График функции Скачать
презентацию
<<  Математика Графики Построить график функции  >>
Функции и их графики
Функции и их графики
Содержание
Содержание
Введение
Введение
Понятие функции
Понятие функции
Общие свойства функции
Общие свойства функции
Четность и нечетность
Четность и нечетность
Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого
Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого
При построении графиков четной и нечетной функции достаточно построить
При построении графиков четной и нечетной функции достаточно построить
Периодичность
Периодичность
Число T называется периодом функции
Число T называется периодом функции
Нули функции
Нули функции
Промежутки знакопостоянства
Промежутки знакопостоянства
Монотонность
Монотонность
Определение: Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей на
Определение: Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей на
Понятие обратной функции
Понятие обратной функции
Экстремумы функции
Экстремумы функции
Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке[a; b]
Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке[a; b]
Определение 2. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]
Определение 2. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]
Непрерывность
Непрерывность
Элементарные функции
Элементарные функции
Линейная функция
Линейная функция
x
x
3. Если k
3. Если k
Коэффициенты k и b в уравнении линейной функции y = kx + b, имеют
Коэффициенты k и b в уравнении линейной функции y = kx + b, имеют
Обратная пропорциональность
Обратная пропорциональность
График обратной пропорциональности называется гиперболой
График обратной пропорциональности называется гиперболой
Квадратичная функция
Квадратичная функция
2. Квадратичная функция вида y = ax2 также четная, неограниченная,
2. Квадратичная функция вида y = ax2 также четная, неограниченная,
3. Квадратичная функция общего вида y = ax2 + bx + c также четная,
3. Квадратичная функция общего вида y = ax2 + bx + c также четная,
Если он равен нулю, то график функции касается оси в точке (-b / 2a;
Если он равен нулю, то график функции касается оси в точке (-b / 2a;
Степенная функция
Степенная функция
Показательная функция
Показательная функция
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция
Тригонометрические функции
Тригонометрические функции
2.Функция косинус
2.Функция косинус
3.Функция тангенс
3.Функция тангенс
4.Функция котангенс
4.Функция котангенс
Слайды из презентации «Функции и их графики» к уроку алгебры на тему «График функции»

Автор: Катя. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Функции и их графики.ppt» бесплатно в zip-архиве размером 176 КБ.

Скачать презентацию

Функции и их графики

содержание презентации «Функции и их графики.ppt»
СлайдТекст
1 Функции и их графики

Функции и их графики

Содержание

2 Содержание

Содержание

Введение

Понятие функции

Общие свойства функции

Понятие обратной функции

Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции

Непрерывность

Элементарные функции

3 Введение

Введение

При изучении явлений окружающего мира и в практической деятельности нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объём, массу, температуру, время и т. д. В зависимости от рассматриваемых условий одни из величин имеют постоянные числовые значения, у других эти значения переменные. Такие величины соответственно называются постоянными и переменными. Математика изучает зависимость между переменными в процессе их изменения. Например, при изменении радиуса круга меняется и его площадь, и мы рассматриваем вопрос об изменении площади круга в зависимости от изменения его радиуса. Математическим выражением взаимной связи реальных величин является идея функциональной зависимости. Понятие функции – важнейшее понятие математики. Слово «функция» (от латинского «Functio» - исполнение обязанностей, деятельность) впервые ввел немецкий ученый Г. Лейбниц.

На главную

4 Понятие функции

Понятие функции

Пусть D и E – непустые числовые множества, а x и y – соответственно их элементы. Если каждому x?D (x принадлежит множеству D) ставится, в соответствии с некоторым законом, только одно значение y?E, то говорят, что между переменными x и y существует функциональная зависимость, и x называют независимой переменной (или аргументом), а y – зависимой переменной (или функцией). Символическая запись функции: y = f(x) (x?D, y?E). Множество D называют областью определения функции и обозначают D(f), а множество E называют областью изменения функции – E(f). Говорят еще, что функция f отображает множество D на множестве E.

