Неравенства Скачать
презентацию
<<  Логарифмические уравнения и неравенства Решение показательных неравенств  >>
Логарифмические уравнения и неравенства
Логарифмические уравнения и неравенства
Логарифмы в истории
Логарифмы в истории
Открытие логарифмов
Открытие логарифмов
Идея логарифма
Идея логарифма
Логарифм
Логарифм
Основные свойства логарифмов
Основные свойства логарифмов
Логарифм степени положительного числа
Логарифм степени положительного числа
Формулы
Формулы
Примеры логарифмических уравнений и неравенств
Примеры логарифмических уравнений и неравенств
Область определения логарифмической функции
Область определения логарифмической функции
A>1
A>1
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения
Потеря решений
Потеря решений
Методы решения логарифмических уравнений
Методы решения логарифмических уравнений
Использование свойств логарифма
Использование свойств логарифма
Метод подстановки
Метод подстановки
Пример
Пример
Выражения
Выражения
Метод оценки левой и правой частей
Метод оценки левой и правой частей
Использование монотонности функций
Использование монотонности функций
Логарифмические неравенства
Логарифмические неравенства
(h(x)-1)(f(x)-g(x))>0, h(x)>0, f(x)>0, g(x)>0
(h(x)-1)(f(x)-g(x))>0, h(x)>0, f(x)>0, g(x)>0
Методы решения логарифмических неравенств
Методы решения логарифмических неравенств
Правило знаков
Правило знаков
Log2x(x-4) logx-1(6-x)<0
Log2x(x-4) logx-1(6-x)<0
Примеры логарифмических уравнений и неравенств
Примеры логарифмических уравнений и неравенств
Слайды из презентации «Примеры логарифмических уравнений и неравенств» к уроку алгебры на тему «Неравенства»

Автор: Ruslan. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Примеры логарифмических уравнений и неравенств.ppt» бесплатно в zip-архиве размером 385 КБ.

Скачать презентацию

Примеры логарифмических уравнений и неравенств

содержание презентации «Примеры логарифмических уравнений и неравенств.ppt»
СлайдТекст
1 Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмические уравнения и неравенства

Методы решения.

Log324-log22xxx=cos30x

y=log2x-1 (x2-2x-7)

2 Логарифмы в истории

Логарифмы в истории

Exit.

Логарифмы в истории Логарифм Логарифмическая функция f(x)=logax Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства

3 Открытие логарифмов

Открытие логарифмов

- еще одна историческая цепочка знаний, которая связана не только с математикой, но и, казалось бы, совсем не имеющей к ней отношение музыкой. Обращаемся к школе Пифагора (VI-IV вв. до н.э.), открытию в области числовых отношений, связанных с музыкальными звуками. Вся пифагорейская теория музыки основывалась на законах "Пифагора-Архита". 1. Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l / f = a / l (а - коэффициент пропорциональности, характеризующий физические свойства струны). 2. Две звучащие струны дают консонанс (приятное созвучие), если их длины относятся, как 1:2, 2:3, 3:4. Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла транспонировать (переводить из тональности в тональность) мелодию. И лишь только в 1700 году немецкий органист А.Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на двенадцать равных частей. Какую же роль сыграли здесь логарифмы? Дело в том, что в основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем , которая является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.

4 Идея логарифма

Идея логарифма

возникла также в Древней Греции. Так, в сочинении "Псамлигт" Архимеда (287 - 212 гг. до н.э.) мы читаем: "Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции начиная от 1 и если два его члена перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший удален от единицы, и одним членом меньше против того, насколько удалены оба множителя вместе". Здесь под "непрерывной пропорцией" Архимед разумеет геометрическую прогрессию, которую мы записали бы так: 1, а, а2... В этих обозначениях правило, сформулированное Архимедом, будет выражено формулой: am*an = am+n. Историческое развитие понятия логарифма завершилось в XVII веке. В 1614-м в Англии были опубликованы математические таблицы для выполнения приближенных вычислений, в которых использовались логарифмы. Их автором был шотландец Дж.Непер (1550-1617 гг.). В предисловии к своему сочинению Дж.Непер писал: "Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики". Так вслед за изобретением логарифмов и развитием алгебры иррациональных чисел в музыку вошла равномерная темперация (новый двенадцатизвуковой строй).

5 Логарифм

Логарифм

Что такое логарифм?

logab=c ? ac=b

Основное логарифмическое тождество

6 Основные свойства логарифмов

Основные свойства логарифмов

1) Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей: loga N1·N2 = loga N1 + loga N2 (a > 0, a ? 1, N1 > 0, N2 > 0). Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство примет вид loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2| (a > 0, a ? 1, N1·N2 > 0). 2) Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя (a > 0, a ? 1, N1 > 0, N2 > 0). Замечание. Если , (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство примет вид (a > 0, a ? 1, N1N2 > 0).

7 Логарифм степени положительного числа

Логарифм степени положительного числа

3) Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа: loga N k = k loga N (a > 0, a ? 1, N > 0). Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то loga N 2s = 2s loga |N| (a > 0, a ? 1, N ? 0). 4) Формула перехода к другому основанию: (a > 0, a ? 1, c > 0, c ? 1, b > 0), в частности, если b = c, получим (a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1).

