Последовательность Скачать
презентацию
<<  Понятие предела функции Предел последовательности чисел  >>
Предел последовательности и предел функции
Предел последовательности и предел функции
Предел последовательности
Предел последовательности
Обрати внимание, что члены последовательности (хn) как бы «сгущаются»
Обрати внимание, что члены последовательности (хn) как бы «сгущаются»
Определение 1. Пусть а – точка прямой, а r – положительное число
Определение 1. Пусть а – точка прямой, а r – положительное число
В математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности
В математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности
Примеры
Примеры
Обсудим результаты, полученные в примерах с геометрической точки
Обсудим результаты, полученные в примерах с геометрической точки
Рис
Рис
Обрати внимание, что на всех трех рисунках точки графика, по мере их
Обрати внимание, что на всех трех рисунках точки графика, по мере их
Вообще равенство означает, что прямая является горизонтальной
Вообще равенство означает, что прямая является горизонтальной
Свойства сходящихся последовательностей
Свойства сходящихся последовательностей
Вычисление пределов последовательности
Вычисление пределов последовательности
Пусть ,
Пусть ,
III
III
IV
IV
V. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
V. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Получилась последовательность
Получилась последовательность
Теорема
Теорема
Предел функции
Предел функции
Предел функции на бесконечности
Предел функции на бесконечности
Вычисление предела функции на бесконечности
Вычисление предела функции на бесконечности
2. Если ,то
2. Если ,то
В) предел частного равен частному от пределов: г) постоянный множитель
В) предел частного равен частному от пределов: г) постоянный множитель
Предел функции в точке
Предел функции в точке
Проверь себя
Проверь себя
1. Окрестность какой точки является интервал (2,1; 2,3)
1. Окрестность какой точки является интервал (2,1; 2,3)
Неверно
Неверно
Верно!
Верно!
2. Интервал (7; 5) окрестность точки 6, чему равен радиус этой
2. Интервал (7; 5) окрестность точки 6, чему равен радиус этой
Неверно
Неверно
Верно!
Верно!
3. Последовательность является:
3. Последовательность является:
Неверно
Неверно
Верно!
Верно!
4. Число b называют пределом последовательности , если:
4. Число b называют пределом последовательности , если:
Неверно
Неверно
Верно!
Верно!
5. Равенство означает, что прямая является для графика :
5. Равенство означает, что прямая является для графика :
Неверно
Неверно
Верно!
Верно!
6. Какое из утверждений верно
6. Какое из утверждений верно
Неверно
Неверно
Верно!
Верно!
7. Предел последовательности равен:
7. Предел последовательности равен:
Неверно
Неверно
Верно!
Верно!
А) 40; б) 41; в) 40,5
А) 40; б) 41; в) 40,5
Неверно
Неверно
Верно!
Верно!
9. Найти
9. Найти
Неверно
Неверно
Верно!
Верно!
10
10
Неверно
Неверно
Верно!
Верно!
Конец
Конец
Пример
Пример
Пример
Пример
Пример
Пример
Пример
Пример
Пример
Пример
Дано (уn)= Доказать, что
Дано (уn)= Доказать, что
Пример
Пример
Если , то
Если , то
Дана последовательность найти ее предел
Дана последовательность найти ее предел
Рассмотрим пример
Рассмотрим пример
Пример
Пример
Слайды из презентации «Предел последовательности» к уроку алгебры на тему «Последовательность»

Автор: Zver. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Предел последовательности.ppt» бесплатно в zip-архиве размером 237 КБ.

Скачать презентацию

Предел последовательности

содержание презентации «Предел последовательности.ppt»
СлайдТекст
1 Предел последовательности и предел функции

Предел последовательности и предел функции

2 Предел последовательности

Предел последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности (уn) и (хn) и изобразим их члены точками на координатной прямой. (уn): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2n – 1,…; (хn):

У

5

9

11

0

3

7

1

13

0

Х

1

3 Обрати внимание, что члены последовательности (хn) как бы «сгущаются»

Обрати внимание, что члены последовательности (хn) как бы «сгущаются»

около точки 0, а у последовательности (уn) такой точки нет. В подобных случаях говорят, что последовательность (хn) сходится, а последовательность (уn) расходится. Чтобы узнать является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности, введем следующее понятие.

