Вычисление производной Скачать
презентацию
<<  Вычисление производных Вычисление производной функции  >>
Производная и её приложения
Производная и её приложения
Понятие производной
Понятие производной
Составляем отношение
Составляем отношение
Определение
Определение
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной
Рассмотрим произвольную прямую
Рассмотрим произвольную прямую
Физический смысл производной
Физический смысл производной
Правила дифференцирования
Правила дифференцирования
Таблица производных
Таблица производных
Производная степенно-показательной функции
Производная степенно-показательной функции
Производные высших порядков
Производные высших порядков
Дифференцируя производную первого порядка
Дифференцируя производную первого порядка
Слайды из презентации «Производная и её вычисление» к уроку алгебры на тему «Вычисление производной»

Автор: Админ. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Производная и её вычисление.pptm» бесплатно в zip-архиве размером 1126 КБ.

Скачать презентацию

Производная и её вычисление

содержание презентации «Производная и её вычисление.pptm»
СлайдТекст
1 Производная и её приложения

Производная и её приложения

2 Понятие производной

Понятие производной

1. Понятие производной.

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

3 Составляем отношение

Составляем отношение

Процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение ?x и определяем соответствующее приращение функции ?y = f(x+? x) -f(x); 2) составляем отношение.

3) считая x постоянным, а ?x ?0, находим

Который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу.

4 Определение

Определение

Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,

Или

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение

При ?x?0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

5 Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрест­ностях точки x0

f(x)

6 Рассмотрим произвольную прямую

Рассмотрим произвольную прямую

проходящую через точку гра­фика функции - точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС: АС = ?x; ВС =?у; tg?=?y/?x . Так как АС || Ox, то ?ALO = ?BAC = ? (как соответственные при параллельных). Но ?ALO - это угол наклона секущей АВ к положи­тельному направлению оси Ох. Значит, tg? = k - угловой коэффициент прямой АВ. Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х? 0. При этом точка В будет прибли­жаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Пре­дельным положением секущей АВ при ?х? 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А. Если перейти к пределу при ?х ? 0 в равенстве tg? =?y/?x, то получим.

Или tg? =f '(x0), так как

?-угол накло­на касательной к положительному направлению оси Ох

по определению производной. Но tg? = k - угловой коэффициент каса­тельной, значит, k = tg? = f '(x0). Итак, геометрический смысл производной заключается в следую­щем: Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту ка­сательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.

7 Физический смысл производной

Физический смысл производной

3. Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t0; t0+ ?t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е. Vср = ?x/?t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ?t ? 0. lim Vср (t) = ?(t0) - мгновенная скорость в момент времени t0, ?t ? 0. а lim = ?x/?t = x'(t0) (по определению производной). Итак, ?(t) =x'(t). Физический смысл производной заключается в следующем: произ­водная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0

8 Правила дифференцирования

Правила дифференцирования

4. Правила дифференцирования и таблица производных.

1

3

2

4

Правила дифференцирования

Производная сложной функции

9 Таблица производных

Таблица производных

(C)’= 0 с=const

(cos x)'=-sin x

(sin x)'=cos x

(tg x)'=

(Ах)'=аx ln a

(ctg x)'= -

(Ех)'=ex

10 Производная степенно-показательной функции

Производная степенно-показательной функции

, Где

. Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция

При этом предполагается, что функция

Не обращается в нуль в точке

Покажем один из способов нахождения производной функции

Если

очень сложная функция и по обычным правилам диф­фе­рен­цирования найти производную затруднительно. Так как по первоначальному предположению

Не равна нулю в точке, где ищется ее производная, то найдем новую функцию

И вычислим ее производную

(1) Отношение

Называется логарифмической производной функции

Из формулы (1) получаем

Или

(2)

Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции

.

.

11 Производные высших порядков

Производные высших порядков

5. Производные высших порядков.

Ясно, что производная

Функции y =f (x) есть также функция от x:

Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением

Можем написать

Очень удобно пользоваться также обозначением

указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза. Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами

Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами

12 Дифференцируя производную первого порядка

Дифференцируя производную первого порядка

можно получить производную второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько производных высших порядков можно получить в случае произвольной функции. Например: 1).

Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие – переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной. Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.

; ...;

;

;

;

«Производная и её вычисление»
http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Proizvodnaja-i-ejo-vychislenie/Proizvodnaja-i-ejo-vychislenie.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

34 темы
Слайды
Презентация: Производная и её вычисление.pptm | Тема: Вычисление производной | Урок: Алгебра | Вид: Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Вычисление производной > Производная и её вычисление.pptm