Понятие вероятности

Понятие вероятности

Повторение

События

Случайные

Достоверные

Происходят в определенных условиях, но при каждом проведении опыта: одни происходят чаще, другие реже (бутерброд чаще падает маслом вниз и т.п.).

Происходят при каждом проведении опыта (Солнце всходит в определенное время, тело падает вниз, вода закипает при нагревании и т.п.).

Невозможные

Случайные исходы

ТЕСТ «Случайные исходы, события, испытания».

О каком событии идёт речь

1. О каком событии идёт речь? «Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения 30 февраля». А) достоверное; В) невозможное; С) случайное.

Слово

2. Это событие является случайным: А) слово начинается с буквы«ь»; В) ученику 9 класса 14 месяцев; С) бросили две игральные кости: сумма выпавших на них очков равна 8.

Достоверное событие

3. Найдите достоверное событие: А) На уроке математики ученики делали физические упражнения; В) Сборная России по футболу не станет чемпионом мира 2005 года; С) Подкинули монету и она упала на «Орла».

Слава проиграл

4. Среди пар событий, найдите несовместимые. А) В сыгранной Катей и Славой партии шахмат, Катя проиграла и Слава проиграл. В) Из набора домино вынута одна костяшка, на ней одно число очков больше 3, другое число 5. С) Наступило лето, на небе ни облачка.

Случайное событие

5.Охарактеризуйте случайное событие: «новая электролампа не загорится». Это событие: А) менее вероятно ; В) равновероятное ; С) более вероятное.

Четыре туза

6. Какие события из перечисленных ниже являются противоположными? В колоде карт лежат четыре туза и четыре короля разных мастей. Достают карту наугад. Событие: А) достанут трефового туза; В) достанут туза любой масти; С) достанут любую карту кроме трефового туза.

Колобок катится по лесным тропкам

7. Колобок катится по лесным тропкам куда глаза глядят. На полянке его тропинка расходится на четыре тропинки, в конце которых Колобка поджидают Заяц, Волк, Медведь и Лиса. Сколько исходов для выбора Колобком наугад одной из четырёх тропинок. А) 1; В) 4; С) 5.

Два стрелка

8. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Сколько исходов двух совместных выстрелов? А) 4; В) 3; С) 2.

Два шахматиста

9. Два шахматиста играют подряд две партии. Сколько исходов у этого события? А) 4; В) 2; С) 9.

Случайный опыт

10*. Случайный опыт состоит в выяснении пола детей в семьях с тремя детьми. Сколько возможных исходов у этого опыта? А) 8; В) 9; С) 6.

Понятие вероятности

Возможность исполнения

В толковом словаре С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой: «Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь». Основатель современной теории вероятностей А.Н.Колмогоров: «Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».

Шесть основных схем

Понятие вероятности.

Известно, по крайней мере, шесть основных схем определения и понимания вероятности. Не все они в равной мере используются на практике и в теории, но, тем не менее, все они имеют за собой разработанную логическую базу и имеют право на существование.

Определение вероятности

Классическое.

Статистическое

Геометрическое

Определение вероятности

Классическое определение вероятности

Численная мера объективной возможности

Вероятность.

– Это численная мера объективной возможности появления случайного события.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДАЕТ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ ЧИСЛЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ: А – некоторое событие, m – количество исходов, при которых событие А появляется, n – конечное число равновозможных исходов. P – обозначение происходит от первой буквы французского слова probabilite – вероятность.

Отношение

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение , где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов:

Классическое определение вероятности.

Пьер-Симон Лаплас

Классическое определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа.

Пьер-Симон Лаплас

Выпал «орел»

2.

1

24

1

6

3

250

10

Бросаем монетку

Выпал «орел»

Вытягиваем экзаменаци- онный билет

Вытянули билет №5

На кубике выпало четное число

Бросаем кубик

Играем в лотерею

Выиграли, купив один билет

Эксперимент

ЧИСЛО ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ ЭКСПЕРИМЕНТА (n)

Событие а

ЧИСЛО ИСХОДОВ, БЛАГОПРИЯТ- НЫХ ДЛЯ ЭТОГО СОБЫТИЯ (m)

ВЕРОЯТНОСТЬ НАСТУПЛЕНИЯ СОБЫТИЯ А р(а)=m/n

Хулиганы

Пример 1.

