Функции тангенса и котангенса

Свойства функций

у = tgx и y = ctgx и их графики.

Функция y = tgx

y = tgx.

Функция y = tgx определена при , является нечетной и периодической с периодом П. Покажем, что на промежутке функция y = tgx возратает. Покажем, что на промежутке функция y = tgx возрастает. Пусть 0?x1<x2<П/2. Покажем, что tgx1< tgx2, т.е. . По условию 0?x1<x2<П/2, откуда по свойствам фунции у=sin x имеем 0? sin x1< sin x2, а по свойствам функции у=cos x имеем cos x1> cos x2>0, откуда 0< . Перемножив неравенства sin x1< sin x2 и получим

График

Построим график на промежутке [0;П/2) и отразим его симметрично отосительно начала координат, получим график этой функции на интервале (-П/2;П/2).

У

1

0

Х

П/6

П/4

П/3

П/2

Дробь

При функция у = tgx не определена. Если х<П/2 и х приближается к П/2, то sin x приближается к 1, а cos, оставаясь положительным, стремится к нулю. При этом дробь возрастает и поэтому график функции y = tgx приближается к вертикальной прямой х=П/2. Аналогично при отрицательных значениях х, больших - П/2 и приближающихся к - П/2 , график функции y = tgx приближается к вертикальной прямой х=-П/2, т.е. прямые х=П/2 и х=-П/2 являются вертикальными асимптотами графика функции.

Построение графика

функции у=tg x на всей бласти определения:

Функция у=tg x периодичская с периодом П, следовательно график этой функции получается на интрвале от (-П/2;П/2) сдвигами вдоль оси абсцисс на Пk, где

Основные свойства

функции y=tgx.

1) Область определения – множество всех действительных чисел 2)Множество значений R всех действительных чисел. 3)Периодическая с периодам 4)Нечетная.

Значение

5)Функция принимает значение, равно 0, при Положительные значения на интервале Отрицательные Возрастающая.

Корни уравнения

Задача 1: Найти все корни уравнения tg x=2 принадлежащие отрезку [-П;3П/2].

Построим графики функций у=2 и у= tg x. Эти графики пересекаются в 3-х точках, абсциссы которых х1, х2, х3 являются корнями уравнения tg x=2. На интервале (-П/2;П/2) уравнение имеет корень х1=arctg2. т.к. функция у=tg х периодическая с периодом П, то х2= arctg2 + П, х3= arctg2 – П. Ответ: х1=arctg2, х2= arctg2 + П, х3= arctg2 – П.

Решения

Задача 2: Найти все решения неравенства tg x?2, принадлежащие отрезку [-П;3П/2].

Построим графики функций у=2 и у= tg x. Из графика видно, что график функции у=tg х лежит не выше прямой у=2 на промежутках [-П;х3], (-П/2;х1] и (П/2;х2]. Ответ: [-П;-П+ arctg2], (-П/2; arctg2], (П/2; П+ arctg2]

Числа

Сравнить числа:

tg 7П/8 и tg 8П/9 tg 7П/8 < tg 8П/9

tg (-7П/8) и tg (-8П/9) tg (-7П/8) > tg (-8П/9)

tg П/5 и tg П/7 tg П/5 > tg П/7

tg (-П/5) и tg (-П/7) tg (-П/5) > tg (-П/7)

Tg 2 и tg 3 tg 2 < tg 3

Tg 1 и tg 1,5 tg 1 < tg 1,5

Свойства функции у=tgx

и у=ctgx.

у=ctgx

Для построения графика функции у=ctgx воспользуемся тождеством ctgx=-tg(x+п/2).Из этого тождества следует, что для построения графика ctg необходимо сдвинуть график tg на п/2 влево вдоль оси 0x и отразить полученную кривую относительно оси 0х.Графики tg и ctg состоят из бесконечного множества одинаковых периодически повторяющихся ветвей.

Основные свойства функции

у=ctgx.

Область определения- множество всех действительных чисел Множество значений- множество R всех действительных чисел Функция у=ctgx периодическая с периодом Т=П Функция у=ctgx нечетная Функция у=ctgx принимает значения, равные нулю при -положительные значения на интервалах -отрицательные значения на интервалах Функция у=ctgx является убывающей на каждом интервале

График функции у=ctgx