Критические точки функции

Критические точки функции Точки экстремумов

Разработка учителя математики МОУ «Курлекская СОШ» Томского района Томской области Логуновой Л.В. 2006 г.

Точки экстремума (повторение)

Точки области определения функции, в которых возрастание функции сменяется убыванием или, наоборот, убывание сменяется возрастанием, называются точками экстремумов.

Это точки максимума и точки минимума.

Ответ: 2

Критические точки

Определение

Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Теорема Ферма Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в

этой точке существует производная f' , то она равна нулю: f' (х0) = 0.

Но, если f' (х0) = 0, то необязательно, что точка х0 будет точкой экстремума. Примеры

Среди критических точек есть точки экстремума

Необходимое условие экстремума

Признак точки максимума функции Если функция f непрерывна в точке х0,

а f' (х0) > 0 на интервале (а;х0) и f' (х0) < 0 на интервале (х0;b), то точка х0 является точкой максимума.

Если при переходе через точку х0 производная от функция меняет знак с «плюса» на «минус», то точка х0 является точкой максимума.

y

А

Х

Х0

b

Признак точки минимума функции Если функция f непрерывна в точке х0, а

f' (х0) < 0 на интервале (а;х0) и f' (х0) > 0 на интервале (х0;b), то точка х0 является точкой минимума.

Если при переходе через точку х0 производная от функции меняет знак с «минуса» на «плюс», то точка х0 является точкой минимума.

y

Х

А

Х0

b