На главную

5 Общие свойства функции

Общие свойства функции

Четность и нечетность

Периодичность

Нули функции

Промежутки знакопостоянства

Монотонность

На главную

6 Четность и нечетность

Четность и нечетность

Определение: Функция y = f(x) называется четной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение –x также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = f(x). Примеры четных функций: y = x2; y = x2 + 5; y = -3x2 + 1; y = ?x?; y = 3. (y = x2; y(1) = 12 = 1; y(-1) = (-1)2 = 1; y(1) = y(-1)). Согласно определению, четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат. График четной функции симметричен относительно оси ординат:

Назад

Далее

y

x0

O

x

- x0

7 Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого

Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого

значения x, взятого из области определения функции, значение –x также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = -f(x). Примеры нечетных функций: y = x3; y = x3 + x. (y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = -y(1)). График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

y = f(x)

f(-x0)

Назад

Далее

O

8 При построении графиков четной и нечетной функции достаточно построить

При построении графиков четной и нечетной функции достаточно построить

только правую ветвь графика для положительных значений аргумента. Левая ветвь достраивается симметрично относительно начала координат для нечетной функции и относительно оси ординат для четной функции. Произведение двух четных или двух нечетных функций представляет собой четную функцию, а произведение четной и нечетной функций – нечетную функцию. Конечно, большинство функций не являются ни четными, ни нечетными. Пример: y = x3 + x2 y(-1) = (-1)3 + (-1)2 = -1 + 1 = 0 y(1) = (1)3 + (1)2 = 1 + 1 = 2.

Назад

9 Периодичность

Периодичность

Определение: Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число T?0, что для любого значения x, взятого из области определения, значения x + T и x – T также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x) = f(x + T) = f(x – T):

y

T

y = f(x)

Назад

Далее

4

1

3

2

-1

10 Число T называется периодом функции

Число T называется периодом функции

Всякая периодическая функция имеет бесконечное число периодов.В самом деле, числа вида nT при любом целом n также являются периодом функции f(x), так как f(x + nT) = f(x + (n - 1)T + T) = f(x + (n – 1)T) = f(x + (n - 2)T + T) = f(x + (n - 2)T) = … = f(x). Иногда периодом называют наименьшее их всех чисел T > 0, удовлетворяющее данному выше определению. Примеры периодических функций: y = sin x; y = ctg x; y = sin3x. Периодической является и всякая постоянная функция, причем ее периодом служит любое ненулевое число. Например: y = 2; y = 10.

Назад

11 Нули функции

Нули функции

Определение: Нулем функции называется такое действительное значение x, при котором значение функции равно нулю.

Для того, чтобы найти нули функции, следует решить уравнение f(x) = 0. Действительные корни этого уравнения являются нулями функции y = f(x), и обратно. Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пересекает ось абсцисс, либо касается ее, либо имеет общую точку с этой осью.

Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

Назад

12 Промежутки знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства

Определение: Числовые промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства. Над этими промежутками график функции лежит выше оси абсцисс, если f(x) > 0, и ниже оси абсцисс, если f(x) < 0.

Назад

13 Монотонность

Монотонность

Функцию называют монотонно возрастающей, если с увеличением аргумента значение функции увеличивается, и монотонно убывающей, если с увеличением аргумента значение функции уменьшается.

y = f(x)

Назад

Далее

14 Определение: Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей на

Определение: Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей на

интервале (a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x2 > x1 следует неравенство f(x2) > f(x1). Функция y = f(x) называется монотонно убывающей на интервале (a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x2 > x1 следует неравенство f(x2) < f(x1). Интервал (a, b) предполагает взятым из области определения функции.

