Последовательность Скачать
презентацию
<<  Предел функции в точке Предел последовательности  >>
Понятие функции
Понятие функции
Способы задания функции
Способы задания функции
Классификация вещественных функций вещественного аргумента
Классификация вещественных функций вещественного аргумента
Основные элементарные функции
Основные элементарные функции
Отношение двух многочленов
Отношение двух многочленов
Иррациональные функции
Иррациональные функции
Понятие предела функции
Понятие предела функции
Основные характеристики поведения функции
Основные характеристики поведения функции
Предел функции
Предел функции
Геометрическая интерпретация понятия предела функции
Геометрическая интерпретация понятия предела функции
Свойства пределов
Свойства пределов
Определение
Определение
Пусть f(x) и g(x) имеют предел
Пусть f(x) и g(x) имеют предел
Пусть f(x) имеет предел
Пусть f(x) имеет предел
Пределы
Пределы
Предел последовательности
Предел последовательности
Аргумент последовательности
Аргумент последовательности
Число a
Число a
Геометрическая интерпретация предела последовательности
Геометрическая интерпретация предела последовательности
Члены последовательности
Члены последовательности
Число А называется пределом последовательности
Число А называется пределом последовательности
Последовательность {xn} называется бесконечно малой
Последовательность {xn} называется бесконечно малой
Бесконечно большие функции
Бесконечно большие функции
Частные случаи бесконечно больших функций
Частные случаи бесконечно больших функций
Свойства бесконечно больших функций
Свойства бесконечно больших функций
Лемма о двух милиционерах
Лемма о двух милиционерах
Последовательность {xn} называется бесконечно большой
Последовательность {xn} называется бесконечно большой
Предел монотонной последовательности
Предел монотонной последовательности
Односторонние пределы
Односторонние пределы
Предел функции f(x)
Предел функции f(x)
Теорема
Теорема
Определение предела функции
Определение предела функции
Символы
Символы
Замечательные пределы
Замечательные пределы
Следствия
Следствия
Сравнение б.м. и б.б. функций
Сравнение б.м. и б.б. функций
Теорема
Теорема
Замечание
Замечание
Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции
Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции
Теорема (о замене бесконечно больших на эквивалентные)
Теорема (о замене бесконечно больших на эквивалентные)
Слайды из презентации «Понятие предела функции» к уроку алгебры на тему «Последовательность»

Автор: Пахомова. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Понятие предела функции.ppt» бесплатно в zip-архиве размером 364 КБ.

Скачать презентацию

Понятие предела функции

содержание презентации «Понятие предела функции.ppt»
СлайдТекст
1 Понятие функции

Понятие функции

Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. § Понятие функции Основные понятия Пусть X,Y – множества произвольной природы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если ?x?X поставлен в соответствие единственный элемент y?Y, то говорят, что на множестве X задана функция (отображение) с множеством значений Y. Записывают: f: X ? Y, y = f(x) (где f – закон, осуществляющий соответствие) Называют: X – область (множество) определения функции x (x?X) – аргумент (независимая переменная) Y – область (множество) значений y (y?Y) – зависимая переменная (функция).

2 Способы задания функции

Способы задания функции

1) словесный; 2) табличный; 3) графический; ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости с координатами (x; f(x)). График функции y = f(x) будем также называть «кривой y = f(x)». 4) аналитический: а) явное задание (т.е. формулой y = f(x) ) б) неявное задание (т.е. с помощью уравнения F(x,y)=0 ).

3 Классификация вещественных функций вещественного аргумента

Классификация вещественных функций вещественного аргумента

4 Основные элементарные функции

Основные элементарные функции

1) степенные: y = xr (r??) 2) показательные: y = ax (a > 0, a ? 1) 3) логарифмические: y = logax (a > 0, a ? 1) 4) тригонометрические: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx 5) обратные тригонометрические: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой y = f(x), где f(x) – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

5 Отношение двух многочленов

Отношение двух многочленов

Многочленом степени n (полиномом, целой рациональной) называется функция вида Рациональной (дробной рациональной) функцией называют отношение двух многочленов Иррациональными функциями называют функции, полученные конечным числом арифметических операций над аргументом х и конечного числа композиций степенных функций с рациональным показателем.

6 Иррациональные функции

Иррациональные функции

Алгебраическими функциями называют рациональные (целые рациональные и дробные рациональные) и иррациональные функции. Трансцендентными называют остальные элементарные функции.

7
8 Основные характеристики поведения функции

Основные характеристики поведения функции

1) Четность функции (четная, нечетная, общего вида); 2) Периодичность функции; 3) Монотонность функции (возрастающая, убывающая, неубывающая, невозрастающая); 4) Ограниченность функции (ограниченная сверху, ограниченная снизу, ограниченная).

