Квадратное уравнение Скачать
презентацию
<<  Способы решения квадратных уравнений Нахождение корней квадратного уравнения  >>
Способы решения квадратных уравнений
Способы решения квадратных уравнений
Способы решений полных квадратных уравнений
Способы решений полных квадратных уравнений
Квадратное уравнение
Квадратное уравнение
Разложение на множители
Разложение на множители
Метод выделения полного квадрата
Метод выделения полного квадрата
Решение уравнений с использованием теоремы Виета
Решение уравнений с использованием теоремы Виета
Свободный член
Свободный член
Свободный член приведенного уравнения
Свободный член приведенного уравнения
Решение уравнения способом «переброски»
Решение уравнения способом «переброски»
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Сумма коэффициентов
Сумма коэффициентов
Доказательство
Доказательство
Коэффициент
Коэффициент
Графическое решение квадратных уравнений
Графическое решение квадратных уравнений
Уравнение
Уравнение
Приложение
Приложение
Рисунок
Рисунок
Спасибо за внимание
Спасибо за внимание
Слайды из презентации «Решение уравнений с квадратным корнем» к уроку алгебры на тему «Квадратное уравнение»

Автор: Иваныч. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Решение уравнений с квадратным корнем.pptx» бесплатно в zip-архиве размером 257 КБ.

Скачать презентацию

Решение уравнений с квадратным корнем

содержание презентации «Решение уравнений с квадратным корнем.pptx»
СлайдТекст
1 Способы решения квадратных уравнений

Способы решения квадратных уравнений

Электронный справочник «Способы решения квадратных уравнений».

Открыть

2 Способы решений полных квадратных уравнений

Способы решений полных квадратных уравнений

С помощью Дискриминанта

Разложение

«Переброска»

Выделение

Свойство коэффициентов

Теорема Виета

Графическое решение

Выйти

3 Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

С помощью Дискриминанта.

Дискриминант позволяет определить сколько же корней имеет данное квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения имеет вид: она позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Таким образом, квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 , если D > 0, то имеет два различных корня; если D = 0, то имеет единственный корень; если D < 0, то не имеет корней.

Назад

4 Разложение на множители

Разложение на множители

Назад

Пример 1 х2 – 4х + 4 = 0, разложим левую часть уравнения на множители; х2 – 2х – 2х + 4 = 0, х ( х – 2 ) – 2 ( х – 2 ) = 0, ( х – 2 )( х – 2 ) = 0, произведение равно нулю, значит хотя бы один из его множителей равен нулю х – 2 = 0, х = 2. Ответ: 2. Пример 2 х2 + 10х – 24 = 0, х2 + 12х – 2х – 24 = 0, х ( х + 12 ) – 2 ( х + 12 ) = 0, ( х + 12 ) ( х – 2 ) = 0, х + 12 = 0 или х – 2 = 0 х = - 12 х = 2. Ответ: -12 и 2.

5 Метод выделения полного квадрата

Метод выделения полного квадрата

Назад

Пример 1 х2 – 4х + 4 = 0, используем формулу сокращенного умножения; ( х – 2 )2 = 0, х – 2 = 0, х = 2. Ответ: 2 Пример 2 х2 + 6х – 7 = 0, выделим в левой части полный квадрат х2 + 2х · 3 + 32 – 32 – 7 = 0, первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3, поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32. Преобразуем левую часть уравнения прибавляя к ней и вычитая 32. ( х + 3 )2 – 9 – 7 = 0, ( х + 3 )2 – 16 = 0, ( х + 3 )2 = 16, х + 3 = 4 или х + 3 = - 4 х = 1 х = - 7. Ответ: 1 и -7 .

6 Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + рх + q = 0. Его корни удовлетворяют теореме Виета: х1 · х2 = q х1 + х2 = - р. По коэффициентам можно предсказать знаки корней:

Свободный член «+»

Свободный член «-»

Назад

7 Свободный член

Свободный член

положительный.

Если свободный член приведенного уравнения положителен, то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента. Если q > 0 и р > 0 , то оба корня отрицательны. Если q > 0 и р < 0 , то оба корня положительные. Пример 1 х2 + 10х + 9 = 0, х1 = - 1 и х2 = - 9, т.к. q = 9 > 0 и р = 10 > 0; Пример 2 х2 – 6х + 9 = 0, х1 = 3 и х2 = 3, т.к. q = 9 > 0 и р = - 6 < 0.

Назад

8 Свободный член приведенного уравнения

Свободный член приведенного уравнения

Свободный член отрицательный.

Если свободный член приведенного уравнения отрицателен, то уравнение имеет два различных по знаку корня. Если q < 0 и р > 0 , то больший по модулю корень будет отрицателен. Если q < 0 и р < 0, то больший по модулю корень будет положителен. Пример 1 х2 + 2х – 8 = 0, х1 = - 4 и х2 = 2, т.к. q = - 8 < 0 и р = 2 > 0 ; Пример 2 х2 – 2х – 15 = 0, х1 = 5 и х2 = - 3, т.к. q = - 15 < 0 и р = - 2 < 0.

