Интеграл и первообразная

Интеграл и первообразная

_______ _ _____________.

Первообразная

Содержание.

1. Первообразная 1.1. Определение первообразной 1.2. Основное свойство первообразной 1.3. Три правила нахождения первообразной 1.6. Таблица 2. Интеграл 2.1. Площадь криволинейной трапеции 2.2. Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

Определение первообразной

1. Первообразная 1.1. Определение первообразной.

Определение: Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F’(x) = f(x)

Основное свойство первообразной

1.2 основное свойство первообразной.

общий вид первообразных. Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Признак постоянства функции. Если F’(x) =0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянна на этом промежутке. Доказательство. Зафиксируем некоторое х0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число с, заключенное между х и х0 , что F(x)-F’(c) = F’(c)(x-x0). По условию F’(c)=0, так как с I, следовательно, F(x)-F(x0) = 0. Итак, для всех х из промежутка I F(x) = F(x0), т.е. функция F сохраняет постоянное значение. (продолжение следует)

Свойство первообразной

Основное свойство первообразной…

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных): Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x) + C, Где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.

Выражение

Основное свойство первообразной.

Свойства первообразных 1) какое бы число ни поставить в выражение F(x)+C вместо С, получим первообразную для f на промежутке I. 2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C. Доказательство. 1) по условию функции F – первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F’(x)=f(x) для любого х I, поэтому (F(x) + C)’ = F’(x) + C’ = f(x) + 0 = f(x), т.е. F(X) + C – первообразная для f . 2) пусть Ф(х) – одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т.е. Ф’(x)=f(x) для всех х I. Тогда (Ф(х) - F(x))’ = Ф’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0 Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что разность Ф(х)? F(x) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I. Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(х) - F(x) = C, что и требовалось доказать.

Три правила нахождения первообразных

1.3 три правила нахождения первообразных.

Правило 1. если F есть первообразная для f, а для G – первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g. Действительно, так как F’=f и G’=g, по правилу вычисления производной суммы имеем: (F+G)’ = F’ + G’ = f + g. Правило 2. если F есть первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf. Действительно, постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому: (kF)’ = kF’ = kf. Правило 3. если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k=0, то F(kx+b) есть первообразная для f(kx+b). Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем: ( F (kx + b))’ = F’(kx + b)*k=f (kx + b)

Площадь криволинейной трапеции

Интеграл 2.1. Площадь криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [a; b] оси оХ задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямых х = а и х = b, называют криволинейной трапецией. Теорема. Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, a F - ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b] , т.е. S=F(b)-F(a). Доказательство. Рассмотрим функцию S(x), определенную на отрезке [a; b]. Если a<x<b, то S(x) – площадь той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку Xo (рис. 1). Если х = а, то S(a)=0. Отметим, что S(b) = S(S – площадь криволинейной трапеции). Докажем, что S’(xo) = f(xo).

Площадь

2.1площадь криволинейной трапеции…

Рис.1

y

1

x

a

0

Xo

b

1

Площади криволинейной трапеции

2.1 площади криволинейной трапеции…

Пусть Хo принадлежит [a,b]. f(x) непрерывна в Xo. Тогда в достаточно малой окрестности в точке Xo функцию f(x) можно считать постоянной и равной f(Xo). Тогда прирощение равно площади приближенно равно: f(x) x S : x = f(x) Если x 0, S : x S’(Xo) S’(Xo) = f(Xo) т.е S - первообразная функции f в точке Xo

Площадь криволинейной

2.1площаль криволинейной трапеции.

Получили, что S есть первообразная для f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех х [a; b] имеем: S(x) = F(x) + C, Где С - некоторая постоянная, а F – одна из первообразных для функции f. Для нахождения С подставим х = а: F(a) + C=S(a)=0, Откуда С= -F(a). Следовательно, S(x) = F(x) - F(a). Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S(b), подставляя х = b в формулу S(x)+F(x)-F(a), получим: S = S(b) = F(b) - F(a).

Интеграл

2.2Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.

Понятие об интеграле. Пусть функция f неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b], тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом. Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков одинаковой длины точками x0 = a < x 1 < x 2 < … < x n -1 < x n = b, и пусть х = = x k – x k - 1, где k = 1, 2, …, n-1, n. На каждом из отрезков [x k-1; x k] как на основании построим прямоугольник высотой f(x k-1). сумма площадей всех таких прямоугольников (рис.2) равна: Sn = (f(x0) + f(x1) + … + f(x n-1)). Т.к f(x) непрерывная функция , то при x o,т.е n , то Sn S

2

2.

y

x

X1

X2

Xn-1

Рис.2

Подинтегральная функция

2.2.

Для любой непрерывной функции на отрезке[a,b] доказано, что Sn S к некоторому числу. Это число называют интегралом функции . f(x)d(x), где f(x) подинтегральная функция, a – нижний предел интегрирования, b- верхний, - интеграл, x – переменная. Интеграл – это предел интегрированяи сумм. Сравнивая S= F(b) – F(a) и S= f(x)dx, можно записать

Формула

2.2.

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница. Она верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [a; b].

Таблица первообразных

1.6Таблица первообразных.

Таблица

1.6Таблица первообразных.