4 Определение 1. Пусть а – точка прямой, а r – положительное число

Определение 1. Пусть а – точка прямой, а r – положительное число

Интервал (а-r; a+r) называют окрестностью точки а, а число r – радиусом окрестности. Пример. (3,97; 4,03) – окрестность точки 4, радиус равен 0,03.

Х

a-r

a+r

a

5 В математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности

В математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности

принято называть «пределом последовательности». Определение 2. Число b называют пределом последовательности (уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Обозначение: 1. (уn стремится к b или уn сходится к b); 2. (предел последовательности уn при стремлении n к бесконечности равен b).

6 Примеры

Примеры

1. ; 2. Если , то ; Если , то последовательность расходится. 3. .

7 Обсудим результаты, полученные в примерах с геометрической точки

Обсудим результаты, полученные в примерах с геометрической точки

зрения. Для этого построим графики последовательностей:

8 Рис

Рис

1.

Рис. 2

Рис. 3

9 Обрати внимание, что на всех трех рисунках точки графика, по мере их

Обрати внимание, что на всех трех рисунках точки графика, по мере их

ухода вправо, все ближе и ближе подходят к некоторой горизонтальной прямой: на рис 1 – к прямой у=0, на рис 2 – к прямой у=0, на рис 3 – к прямой у=2. Каждую из этих прямых называют горизонтальной асимптотой графика.

10 Вообще равенство означает, что прямая является горизонтальной

Вообще равенство означает, что прямая является горизонтальной

асимптотой графика последовательности, т.е. графика функции.

11 Свойства сходящихся последовательностей

Свойства сходящихся последовательностей

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена, обратное неверно. Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится.

12 Вычисление пределов последовательности

Вычисление пределов последовательности

I. Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:

13 Пусть ,

Пусть ,

II. Предел суммы равен сумме пределов:

Пример.

14 III

III

Предел произведения равен произведению пределов:

Пример.

15 IV

IV

Предел частного равен частному от пределов (при условиях, что :

Пример.

16 V. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

V. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Пример.

17 Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию Вычислим суммы двух, трех и т.д. членов прогрессии:

18 Получилась последовательность

Получилась последовательность

Она может сходиться или расходиться. Если последовательность сходится к пределу S, то число S называется суммой геометрической прогрессии. Если расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии следующая:

19 Теорема

Теорема

Если знаменатель геометрической прогрессии удовлетворяет неравенству , то сумма прогрессии вычисляется по формуле.

Пример.

20 Предел функции

Предел функции

Предел функции на бесконечности. Предел функции в точке.

21 Предел функции на бесконечности

Предел функции на бесконечности

Пусть дана функция в области определения которой содержится отрезок и пусть прямая Является горизонтальной асимптотой графика функции тогда или

y=b

22 Вычисление предела функции на бесконечности

Вычисление предела функции на бесконечности

Для справедливо соотношение

23 2. Если ,то

2. Если ,то

А) предел суммы равен сумме пределов: б) предел произведения равен произведению пределов:

24 В) предел частного равен частному от пределов: г) постоянный множитель

В) предел частного равен частному от пределов: г) постоянный множитель

можно вынести за знак предела:

Пример.

25 Предел функции в точке

Предел функции в точке

Пусть дана функция и пусть дана точка Пусть значение функции в этой точке существует и равно тогда (читают: предел функции при стремлении х к а равен b)

Пример.

y=f(x)

b

a

26 Проверь себя

Проверь себя

Дорогой друг, теперь тебе предстоит проверить свои знания. Для этого нужно ответить на тест, который состоит из 10 вопросов, К каждому вопросу дается на выбор три ответа, один из которых верный. Желаю удачи!

27 1. Окрестность какой точки является интервал (2,1; 2,3)

1. Окрестность какой точки является интервал (2,1; 2,3)

А) 2; б) 2,15; в) 2,2.

28 Неверно

Неверно

Попробуй еще!

29 Верно!

Верно!

Дальше!

30 2. Интервал (7; 5) окрестность точки 6, чему равен радиус этой

2. Интервал (7; 5) окрестность точки 6, чему равен радиус этой

окрестности?

