Числа Скачать
презентацию
<<  Множество чисел История комплексных чисел  >>
Множество комплексных чисел
Множество комплексных чисел
Выражение
Выражение
Комплексное число
Комплексное число
Арифметические операции
Арифметические операции
Правило
Правило
Нахождение степеней числа i
Нахождение степеней числа i
Остаток
Остаток
Вычислить
Вычислить
Геометрический смысл
Геометрический смысл
Модуль
Модуль
Тригонометрическая форма
Тригонометрическая форма
Записать в тригонометрической форме
Записать в тригонометрической форме
Действия над комплексными числами
Действия над комплексными числами
Выполнить действия
Выполнить действия
Модуль данного числа
Модуль данного числа
Корень
Корень
Решить уравнение
Решить уравнение
Показательная форма комплексного числа
Показательная форма комплексного числа
Число в показательной форме
Число в показательной форме
Решение
Решение
Комплексные числа
Комплексные числа
Формула
Формула
Понятие функции комплексного переменного
Понятие функции комплексного переменного
Функция однозначна
Функция однозначна
Найти решение
Найти решение
Компоненты функции
Компоненты функции
Действительная часть функции
Действительная часть функции
Понятие непрерывности
Понятие непрерывности
Слайды из презентации «Комплексные числа» к уроку алгебры на тему «Числа»

Автор: утхунов. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Комплексные числа.ppt» бесплатно в zip-архиве размером 119 КБ.

Скачать презентацию

Комплексные числа

содержание презентации «Комплексные числа.ppt»
СлайдТекст
1 Множество комплексных чисел

Множество комплексных чисел

2 Выражение

Выражение

Комплексным числом называется выражение вида а + bi, в котором а и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что Действительное число a называется действительной частью z=a+bi (Re z), а число b-мнимой частью (Im z) Комплексное число z=a+bi изображают точкой плоскости с координатами (a;b) Точка М(a;b), соответствующая комплексному числу z=a+bi, называется аффиксом данного числа z.

3 Комплексное число

Комплексное число

Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются равными, если а = с и b = d. Комплексное число a-bi называется комплексно сопряженным с числом a+bi и обозначается через = a-bi Комплексные числа вида a+bi и –a-bi называются противоположными.

4 Арифметические операции

Арифметические операции

над комплексными числами Суммой комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называется комплексное число (a+c; b+d). Разностью комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют такое числоu, которое в сумме с числом w даёт число z z = w + u.

5 Правило

Правило

u.

Справедливо следующее правило: (a; b) – (c; d) = (a – c; b – d).

Произведением комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют комплексное число (ac – bd; ad + bc) Частным от деления z на w называют число u, равное:

6 Нахождение степеней числа i

Нахождение степеней числа i

Если показатель степени i делится на 4, то значение степени равно 1, если при делении показателя на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i, если при делении показателя на 4 остаток равен 2, то значение степени равно -1, если в остатке при делении показателя на 4 будет 3, то значение степени равно –i.

7 Остаток

Остаток

Вычислить: 1) i 66 , 2) i143 , 3) i216 ,4)i137 Решение: 1) i66 66:4=16(2). Остаток равен 2, значит i66=-1 2)i143 143 :4=35(3).В остатке 3, значит i 143=-i 3)i216 216:4=54(0).в остатке 0, значит i216=1 4)i137 137:4=34(1).В остатке 1, значит i137=i.

,

8 Вычислить

Вычислить

Пример 1 Вычислить:

9 Геометрический смысл

Геометрический смысл

комплексного числа Каждой точке М плоскости с координатами (a,b) соответствует один и только один вектор с началом в точке z = 0 и концом в точке z=a+bi.

y

M(a;b)

b

0

x

a

10 Модуль

Модуль

Если комплексное число Z= a+bi трактовать как точку M (a,b) плоскости xOy, то модуль Z равен расстоянию точки M (a,b) от начала координат Если на плоскости ввести полярные координаты (r,?), где ? аргумент числа z (?=argz) - угол между действительной осью ОХ и вектором ОМ, то а = r COS ?, b = r SIN ? В силу этого комплексное число Z можно записать в форме z = r(COS ?+iSIN ?), где r – модуль числа Z, ? – угол (в рад.), который составляет вектор OM с положительным направлением оси ox.

11 Тригонометрическая форма

Тригонометрическая форма

комплексного числа Тригонометрической формой комплексного числа называют его запись в виде: z = r(cos? + isin?), где - модуль, а ? – аргумент числа z, связанный с а и b формулами:

Угол ? из промежутка называется главным аргументом. Все остальные значения угла ? могут быть получены прибавлением к главному аргументу значений 2 n, где n – любое целое число.