Основные характеристики поведения функции

9 Предел функции

Предел функции

Определение предела функции по Коши Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0??? , кроме, может быть, самой точки x0 . U*(x0, ?) = U(x0, ?) \ {x0} – проколотая окрестность точки x0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ (по Коши, на языке ?-?). Число A?? называется пределом функции f(x) при x , стремящемся к x0 (пределом функции f(x) в точке x0), когда ??>0 ??>0 такое, что если x?U*(x0, ?) , то f(x)?U(A, ?) .

§ Предел функции

10 Геометрическая интерпретация понятия предела функции

Геометрическая интерпретация понятия предела функции

11 Свойства пределов

Свойства пределов

Если функция имеет предел при x ? x0 , то этот предел единственный. 2) Если функция f(x) имеет предел при x ? x0 , то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0 (говорят: функция локально ограничена).

12 Определение

Определение

Функция ?(x) называется бесконечно малой при x ? x0 , если 3) ЛЕММА (о роли бесконечно малых функций). Число A?? является пределом функции f(x) при x ? x0 ? f(x) = A + ?(x) , где ?(x) – бесконечно малая при x ? x0 . 4) Пусть f(x) – ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0 , ?(x) – бесконечно малая при x ? x0 . Тогда f(x) ? ?(x) – бесконечно малая при x ? x0 .

13 Пусть f(x) и g(x) имеют предел

Пусть f(x) и g(x) имеют предел

5) Пусть f(x) и g(x) имеют предел при x ? x0 . Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже имеют предел при x ? x0 , причем Следствие свойства 5. Если f(x) имеет предел при x ? x0 , то ?c?? функция с ? f(x) тоже имеет предел при x ? x0, причем Говорят: «константу можно вынести за знак предела». Замечание. Свойство 5 и его следствие обычно называют теоремами о пределах.

14 Пусть f(x) имеет предел

Пусть f(x) имеет предел

6) Пусть f(x) имеет предел при x ? x0 и ??>0 такое, что f(x) ? 0 (или f(x) > 0), ?x?U*(x0, ?). Тогда 7) Пусть f(x) и g(x) имеют пределы при x ? x0 и ??>0 такое, что f(x) ? g(x) (или f(x) > g(x)), ?x?U*(x0, ?). Тогда 8) ЛЕММА (о двух милиционерах). Пусть f(x) и g(x) имеют одинаковый предел при x ? x0 и ??>0 такое, что f(x) ? ?(x) ? g(x) , ?x?U*(x0, ?). Тогда функция ?(x) тоже имеет предел при x ? x0 , причем.

15 Пределы

Пределы

9) Пусть f: X ? Y , ?: Y ? Z и существуют пределы Тогда сложная функция ?(f(x)) имеет предел при x ? x0 , причем Формула (1) называется формулой замены переменной в пределе.

16 Предел последовательности

Предел последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел. Если область значений последовательности – числовое множество, то последовательность называют числовой, если область значений – множество функций, то последовательность называют функциональной.

Предел последовательности

17 Аргумент последовательности

Аргумент последовательности

Принято обозначать: аргумент последовательности: n (или k) значения функции: xn, yn и т.д. Называют: x1 – первый член последовательности, x2 – второй член последовательности и т.д. xn – n-й (общий) член последовательности. Способы задания последовательностей: 1) явно (т.е. формулой xn = f(n) ) 2) рекуррентным соотношением (т.е. формулой xn = F(xn-1, xn-2,…, xn-k) ) Записывают последовательность: { x1, x2, …, xn, …} – развернутая запись; { xn } – короткая запись (где xn – общий член последовательности).

18 Число a

Число a

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a?? называется пределом последовательности { xn } если ??>0 ?N?? такое, что | xn – a | <? , ?n>N. Записывают: Говорят: последовательность { xn } сходится (стремится) к a. Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся (сходящейся к числу a) Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

19 Геометрическая интерпретация предела последовательности

Геометрическая интерпретация предела последовательности

Пусть r??, M(r)?Ox M(r) – геометрическая интерпретация числа r?? . Пусть x0??, ?>0. Интервал (x0 – ?; x0 + ?) называют ?-окрестностью точки x0. (геометрическое определение ?-окрестности точки) Будем обозначать: U(x0, ?) Имеем: U(x0, ?) = {x?? : |x – x0| < ?} (алгебраическое определение ?-окрестности точки)

20 Члены последовательности

Члены последовательности

Из определения предела последовательности следует: если {xn}?a , то с геометрической точки зрения это означает, что в любой ?-окрестности точки a находятся все члены последовательности {xn}, за исключением, может быть, конечного числа членов этой последовательности. (Геометрическая интерпретация предела последовательности). ? a – точка «сгущения» последовательности { xn }.