А) 2; б) 1; в) 1,5.

31 Неверно

Неверно

Попробуй еще!

32 Верно!

Верно!

Дальше!

33 3. Последовательность является:

3. Последовательность является:

А) сходящейся; б) расходящейся; в) ничего определенного сказать нельзя.

34 Неверно

Неверно

Попробуй еще!

35 Верно!

Верно!

Дальше!

36 4. Число b называют пределом последовательности , если:

4. Число b называют пределом последовательности , если:

А) в любой окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера; б) в любой окрес тности точки b содержатся некоторые члены последовательности, начиная с некоторого номера; в) в любой окрестности точки b не содержатся члены последовательности.

37 Неверно

Неверно

Попробуй еще!

38 Верно!

Верно!

Дальше!

39 5. Равенство означает, что прямая является для графика :

5. Равенство означает, что прямая является для графика :

А) горизонтальной асимптотой; б) вертикальной асимптотой; в) наклонной асимптотой.

40 Неверно

Неверно

Попробуй еще!

41 Верно!

Верно!

Дальше!

42 6. Какое из утверждений верно

6. Какое из утверждений верно

А) если последовательность имеет предел, то она монотонна; б) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела; в) если последовательность ограничена, то она имеет предел.

43 Неверно

Неверно

Попробуй еще!

44 Верно!

Верно!

Дальше!

45 7. Предел последовательности равен:

7. Предел последовательности равен:

А) 0; б) 1; в) 2.

46 Неверно

Неверно

Попробуй еще!

47 Верно!

Верно!

Дальше!

48 А) 40; б) 41; в) 40,5

А) 40; б) 41; в) 40,5

8. Сумма геометрической прогрессии равна:

49 Неверно

Неверно

Попробуй еще!

50 Верно!

Верно!

Дальше!

51 9. Найти

9. Найти

А) 0; б) ; в) .

52 Неверно

Неверно

Попробуй еще!

53 Верно!

Верно!

Дальше!

54 10

10

Найти.

А) 1; б) 3; в) 2.

55 Неверно

Неверно

Попробуй еще!

56 Верно!

Верно!

Дальше!

57 Конец

Конец

58 Пример

Пример

Найти предел последовательности Решение.

59 Пример

Пример

Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной n, т.е. на n2.

60 Пример

Пример

Найти предел последовательности Решение.

61 Пример

Пример

Найти предел последовательности Решение.

62 Пример

Пример

Вычислить.

Решение. Ответ: -1,5.

63 Дано (уn)= Доказать, что

Дано (уn)= Доказать, что

Решение. Возьмем любую окрестность точки 0, с радиусом r. Подберем натуральное число n0 так, чтобы выполнялось неравенство Если например, r=0,001, то в качестве n0 можно взять 1001; если , то n0=5774. Член данной последовательности с номером n0 попадает в выбранную окрестность точки 0. В этой же окрестности будут находиться все последующие члены, тогда по определению 2 следует, что

64 Пример

Пример

Найти сумму геометрической прогрессии.

Решение. Здесь Так как знаменатель прогрессии удовлетворяет неравенству , то воспользовавшись формулой , получим Ответ:

65 Если , то

Если , то

Пусть , получим По аналогии с первым примером, здесь последовательность сходится к 0, значит . Если , то последовательность расходится. Пусть , получим Эта последовательность явно не имеет предела, значит она расходится.

66 Дана последовательность найти ее предел

Дана последовательность найти ее предел

Выполним некоторые преобразования выражения : Это значит, в частности, что и т. д., Данную последовательность перепишем так: Видно, что «точкой сгущения» является 2, значит

67 Рассмотрим пример

Рассмотрим пример

Дана последовательность (хn)=1, 2, 3, 1, 2, 3,…, 1, 2, 3,…. Эта последовательность ограничена, но не является сходящейся.

68 Пример

Пример

Вычислить.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на х2: Ответ: 2.

«Предел последовательности»
http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Predel-posledovatelnosti/Predel-posledovatelnosti.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

34 темы
Слайды
Презентация: Предел последовательности.ppt | Тема: Последовательность | Урок: Алгебра | Вид: Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Последовательность > Предел последовательности.ppt