Интегралы Скачать
презентацию
<<  Первообразная функция Определённый интеграл  >>
Интеграл и первообразная
Интеграл и первообразная
Первообразная
Первообразная
Определение первообразной
Определение первообразной
Основное свойство первообразной
Основное свойство первообразной
Свойство первообразной
Свойство первообразной
Выражение
Выражение
Три правила нахождения первообразных
Три правила нахождения первообразных
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь
Площадь
Площади криволинейной трапеции
Площади криволинейной трапеции
Площадь криволинейной
Площадь криволинейной
Интеграл
Интеграл
2
2
Подинтегральная функция
Подинтегральная функция
Формула
Формула
Таблица первообразных
Таблица первообразных
Таблица
Таблица
Слайды из презентации «Интеграл и первообразная» к уроку алгебры на тему «Интегралы»

Автор: Victor. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Интеграл и первообразная.ppt» бесплатно в zip-архиве размером 175 КБ.

Скачать презентацию

Интеграл и первообразная

содержание презентации «Интеграл и первообразная.ppt»
СлайдТекст
1 Интеграл и первообразная

Интеграл и первообразная

_______ _ _____________.

2 Первообразная

Первообразная

Содержание.

1. Первообразная 1.1. Определение первообразной 1.2. Основное свойство первообразной 1.3. Три правила нахождения первообразной 1.6. Таблица 2. Интеграл 2.1. Площадь криволинейной трапеции 2.2. Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

3 Определение первообразной

Определение первообразной

1. Первообразная 1.1. Определение первообразной.

Определение: Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F’(x) = f(x)

4 Основное свойство первообразной

Основное свойство первообразной

1.2 основное свойство первообразной.

общий вид первообразных. Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Признак постоянства функции. Если F’(x) =0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянна на этом промежутке. Доказательство. Зафиксируем некоторое х0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число с, заключенное между х и х0 , что F(x)-F’(c) = F’(c)(x-x0). По условию F’(c)=0, так как с I, следовательно, F(x)-F(x0) = 0. Итак, для всех х из промежутка I F(x) = F(x0), т.е. функция F сохраняет постоянное значение. (продолжение следует)

5 Свойство первообразной

Свойство первообразной

Основное свойство первообразной…

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных): Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x) + C, Где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.

6 Выражение

Выражение

Основное свойство первообразной.

Свойства первообразных 1) какое бы число ни поставить в выражение F(x)+C вместо С, получим первообразную для f на промежутке I. 2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C. Доказательство. 1) по условию функции F – первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F’(x)=f(x) для любого х I, поэтому (F(x) + C)’ = F’(x) + C’ = f(x) + 0 = f(x), т.е. F(X) + C – первообразная для f . 2) пусть Ф(х) – одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т.е. Ф’(x)=f(x) для всех х I. Тогда (Ф(х) - F(x))’ = Ф’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0 Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что разность Ф(х)? F(x) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I. Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(х) - F(x) = C, что и требовалось доказать.

7 Три правила нахождения первообразных

Три правила нахождения первообразных

1.3 три правила нахождения первообразных.

Правило 1. если F есть первообразная для f, а для G – первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g. Действительно, так как F’=f и G’=g, по правилу вычисления производной суммы имеем: (F+G)’ = F’ + G’ = f + g. Правило 2. если F есть первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf. Действительно, постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому: (kF)’ = kF’ = kf. Правило 3. если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k=0, то F(kx+b) есть первообразная для f(kx+b). Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем: ( F (kx + b))’ = F’(kx + b)*k=f (kx + b)

8 Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции

Интеграл 2.1. Площадь криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [a; b] оси оХ задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямых х = а и х = b, называют криволинейной трапецией. Теорема. Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, a F - ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b] , т.е. S=F(b)-F(a). Доказательство. Рассмотрим функцию S(x), определенную на отрезке [a; b]. Если a<x<b, то S(x) – площадь той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку Xo (рис. 1). Если х = а, то S(a)=0. Отметим, что S(b) = S(S – площадь криволинейной трапеции). Докажем, что S’(xo) = f(xo).

9 Площадь

Площадь

2.1площадь криволинейной трапеции…

Рис.1

y

1

x

a

0

Xo

b

1

10 Площади криволинейной трапеции

Площади криволинейной трапеции

2.1 площади криволинейной трапеции…

Пусть Хo принадлежит [a,b]. f(x) непрерывна в Xo. Тогда в достаточно малой окрестности в точке Xo функцию f(x) можно считать постоянной и равной f(Xo). Тогда прирощение равно площади приближенно равно: f(x) x S : x = f(x) Если x 0, S : x S’(Xo) S’(Xo) = f(Xo) т.е S - первообразная функции f в точке Xo

11 Площадь криволинейной

Площадь криволинейной

2.1площаль криволинейной трапеции.

Получили, что S есть первообразная для f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех х [a; b] имеем: S(x) = F(x) + C, Где С - некоторая постоянная, а F – одна из первообразных для функции f. Для нахождения С подставим х = а: F(a) + C=S(a)=0, Откуда С= -F(a). Следовательно, S(x) = F(x) - F(a). Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S(b), подставляя х = b в формулу S(x)+F(x)-F(a), получим: S = S(b) = F(b) - F(a).

12 Интеграл

Интеграл

2.2Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.

Понятие об интеграле. Пусть функция f неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b], тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом. Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков одинаковой длины точками x0 = a < x 1 < x 2 < … < x n -1 < x n = b, и пусть х = = x k – x k - 1, где k = 1, 2, …, n-1, n. На каждом из отрезков [x k-1; x k] как на основании построим прямоугольник высотой f(x k-1). сумма площадей всех таких прямоугольников (рис.2) равна: Sn = (f(x0) + f(x1) + … + f(x n-1)). Т.к f(x) непрерывная функция , то при x o,т.е n , то Sn S

13 2

2

2.

y

x

X1

X2

Xn-1

Рис.2

14 Подинтегральная функция

Подинтегральная функция

2.2.

Для любой непрерывной функции на отрезке[a,b] доказано, что Sn S к некоторому числу. Это число называют интегралом функции . f(x)d(x), где f(x) подинтегральная функция, a – нижний предел интегрирования, b- верхний, - интеграл, x – переменная. Интеграл – это предел интегрированяи сумм. Сравнивая S= F(b) – F(a) и S= f(x)dx, можно записать

15 Формула

Формула

2.2.

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница. Она верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [a; b].

16 Таблица первообразных

Таблица первообразных

1.6Таблица первообразных.

17 Таблица

Таблица

1.6Таблица первообразных.

«Интеграл и первообразная»
http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Integral-i-pervoobraznaja/Integral-i-pervoobraznaja.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

34 темы
Слайды
Презентация: Интеграл и первообразная.ppt | Тема: Интегралы | Урок: Алгебра | Вид: Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Интегралы > Интеграл и первообразная.ppt