12 Записать в тригонометрической форме

Записать в тригонометрической форме

Пример2. Записать в тригонометрической форме: Сначала находим модуль числа: Далее, согласно формулам (*), имеем: Учитывая, что угол.

Итак,

13 Действия над комплексными числами

Действия над комплексными числами

заданными в тригонометрической форме При умножении/делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются /делятся, а аргументы складываются (вычитаются).

(1) (2)

14 Выполнить действия

Выполнить действия

Пример3. Выполнить действия: Используя формулу (1), находим:

15 Модуль данного числа

Модуль данного числа

При возведении комплексного числа z = r (Cos? + iSin?) в натуральную степень n модуль данного числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени: формула Муавра.

16 Корень

Корень

n-й степени из комплексного числа z = r (Cos? + iSin?) имеет n различных значений, которые находятся по формуле :

Здесь к = 0, 1, 2, … n-1

17 Решить уравнение

Решить уравнение

Пример4. Решить уравнение Корнями данного уравнения являются все значения Для числа - 4 имеем r =2, Согласно формуле(3), находим:

Если к = 0, то Если к = 1, то

18 Показательная форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа

Формула Эйлера.

Если комплексному числу

, Модуль которого равен 1, поставить в соответствие показанное выражение

, То получим соотношение

то получим соотношение которое называется формулой Эйлера. Любое комплексное число

Можно записать в виде

. Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.

19 Число в показательной форме

Число в показательной форме

Пример: Записать число в показательной форме. Решение: Здесь тогда показательная форма числа имеет вид .

20 Решение

Решение

Пример: Записать число в показательной форме.

В виде

Решение. Что бы представить число

Нужно найти модуль и аргумент числа

Здесь

Тогда

Так как точка

Лежит на мнимой оси комплексной плоскости.

Зная r и

, Получим

.

.

21 Комплексные числа

Комплексные числа

Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме.

Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производится по правилам действий со степенями.

Так, для произведения и частного комплексных чисел

И

Справедливы формулы

А для n-й степени комплексного числа используется

Формула

22 Формула

Формула

Для вычисления корня из комплексного числа.

Используется формула

Где k принимает n значений: 0,1,2,…,n-1.

23 Понятие функции комплексного переменного

Понятие функции комплексного переменного

и отличие от действительного анализа.

Пусть D – некоторая область на комплексной плоскости

Определение. Функцией комплексного аргумента с областью определения D называется соответствие,которое любому комплексному числу сопостовляет одно или несколько комплексных значений. Таким образом, в отличие от действительного анализа, в комплексном анализе допускаются многозначные функции. Например,

F(z)=az+b (a, b – фиксированные комплексные числа)-однозначная функция; - однозначная функция

24 Функция однозначна

Функция однозначна

- n-значная функция; -бесконечнозначная функция. Если функция однозначна,то она может быть задана в виде отображения В таком случае функция называется однолистной .В дальнейшем, если не указано особо,будем рассматривать однолистные функции.

25 Найти решение

Найти решение

Пример: Для функции найти Решение: Подставим в место z значение i в функцию Ответ: f(i)=1.

26 Компоненты функции

Компоненты функции

Пусть дана функция , Представим z в алгебраической форме Значение f(x)-комплексное число,т.е. ,которое также можем представить в алгебраической форме ,где и -действительные функции комплексного аргумента,но задание я эквивалентно заданию пары(x,y).Окончательно,любую функцию комплексного аргумента можно представить в виде ,где и -действительные функции двух действительных переменных.Функции u и v называются компонентами функции f(z),u- действительная компонента,v-мнимая компонента.Пишут :

27 Действительная часть функции

Действительная часть функции

Пример: Для функции Где найти ее действительную и мнимую часть. Решение: (x+iy)2+4i=x2+2ixy-y2+4i=(x2-y2)+(2xyi+4i)=(x2-y2)+i(2xy+4). Тогда действительная часть функции f(z) - x2-y2,а мнимая - 2xy+4.

28 Понятие непрерывности

Понятие непрерывности

определяется аналогично действительному случаю. F(z)-непрерывна в точке Так как это определение формально совпадает с обычным ,то все свойства непрерывной функции комплексного аргумента совпадают дословно со свойствами действительных функций.

«Комплексные числа»
http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Kompleksnye-chisla/Kompleksnye-chisla.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

34 темы
Слайды
Презентация: Комплексные числа.ppt | Тема: Числа | Урок: Алгебра | Вид: Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Числа > Комплексные числа.ppt