8 Формулы

Формулы

5) Из вышеуказанных свойств вытекают следующие формулы:

9
10 Область определения логарифмической функции

Область определения логарифмической функции

есть множество положительных чисел. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0<x1<x2 => loga x1 < loga x2), а при 0<a<1, - строго убывает (0<x1<x2 => logax1>logax2). loga 1 = 0 и loga a = 1 (a > 0, a ? 1). Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x ? (0;1) и положительна при x ? (1;+ ), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x ? (0;1) и отрицательна при x ? (1;+ ). Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a ? (0;1) - выпукла вниз.

11 A>1

A>1

0<a<1

y

12 Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

2) loga f(x) = loga g(x)

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

f(x)= g(x),

g(x)>0,

f(x)>0.

f(x)= g(x),

f(x)= g(x),

g(x)>0,

f(x)>0.

Решением является x=ab

13 Потеря решений

Потеря решений

4) logh(x) f(x) = logh(x) g(x).

Потеря решений при неравносильных переходах

loga f(x) = loga g(x) <=> f(x) = g(x)

14 Методы решения логарифмических уравнений

Методы решения логарифмических уравнений

Использование определения логарифма logab = c ? b = ac Пример log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3 Решение 5+3log2(x-3)=23 ? log2(x - 3) = 1 ? x=5

15 Использование свойств логарифма

Использование свойств логарифма

Методы решения логарифмических уравнений.

Использование свойств логарифма logab = c ? b = ac Пример log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24), Решение О.Д.З.: x>0, x(x+3)=x+24 ? x2 + 2x - 24 = 0 ? x={-6;4} ? x>0 ? x=4

16 Метод подстановки

Метод подстановки

Методы решения логарифмических уравнений.

Метод подстановки f(logax)=0 ? t=logax f(t)=0 Пример lg2x - 3lgx + 2 = 0 Решение lg x = t lgx=1 t2-3t+2=0 ? lgx=2 ? x={10;100}

17 Пример

Пример

5lgx = 50 - xlg5 ? 5lgx = 50 - 5lgx ?5lg x = 25 ? ?x=100.

18 Выражения

Выражения

Методы решения логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие выражения вида Пример Решение

log2(x+2)=t, t2-t-2=0.

19 Метод оценки левой и правой частей

Метод оценки левой и правой частей

Методы решения логарифмических уравнений.

Метод оценки левой и правой частей Пример log2 (2x – x2 + 15) = x2 – 2x + 5. Решение 1) 2x – x2 + 15 = – (x2 – 2x – 15) = –((x2 – 2x + 1) –1 –15)= = (16 – (x – 1)2)? 16 ? log2 (2x – x2 + 15) ? 4. 2) x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) – 1 + 5 = (x – 1)2 + 4 ? 4;

log2 (2x – x2 + 15)=4, x2 – 2x + 5 =4.

x=1

20 Использование монотонности функций

Использование монотонности функций

Методы решения логарифмических уравнений.

Использование монотонности функций. Подбор корней. Пример log2 (2x – x2 + 15) = x2 – 2x + 5. Решение 2x–x2+15=t, t>0 x2–2x+5=20–t

log2t=20-t

y=log2 t – возрастающая, y=20–t – убывающая. Геометрическая интерпретация дает понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором, t=16. Решив уравнение 2x–x2+15=16, находим, что x=1

21 Логарифмические неравенства

Логарифмические неравенства

1) loga f(x) > loga g(x)

2) logh(x)f(x)>logh(x)g(x)

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

f(x)>g(x)>0,

a>1.

0<f(x)<g(x),

0<a<1.

f(x)>g(x)>0,

h(x)>1.

0<f(x)<g(x),

0<h(x)<1.

22 (h(x)-1)(f(x)-g(x))>0, h(x)>0, f(x)>0, g(x)>0

(h(x)-1)(f(x)-g(x))>0, h(x)>0, f(x)>0, g(x)>0

3) logh(x)f(x)>logh(x)g(x)

t=logax, f(t)>0.

4) f(logax)>0

23 Методы решения логарифмических неравенств

Методы решения логарифмических неравенств

с переменным основанием.

Быстрое избавление от логарифмов Пример log2x(x2-5x+6)<1 Решение log2x(x2-5x+6)<1 ? ? ? x?(0;1/2)?(1;2) ? (3;6) x2-5x+6>0, x>0.

24 Правило знаков

Правило знаков

Очевидно, что lg x, как и loga x по любому основанию a > 1, имеет тот же знак, что и число x – 1.

В более общем случае от логарифма по произвольному основанию a можно перейти к основанию 10:

Таким образом, знак величины loga x совпадает со знаком числа (x – 1)/(a – 1) или (x – 1)(a – 1).

1

25 Log2x(x-4) logx-1(6-x)<0

Log2x(x-4) logx-1(6-x)<0

? ?

? x?(4;5)?(5;6)

(2x-1)(x-5)(x-2)(5-x)<0, x-4>0, 6-x>0, x>0, x?1/2, x>1,x-1?1.

Пример

26
«Примеры логарифмических уравнений и неравенств»
http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Primery-logarifmicheskikh-uravnenij-i-neravenstv/Primery-logarifmicheskikh-uravnenij-i-neravenstv.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

34 темы
Слайды
Презентация: Примеры логарифмических уравнений и неравенств.ppt | Тема: Неравенства | Урок: Алгебра | Вид: Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Неравенства > Примеры логарифмических уравнений и неравенств.ppt