21 Число А называется пределом последовательности

Число А называется пределом последовательности

{xn} при n??, если Пишут:

Доказать:

xn

1

1

1±1/7

n

n

11

11

6

6

8

8

4

4

2

2

22 Последовательность {xn} называется бесконечно малой

Последовательность {xn} называется бесконечно малой

если то есть если.

xn

1

?=0,2

?=0,1

2?

n

2 4 6 8 10 12 14 16

2?

23 Бесконечно большие функции

Бесконечно большие функции

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0??? , кроме, может быть, самой точки x0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на языке ?-?). Функцию f(x) называют бесконечно большой при x ? x0 (в точке x0), если ?M>0 ??>0 такое, что если x?U*(x0, ?), то | f(x) |>M . Говорят: «f(x) стремится к ? при x ? x0» «предел функции f(x) при x ? x0 равен ?».

Бесконечно большие функции

24 Частные случаи бесконечно больших функций

Частные случаи бесконечно больших функций

1) f(x) – б.б. при x ? x0 и f(x) ? 0 , ?x?U*(x0, ?) . Тогда | f(x) | = f(x) >M , ?x?U*(x0, ?) Записывают: Говорят: «f(x) стремится к + ? при x ? x0» «предел функции f(x) при x ? x0 равен + ?». 2) f(x) – б.б. при x ? x0 и f(x) ? 0 , ?x?U*(x0, ?). Тогда | f(x) | = – f(x) > M ? f(x) < – M, ?x?U*(x0, ?) Записывают: Говорят: «f(x) стремится к – ? при x ? x0» «предел функции f(x) при x ? x0 равен – ?».

25 Свойства бесконечно больших функций

Свойства бесконечно больших функций

1) Если f(x) – б.б. при x ? x0, то функция 1/f(x) – б.м. при x ? x0. Если ?(x) – б.м. при x?x0, то функция 1/?(x) – б.б. при x?x0. (связь бесконечно больших и бесконечно малых) 2) Если f(x) и g(x) – б.б функции одного знака, то их сумма f(x) + g(x) – б.б. того же знака. 3) Если f(x) – б.б при x ? x0 , g(x) – ограниченна в некоторой окрестности U*(x0, ?), то их сумма f(x) + g(x) – б.б. при x? x0. 4) Если f(x) и g(x) – б.б. при x ? x0 , то их произведение f(x) ? g(x) – тоже б.б. при x ? x0 .

26 Лемма о двух милиционерах

Лемма о двух милиционерах

5) Если f(x) – б.б. при x ? x0 , g(x) – имеет предел при x ? x0, причем то их произведение f(x) ? g(x) – б.б. при x ? x0 . 6) Если f(x) – б.б. при x ? x0 и ?x?U*(x0, ?) имеет место неравенство | f(x) | < | g(x) | (| f(x) | ? | g(x) |), то функция g(x) тоже является б.б. при x ? x0 . 7) Пусть f(x) и g(x) – б.б. одного знака при x ? x0 и ??>0 такое, что f(x) ? ?(x) ? g(x) , ?x?U*(x0, ?). Тогда функция ?(x) тоже является б.б. того же знака при x ? x0 . (лемма о двух милиционерах для б.б. функций).

27 Последовательность {xn} называется бесконечно большой

Последовательность {xn} называется бесконечно большой

если Пишут:

xn

xn =n2

C=100

100

50

C=9

n

11

6

8

4

2

28 Предел монотонной последовательности

Предел монотонной последовательности

Определение. Последовательность {xn} называется - возрастающей, если для любого n xn < xn+1; обозначают (?) неубывающей, если для любого n xn ? xn+1; (?) убывающей, если для любого n xn > xn+1; (?) невозрастающей, если для любого n xn ? xn+1; (?) Определение. Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными Теорема Вейерштрасса (о существовании предела монотонной последовательности) Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf {xn} ).

29 Односторонние пределы

Односторонние пределы

Условие существования (x0??). Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0?? , кроме, может быть, самой точки x0 . ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1) Число A?? называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x0 слева (в точке x0 слева), если ??>0 ??>0 такое, что если x удовлетворяет условию 0 < x0 – x < ?, то f(x)?U(A, ?) . 2) Число B?? называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x0 справа, если ??>0 ??>0 такое, что если x удовлетворяет условию 0 < x – x0 < ?, то f(x)?U(B, ?).