В школе 1300 человек, из них 5 человек хулиганы. Какова вероятность того, что один из них попадётся директору на глаза?

Вероятность

P(A) = 5/1300 = 1/250.

Решение

Одинаковые числа

Пример 2.

При игре в нарды бросают 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что на обоих кубиках выпадут одинаковые числа?

Решение

Вероятность: P(A)=6/36= =1/6.

Составим следующую таблицу

1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66

Слово «статистика»

А.

Т

С

И

Т

И

К

Т

С

А

Пример 3.

Из карточек составили слово «статистика». Какую карточку с буквой вероятнее всего вытащить? Какие события равновероятные?

Буква «с»

Решение.

Всего 10 букв. Буква «с» встречается 2 раза – P(с) = 2/10 = 1/5; буква «т» встречается 3 раза – P(т) = 3/10; буква «а» встречается 2 раза – P(а) = 2/10 = 1/5; буква «и» встречается 2 раза – P(и) = 2/10 = 1/5; буква «к» встречается 1 раз – P(к) = 1/10.

Свойства вероятности

Вероятность достоверного события

?

1

?

0

?

0

?

1

Вероятность достоверного события равна Вероятность невозможного события равна Вероятность события А не меньше , но не больше

Событие

P(u) = 1 (u – достоверное событие); p(v) = 0 (v – невозможное событие); 0 ? P(A) ? 1.

Самостоятельная работа

Найдите вероятность

Задача 1. В коробке 4 синих, 3 белых и 2 желтых фишки. Они тщательно перемешиваются, и наудачу извлекается одна из них. Найдите вероятность того, что она окажется: а) белой; б) желтой; в) не желтой. .

Мы имеем всевозможных случаев 9

Решение.

а) Мы имеем всевозможных случаев 9. Благоприятствующих событий 3. Вероятность равна: P=3:9=1/3=0,33(3) б) Мы имеем всевозможных случаев 9. Благоприятствующих событий 2. Вероятность равна P=2:9=0,2(2) в) Мы имеем всевозможных случаев 9. Благоприятствующих событий 7 (4+3). Вероятность равна P=7:9=0,7(7)

10 одинаковых шаров

Задача 2. В коробке лежат 10 одинаковых шаров, на каждом из которых написан его номер от 1 до 10. Найдите вероятность следующих событий: а) извлекли шар № 7; б) номер извлеченного шара – четное число; в) номер извлеченного шара кратен 3. .

2 красных шара

Решение.

Всевозможных событий 6 (красный №1 - красный №2; красный №1 - белый; красный №2 - белый; красный №3 - красный №2; красный №3 - красный №1; красный №3 - белый) из них благоприятных 3. Выигрывает тот, кто вытаскивает 2 красных шара.

Монетка

Задача 3. Мальчики играли в “Орлянку”. Но монетка куда-то закатилась. Предложите, как заменить ее игральным кубиком?

Орел

Решение.

Считать "орел" - четное число, а "решка" - не четное число.

Шарик

Задача 4. Какую справедливую игру можно предложить двум девочкам, у которых есть 3 красных и 1 белый шарик и мешок?

Всевозможных событий

Решение.

Всевозможных событий 6 (красный №1 - красный №2; красный №1 - белый; красный №2 - белый; красный №3 - красный №2; красный №3 - красный №1; красный №3 - белый) из них благоприятных 3. Выигрывает тот, кто вытаскивает 2 красных шара.

Вертушка

Задача 5. В настольной игре сломалась вертушка с тремя разными секторами: красным, белым и синим, но есть кубик. Как заменить вертушку? .

Красный сектор

Решение.

Считать на кубике 1 и 2 - красный сектор, 3 и 4 - синий сектор, 5 и 6 - белый сектор.

Домашнее задание

Задача

1. В урне находятся 3 синих, 8 красных и 9 белых шаров одинакового размера и веса, неразличимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность появления синего, красного и белого шаров при одном вынимании шара из урны? Задача 2. Наташа купила лотерейный билет, который участвует в розыгрыше 100 призов на 50000 билетов, а Лена – билет, который участвует в розыгрыше трех призов на 70000. У кого больше шансов выиграть? Задание 3. В настольной игре потеряли кубик. Как заменить его с помощью разноцветных фишек?