорема. Пусть функция z=f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки , в которой . Если при этом в этой точке выполнено условие , то точка является точкой экстремума функции, причем точкой максимума, если , и точкой минимума, если . Если же в этой точке , то экстремума в точке нет. В том случае, если в точке , теорема ответа не дает.

12 Наибольшее и наименьшее значения функции

Наибольшее и наименьшее значения функции

Определение. Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции (абсолютным минимумом или абсолютным максимумом соответственно) в этой области.

13 Абсолютный экстремум

Абсолютный экстремум

Согласно теореме Вейерштрасса непрерывная в замкнутой ограниченной области функция достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений. Абсолютный экстремум достигается функцией либо в критических точках, либо на границе области.

14 Скалярное поле

Скалярное поле

Лекция 3

15 Основные определения

Основные определения

Пусть в области D пространства Охуz задана функция u=u(х,у,z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а саму функцию u=u(х,у,z)называют функцией поля. Например, поле давлений, температур и т.д.

16 Множество точек

Множество точек

Основные определения.

Множество точек М области D, для которых скалярное поле сохраняет постоянное значение, т. е. u(М)=С, называется поверхностью уровня ( или изоповерхностью) скалярного поля. Если область D расположена на плоскости Оху, то поле u=u(х,у) является плоским. Поверхности уровня называют в этом случае линиями уровня.

17 Линии уровня

Линии уровня

Пример: пусть . Линии уровня этой поверхности имеют вид

18 Производная по направлению

Производная по направлению

Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля u=u(x,y,z) . Производной этой функции по направлению l называется

19 Вычисление производной по направлению

Вычисление производной по направлению

Производную по направлению вычисляют по формуле где cos?, cos? , cos?-направляющие косинусы вектора . Для плоского скалярного поля

20 Градиент скалярного поля

Градиент скалярного поля

Градиентом скалярного поля u=u(x,y,z), где u=u(x,y,z)-дифференцируемая функция, называется вектор с координатами . Таким образом, или .

21 Найти градиент функции

Найти градиент функции

Пример.

Найти градиент функции u= в точке M(6,2,3). Решение. Вычислим градиент функции. Тогда grad u = + +

22 Направление градиента

Направление градиента

Теорема. Производная функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке).

23 Скорость изменения функции

Скорость изменения функции

Направление градиента.

Так как производная по направлению представляет собой скорость изменения функции в данном направлении , а проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению, то градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции. .

24 Величина градиента плоского скалярного поля

Величина градиента плоского скалярного поля

Величина градиента плоского скалярного поля ,т.е. ? grad u ? = обозначается tg? и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f (x, y).

25 Продолжение

Продолжение

Градиент скалярного поля в данной точке по величине и направлению равен максимальной скорости изменения поля в этой точке, т. е. , где .

26 Градиент поля направлен по нормали к линии уровня

Градиент поля направлен по нормали к линии уровня

Направление градиента.

Точка Р, в которой gradu(P)=0, называется особой точкой скалярного поля. В противном случае эту точку называют неособой или обыкновенной точкой поля. Теорема. Во всякой неособой точке плоского скалярного поля градиент поля направлен по нормали к линии уровня , проходящей через эту точку, в сторону возрастания поля.

«Дифференциал функции нескольких переменных»
http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Differentsial-funktsii-neskolkikh-peremennykh/Differentsial-funktsii-neskolkikh-peremennykh.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

34 темы
Слайды
Презентация: Дифференциал функции нескольких переменных.ppt | Тема: Вычисление производной | Урок: Алгебра | Вид: Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Вычисление производной > Дифференциал функции нескольких переменных.ppt