30 Предел функции f(x)

Предел функции f(x)

3) Говорят, что предел функции f(x) в точке x0 слева равен +? (–?) (функция стремится к +? (–?) при x, стремя- щемся к x0 слева), если ?M>0 ??>0 такое, что если x удовлетворяет условию 0 < x0 – x < ?, то f(x) > M ( f(x) < –M). 4) Говорят, что предел функции f(x) в точке x0 справа равен +? (–?), если ?M>0 ??>0 такое, что, если x удовлетворяет условию 0 < x – x0 < ?, то f(x) > M ( f(x) < –M). Обозначают: – предел f(x) в точке x0 слева, – предел f(x) в точке x0 справа. Если x0 = 0, то пределы слева и справа обозначают:

31 Теорема

Теорема

(необходимое и достаточное условие существования предела f(x) при x ? x0 и x0??). Функция f(x) имеет предел (конечный) при x ? x0 ? существуют конечные и равные между собой односторонние пределы функции f(x) при x ? x0 . При этом Замечание. Все свойства пределов и бесконечно больших остаются справедливыми и для односторонних пределов.

32 Определение предела функции

Определение предела функции

Символы

Определение

Картинка

Пример

|2x+5-7|=2|x-1|<? ? |x-1|<?= ?/2

F(x) называется б. М., Если

F(x) называется б. Б., Если

F(x) называется б. Б., Если

33 Символы

Символы

Определение предела функции (продолжение).

Символы

Определение

Картинка

Пример

1

34 Замечательные пределы

Замечательные пределы

Название замечательных пределов в математическом анализе получили следующие два утверждения: – первый замечательный предел; – второй замечательный предел. СЛЕДСТВИЯ ПЕРВОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА

35 Следствия

Следствия

ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА Замечание. Из формулы замены переменной ? 1-й и 2-й замечательный пределы и их следствия остаются верными, если вместо x будет стоять любая б.м. функция ?(x).

36 Сравнение б.м. и б.б. функций

Сравнение б.м. и б.б. функций

Пусть функции ?(x) и ?(x) – б.м. при x ? x0 . ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1) ?(x) называется бесконечно малой более высокого порядка чем ?(x) если Записывают: ?(x) = o(?(x)) . 2) ?(x) и ?(x) называются бесконечно малыми одного порядка, если где С?? и C ? 0 . Записывают: ?(x) = O(?(x)) . 3) ?(x) и ?(x) называются эквивалентными, если Записывают: ?(x) ~ ?(x).

37 Теорема

Теорема

4) ?(x) называется бесконечно малой порядка k относи- тельно бесконечно малой ?(x), если бесконечно малые ?(x) и (?(x))k имеют один порядок, т.е. если где С?? и C ? 0 . ТЕОРЕМА 6 (о замене бесконечно малых на эквивалентные). Пусть ?(x), ?(x), ?1(x), ?1(x) – б.м. при x ? x0. Если ?(x) ~ ?1(x), ?(x) ~ ?1(x), то ТЕОРЕМА 7 (о главной части бесконечно малой). Пусть ?(x) и ?(x) – б.м. при x ? x0, причем ?(x) – б.м. более высокого порядка чем ?(x). Тогда ?(x) = ?(x) + ?(x) ~ ?(x) . Б.м. ?(x) называют в этом случае главной частью бесконечно малой ?(x) .

38 Замечание

Замечание

Из 1-го и 2-го замечательных пределов и их следствий можно получить таблицу эквивалентных бесконечно малых функций:

39 Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции

Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции

А именно, если f(x) и g(x) – бесконечно большие при x ? x0, то 1) f(x) называется бесконечно большой более высокого порядка чем g(x) если 2) f(x) и g(x) называются бесконечно большими одного порядка, если где С?? и C ? 0 ; 3) f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно большими (записывают: f(x) ~ g(x)), если 4) f(x) называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно большой g(x), если где С?? и C ? 0 .

40 Теорема (о замене бесконечно больших на эквивалентные)

Теорема (о замене бесконечно больших на эквивалентные)

Пусть f(x), g(x), f1(x), g1(x) – б.б. при x ? x0. Если f(x) ~ f1(x) , g(x) ~ g1(x), то ТЕОРЕМА (о главной части бесконечно большой). Пусть f(x) и g(x) – б.б. при x ? x0, причем g(x) – бесконечно большая более высокого порядка чем f(x). Тогда z(x) = f(x) + g(x) ~ g(x) . Б.б. g(x) называют в этом случае главной частью бесконечно большой z(x) .

«Понятие предела функции»
http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Ponjatie-predela-funktsii/Ponjatie-predela-funktsii.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

34 темы
Слайды
Презентация: Понятие предела функции.ppt | Тема: Последовательность | Урок: Алгебра | Вид: Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Последовательность > Понятие предела функции.ppt