Назад

15 Понятие обратной функции

Понятие обратной функции

Функция, принимающая каждое свое значение в единственной точке области определения, называется обратимой. Таким образом, при k?0 функция f(x) = kx + b обратима, а функция f(x) = x2 не является обратимой. Если между величинами х и у существует функциональная зависимость, то, вообще говоря, безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую – функцией. Пусть задана функция y = f(x), где y является зависимой переменной, x – аргументом. Очевидно, в этом случае x и y можно поменять ролями, т. е. x будет функцией, а y – аргументом. Тогда рассматриваемая функциональная зависимость между x и y запишется так: x = Y(y). Функция x = Y(y) называется обратной по отношению к функции y = f(x).

y

x

На главную

y = sin x

1

O

p

-p

-p/2

p/2

-1

16 Экстремумы функции

Экстремумы функции

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Точка x0 называется точкой максимума (точкой минимума) для функции f(x), если значение в этой точке больше (меньше), чем значение функции в ближайших соседних точках. для обозначения максимума и минимума существует общий термин «экстремум» (от латинского «крайний»).

На главную

Далее

17 Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке[a; b]

Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке[a; b]

Говорят, что функция имеет максимум в точке x0? [a; b], если существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0). Под окрестностью точки x0 понимают интервал длины 2e с центром в точке x0, т. е. (x0 – e ; x0 + e), где e – произвольное положительное число.

Назад

Далее

18 Определение 2. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]

Определение 2. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]

Говорят, что функция имеет минимум в точке x0? [a; b], если существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0). Максимумы и минимумы функции не являются обязательно наибольшими и наименьшими значениями этой функции во всей области определения. Например, функция y = f(x) определена на отрезке [a; b], имеет четыре экстремума: два минимума (x = C1 и x = C3) и два максимума (x = C2 и x = C4). Вместе с тем, функция достигает наибольшего значения при x = a и наименьшего при x = b. Признак максимума функции: Если функция непрерывна в точке x0 и ее производная, переходя через нее, меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума. Признак минимума функции: Если функция непрерывна в точке x0 и ее производная, переходя через нее, меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка минимума.

Назад

19 Непрерывность

Непрерывность

Функция y = f(x) называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке промежутка. Геометрическая непрерывность функции на промежутке означает, что график этой функции на данном промежутке изображен сплошной линией без скачков и разрывов. При этом малому изменению аргумента соответствует малое изменение функции. Если при x = a функция y = f(x) существует в окрестности этой точки, но в самой точке x = a не выполняется условие непрерывности, говорят, что точка x = a есть точка разрыва функции. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать.

На главную

20 Элементарные функции

Элементарные функции

Линейная

Обратная пропорциональность

Квадратичная

Степенная

Показательная

Логарифмическая

Тригонометрические

На главную

21 Линейная функция

Линейная функция

Определение: Функция вида y = kx + b, где k и b некоторые числа, называется линейной функцией. 1. Если k = 0, тогда y = b. Эта функция определена на множестве R и для каждого X принимает одно и то же значение, равное b. Графиком является прямая, параллельная оси Оx и отстоящая от нее на ?b? единиц вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0; если b = 0, то прямая совпадает с осью Ox.

Назад

Далее

22 x

x

2. Если b = 0, то y = kx. Линейная функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью. Она определена на множестве R. Функция является монотонно возрастающей, если k > 0, и монотонно убывающей, если k < 0. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат. При k > 0 точки графика принадлежат I и III координатным четвертям. При k < 0 точки графика принадлежат II и IV координатным четвертям.

y

y = kx k < 0

O

Назад

Далее

23 3. Если k

3. Если k

0 и b ? 0, то y = kx + b. Функция определена на множестве всех действительных чисел. Функция имеет единственный нуль в точке x = -b/k (т. е. график функции пересекает ось Ох в единственной точке (-b/k; 0). Функция является монотонно возрастающей при k > 0 и монотонно убывающей при k < 0.

Назад

Далее

24 Коэффициенты k и b в уравнении линейной функции y = kx + b, имеют

Коэффициенты k и b в уравнении линейной функции y = kx + b, имеют

наглядное геометрическое толкование. Значение коэффициента b определяет отрезок, отсекаемый графиком линейной функции на оси ординат, а коэффициент k определяет тангенс угла a, образованного осью абсцисс и прямой; угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс. Если k > 0, то образованный угол острый, если k < 0, то угол тупой.