Назад

9 Решение уравнения способом «переброски»

Решение уравнения способом «переброски»

Назад

Умножая обе части квадратного уравнения на а, получаем уравнение а 2 х2 + аb х + а с = 0. Пусть а х = у, откуда ; тогда получим уравнение у2 + bу + а с = 0, равносильное данному. С помощью теоремы Виета найдем корни: у1 и у2, где у1 у2 = ас и у1 + у2 = - b. Окончательно получаем и . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. Пример 2х2 – 11х + 15 = 0, «перебросим» коэффициент 2 к свободному члену: у2 – 11у + 30 = 0, согласно теореме Виета найдем корни: у1у2 = 30 и у1 + у2 = 11, у1 = 5 и у2 = 6, окончательно получим: х1 = 5/2 и х2 = 6/2, х1 = 2,5 и х2 = 3. Ответ: 2,5 и 3.

10 Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ? 0.

Первое свойство

Второе свойство

Третье свойство

Назад

11 Сумма коэффициентов

Сумма коэффициентов

Первое свойство коэффициентов.

Если сумма коэффициентов равна нулю, т.е. а + b + с = 0, то х1 = 1, х2 = . Доказательство: Разделим обе части уравнения на а, получим приведенное квадратное уравнение Согласно теореме Виета: х1 · х2 = , х1 + х2 = - . По условию, а + в + с = 0, тогда в = - а - с. Значит, х1 · х2 = = 1 · , х1 + х2 = - = - = 1 + . Получаем х1 = 1, х2 = , что и требовалось доказать. Пример 3х2 + 5х – 8 = 0, т.к. а + b + с = 0 ( 3 + 5 – 8 = 0 ), то получим х1 = 1, х2 = = - Ответ: 1 и -

Назад

12 Доказательство

Доказательство

Второе свойство коэффициентов.

Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = -1, х2 = - . Доказательство аналогично. Пример 11х2 + 27х + 16 = 0, Т.к. а - в + с = 0 (11 – 27 + 16 = 0 ), значит х1 = - 1, х2 = - = - . Ответ: -1 и -

Назад

13 Коэффициент

Коэффициент

Третье свойство коэффициентов.

Если второй коэффициент b = 2k четное число, то формулу корней можно записать в виде . Пример 4х2 – 36х + 77 = 0, а = 4, b = - 36, с = 77, k = - 18; D = k2 – ас = ( - 18 )2 – 4 · 77 = 324 – 308 = 16, D > 0, два различных корня; х1 = 5, 5 , х2 = 3,5. Ответ: 5,5 и 3,5.

Назад

14 Графическое решение квадратных уравнений

Графическое решение квадратных уравнений

Преобразуем уравнение х2 + рх + q = 0 и получим вид: х2 = - рх - q . Построим графики зависимостей у = х2 и у = - рх - q . График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая . (приложение 1, рис.1). Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; прямая и парабола могут касаться и имеют одну общую точку, значит уравнение имеет одно решение; прямая и парабола не имеют общих точек, т. е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры

Назад

15 Уравнение

Уравнение

Примеры.

Пример 1 х2 – 3х – 4 = 0, запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4, рассмотрим графики зависимостей у = х2 и у = 3х + 4, Построим параболу у = х2 по координатам: Прямую у = 3х + 4 построим по двум точкам М (0; 4) и N(3; 13) (приложение 1, рис.2). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1= -1 и х2=4. Ответ: - 1 и 4 . Пример 2. х2 – 2х + 1 = 0, Построим параболу у = х2 по координатам (см. таблицу выше) и прямую у = 2х - 1 по двум точкам М(0; -1) и N(1\2; 0) (приложение 1, рис.3). Прямая и парабола пересекаются в точке А с абсциссой х = 1. Ответ: 1. Пример 3. х2 – 2х + 5 = 0, Построим параболу у = х2 по координатам (см. таблицу выше) и прямую у = 2х - 5 по двум точкам М( 0; -5) и N( 2,5; 0) (приложение 1, рис.4). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, значит данное уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней.

Назад

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

16

9

4

1

0

1

4

9

16

16 Приложение

Приложение

Рисунок 1

Рисунок 2

Назад

17 Рисунок

Рисунок

Приложение.

Рисунок 3

Рисунок 4

Назад

18 Спасибо за внимание

Спасибо за внимание

«Решение уравнений с квадратным корнем»
http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Reshenie-uravnenij-s-kvadratnym-kornem/Reshenie-uravnenij-s-kvadratnym-kornem.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

34 темы
Слайды
Презентация: Решение уравнений с квадратным корнем.pptx | Тема: Квадратное уравнение | Урок: Алгебра | Вид: Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Квадратное уравнение > Решение уравнений с квадратным корнем.pptx