Назад

25 Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность

Определение: Функция вида x = k/x, k ? 0, называется обратной пропорциональностью. Область определения этой функции совпадает с ее областью значений и представляет собой объединение двух промежутков: (-?; 0) ? (0; + ?). Функция не имеет нулей, так как уравнение k/x = 0 не имеет корней. Если k > 0 , то функция монотонно убывает на всей области определения. Если k < 0, то функция монотонно возрастает на всей области определения функции.

y = k / x k > 0

y = k / x k < 0

Назад

Далее

26 График обратной пропорциональности называется гиперболой

График обратной пропорциональности называется гиперболой

Участки кривой при x > 0 и x < 0 называются ветвями гиперболы.

Назад

27 Квадратичная функция

Квадратичная функция

Определение: Функция вида y = ax2 + bx + c, где a, b,c – некоторые числа, a ? 0, называется квадратичной. 1. Функция вида y = x2 – простейшая квадратичная функция. Это четная функция, у которой D = (-?; + ?), а E = [0; + ?). При x > 0 она возрастающая, а при x < 0 - убывающая. Ее график называется параболой. График проходит через начало координат, симметричен относительно оси ординат, ветви параболы направлены вверх.

Назад

Далее

28 2. Квадратичная функция вида y = ax2 также четная, неограниченная,

2. Квадратичная функция вида y = ax2 также четная, неограниченная,

определенная для всех действительных x. Ее график также парабола, проходящая через начало координат и симметричная относительно оси ординат. Но при a > 0 ветви ее направлены вверх и E = [0; + ?), а при a < 0 ветви направлены вниз и E = (-?; 0). Чем меньше абсолютная величина a, тем дальше отходят ветви параболы от оси ординат, тем «шире» она. Чем больше абсолютная величина a, тем плотнее ветви параболы прижаты к оси ординат, тем «уже» она.

Назад

Далее

29 3. Квадратичная функция общего вида y = ax2 + bx + c также четная,

3. Квадратичная функция общего вида y = ax2 + bx + c также четная,

неограниченная, определенная для всех действительных x. Ее график – парабола, симметричная относительно прямой x = x0 (x0 – абсцисса вершины параболы), параллельной оси ординат. Если a > 0, то ее ветви направлены вверх и E = [y0; + ?) или вниз при a < 0 и тогда E = (-?; y0), где y0 – ордината вершины параболы. Только вершина этой параболы находится не в начале координат, а в точке (-b / 2a; (4ac- b2) / 4a). Парабола пересекает ось ординат в точке (0; c). Если дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx + c отрицательный, т. е. B2 – 4ac < 0, то график функции y = ax2 + bx + c не пересекает ось абсцисс.

y = ax2 + bx +c a < 0

Назад

Далее

30 Если он равен нулю, то график функции касается оси в точке (-b / 2a;

Если он равен нулю, то график функции касается оси в точке (-b / 2a;

0). Если дискриминант положительный, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, являющихся корнями уравнения 0= ax2 + bx + c.

Назад

31 Степенная функция

Степенная функция

Определение: Функция, заданная формулой y = xn , называется степенной. 1. При n, равном 1; 2; -1, имеем соответственно функции y = x, y = x2; y = -1 / x, уже рассмотренные ранее. 2. Если n – число целое и четное, то функция y = xn – четная; при нечетном n она нечетная. При положительных n эта функция определена для всех действительных значений аргумента x, при отрицательных n она определена для всех x, кроме x = 0. При любом n ? 0 степенная функция неограниченная, график каждой из них проходит через точку (1; 1). Если n – число иррациональное, то функция y = xn определена только для положительных значений аргумента x или для неотрицательных x, если n > 0.

Назад

32 Показательная функция

Показательная функция

Определение: Функция, которую можно задать формулой y = ax, a > 0, a ? 1, называется показательной. Эта функция определена для любых действительных x, а областью значений является промежуток (0; + ?). График показательной функции – кривая, проходящая через точку (0; 1). Он неограниченно приближается к оси абсцисс, но не достигает ее. При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 – монотонно убывает.

Назад

33 Логарифмическая функция

Логарифмическая функция

Определение: Функция вида y = logax, где a > 0, a ? 1, называется логарифмической. Эта функция определена на промежутке (0; + ?), а областью значений является промежуток (-?; + ?). Графиком логарифмической функции является кривая, проходящая через точку (1; 0). Он неограниченно приближается к оси ординат, но не достигает ее. При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 – монотонно убывает.

y

y

O

1

x

O

x

1

Назад

y = logax a > 1

y = logax 0 < a < 1

34 Тригонометрические функции

Тригонометрические функции

1.Функция синус. Определение: Числовая функция, заданная формулой y = sin x, называется синусом. Функция определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел. Эта функция ограничена ?sin x?? 1. Она периодическая, ее период T = 2pn, n ? Z: sin( x + 2pn) = sin x, n ? Z. Функция y = sin x – нечетная: sin (-x) = -sin x ее график симметричен относительно начала координат. График этой функции называется синусоидой. Функция принимает нулевые значения При х = pn, n ? Z. Функция y = sin x возрастает на промежутках [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn], n ? Z и убывает на промежутках [p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn], n ? Z

Назад

Далее

35 2.Функция косинус

2.Функция косинус

Определение: Числовая функция, заданная формулой y = cos x, называется косинусом. Функция определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел. Эта функция ограничена ?cos x?? 1. Она периодическая, ее период T = 2pn, n ? Z: cos( x + 2pn) = cos x, n ? Z. Функция y = cos x – четная: cos (-x) = cos x ее график симметричен относительно оси ординат. График этой функции называется косинусоидой. Функция принимает нулевые значения при х = p/2 + pn, n ? Z. Функция y = cos x возрастает на промежутках [p + 2pn; 2p + 2pn], n ? Z и убывает на промежутках [2pn; p + 2pn], n ? Z.

y

x

Назад

Далее

y = cos x

T = 2p

1

O

p

3p/2

-p

-p/2

p/2

2p

5p/2

-1

36 3.Функция тангенс

3.Функция тангенс

Определение: Числовая функция, заданная формулой y = tg x, называется тангенсом. Функция определена при x ? p/2 + pn, n ? Z. Ее областью значений является интервал (-?; + ?). Она периодическая, ее период T = pn, n ? Z: tg( x + pn) = tg x, n ? Z. Функция y = tg x – нечетная: tg (-x) = -tg x и ее график симметричен относительно начала координат. В точках x = p/2 + pn, n ? Z функция y = tg x не существует, и говорят, что в этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной. График этой функции называется тангенсоидой. Функция принимает нулевые значения при х = pn, n ? Z. Функция y = tg x возрастает на всех интервалах определения (-p/2 + pn; p/2 + pn), n ? Z.

Назад

Далее

37 4.Функция котангенс

4.Функция котангенс

Определение: Числовая функция, заданная формулой y = ctg x, называется котангенсом. Функция определена при x ? pn, n ? Z. Ее областью значений является интервал (-?; + ?). Она периодическая, ее период T = pn, n ? Z: ctg( x + pn) = ctg x, n ? Z. Функция y = ctg x – нечетная: ctg (-x) = -ctg x и ее график симметричен относительно начала координат. В точках x = pn, n ? Z функция y = ctg x не существует, и говорят, что в этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной. График этой функции называется котангенсоидой. Функция принимает нулевые значения при х = p/2 + pn, n ? Z. Функция y = ctg x убывает на всех интервалах определения (2pn; p + pn), n ? Z.

y

x

Назад

Y = сtg x

1

p/2

-p

3p/2

p

-p/2

O

-1

«Функции и их графики»
http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Funktsii-i-ikh-grafiki/Funktsii-i-ikh-grafiki.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

34 темы
Слайды
Презентация: Функции и их графики.ppt | Тема: График функции | Урок: Алгебра | Вид: Слайды