Вероятность Скачать
презентацию
<<  Случайные события Несовместимые события  >>
Случайная величина (СВ)
Случайная величина (СВ)
СВ – количественная характеристика случайного явления
СВ – количественная характеристика случайного явления
Обозначение СВ
Обозначение СВ
Каждое значение СВ есть случайное событие
Каждое значение СВ есть случайное событие
Дискретная (ДСВ)
Дискретная (ДСВ)
ДСВ X – число попаданий при 3-х выстрелах
ДСВ X – число попаданий при 3-х выстрелах
Непрерывная (НСВ)
Непрерывная (НСВ)
НСВ X – координаты точек попадания при стрельбе в мишень
НСВ X – координаты точек попадания при стрельбе в мишень
Закон распределения вероятностей
Закон распределения вероятностей
Закон распределения СВ
Закон распределения СВ
СВ обязательно примет только одно из этих значений
СВ обязательно примет только одно из этих значений
Законом распределения СВ называется любое соотношение
Законом распределения СВ называется любое соотношение
Способы задания закона распределения ДСВ
Способы задания закона распределения ДСВ
Графический способ – в виде многоугольника распределения
Графический способ – в виде многоугольника распределения
Аналитический способ – в виде формулы
Аналитический способ – в виде формулы
Формула Бернулли
Формула Бернулли
Аналитическое выражение закона распределения СВ
Аналитическое выражение закона распределения СВ
Способы задания закона распределения НСВ
Способы задания закона распределения НСВ
Разные интервалы значений СВ
Разные интервалы значений СВ
Вычисление вероятностей попадания
Вычисление вероятностей попадания
Для НСВ возможен только аналитический способ задания закона
Для НСВ возможен только аналитический способ задания закона
Функция распределения СВ F(x) и связанная с нею плотность вероятности
Функция распределения СВ F(x) и связанная с нею плотность вероятности
Функция распределения вероятностей
Функция распределения вероятностей
X – некоторая текущая переменная
X – некоторая текущая переменная
Определение
Определение
Свойства функции распределения
Свойства функции распределения
Вероятность появления СВ в интервале , полузамкнутом справа
Вероятность появления СВ в интервале , полузамкнутом справа
Доказательство
Доказательство
По теореме сложения вероятностей несовместных событий можно написать
По теореме сложения вероятностей несовместных событий можно написать
Замечание
Замечание
Если же функция в точке непрерывна (НСВ), то этот предел равен нулю
Если же функция в точке непрерывна (НСВ), то этот предел равен нулю
Функция распределения есть неубывающая функция
Функция распределения есть неубывающая функция
Случайная величина
Случайная величина
Функция распределения вероятностей
Функция распределения вероятностей
Для ДСВ функция распределения имеет вид
Для ДСВ функция распределения имеет вид
Задача
Задача
Решение
Решение
Ряд распределения
Ряд распределения
Для построения функции распределения вычислим несколько ее значений
Для построения функции распределения вычислим несколько ее значений
График функции
График функции
График функции распределения любой ДСВ величины
График функции распределения любой ДСВ величины
Число скачков становится больше
Число скачков становится больше
График функции F(x) любого закона распределения вероятностей
График функции F(x) любого закона распределения вероятностей
Дана функция распределения НСВ
Дана функция распределения НСВ
Вероятность попадания СВ в интервал
Вероятность попадания СВ в интервал
Для построения графика найдем
Для построения графика найдем
Построим график
Построим график
Плотность распределения (плотность вероятности)
Плотность распределения (плотность вероятности)
Функция характеризует как бы плотность, с которой распределяется СВ
Функция характеризует как бы плотность, с которой распределяется СВ
Кривая, изображающая плотность вероятности
Кривая, изображающая плотность вероятности
Общие свойства функции
Общие свойства функции
Свойства плотности вероятности
Свойства плотности вероятности
Что очевидно из определения функции распределения
Что очевидно из определения функции распределения
Геометрически на графике функции функция численно равна площади
Геометрически на графике функции функция численно равна площади
Вероятность попадания СВ на участок
Вероятность попадания СВ на участок
Вероятность численно равна площади криволинейной трапеции
Вероятность численно равна площади криволинейной трапеции
Узкий прямоугольник
Узкий прямоугольник
Свойство следует из свойства 2
Свойство следует из свойства 2
Площадь
Площадь
СВ подчинена закону распределения
СВ подчинена закону распределения
Для построения графика найдем ряд значений функции
Для построения графика найдем ряд значений функции
Построим график плотности
Построим график плотности
Вычислим вероятность попадания в заданный интервал по формуле
Вычислим вероятность попадания в заданный интервал по формуле
Решение
Решение
Найдем функцию распределения по формуле
Найдем функцию распределения по формуле
Получим
Получим
Решение
Решение
Слайды из презентации «Случайная величина» к уроку алгебры на тему «Вероятность»

Автор: Нефедова. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Случайная величина.ppt» бесплатно в zip-архиве размером 391 КБ.

Скачать презентацию

Случайная величина

содержание презентации «Случайная величина.ppt»
СлайдТекст
1 Случайная величина (СВ)

Случайная величина (СВ)

1

2 СВ – количественная характеристика случайного явления

СВ – количественная характеристика случайного явления

Случайная величина (СВ).

СВ – количественная характеристика случайного явления. Случайной называется такая величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

2

3 Обозначение СВ

Обозначение СВ

Случайная величина (СВ).

Обозначение СВ: а ее возможные значения – соответствующими малыми буквами с индексами. Напр., возм. знач. СВ X: x1, x2,...,xn Для нас важно то, что результаты любых измерений являются случайными величинами.

3

4 Каждое значение СВ есть случайное событие

Каждое значение СВ есть случайное событие

Случайная величина (СВ).

Каждое значение СВ есть случайное событие. Все возможные значения СВ составляют полную группу событий. Различают СВ двух типов – дискретные (ДСВ) и непрерывные (НСВ)

4

5 Дискретная (ДСВ)

Дискретная (ДСВ)

Случайная величина (СВ).

Дискретная (ДСВ) - такая СВ, возможные значения которой: 1) принимают отдельные изолированные значения; 2) их все можно указать заранее численно, если их число конечно.

5

6 ДСВ X – число попаданий при 3-х выстрелах

ДСВ X – число попаданий при 3-х выстрелах

Случайная величина (СВ).

Например, ДСВ X – число попаданий при 3-х выстрелах; Ее возможные значения : 0, 1, 2, 3. Число возможных значений ДСВ может быть конечным и бесконечным.

6

7 Непрерывная (НСВ)

Непрерывная (НСВ)

Случайная величина (СВ).

Непрерывная (НСВ) - такая СВ, возм. значения которой: в принципе нельзя указать заранее численно; можно указать лишь границы ее изменения, т.е. отрезок, на котором находятся все ее возможные значения.

7

8 НСВ X – координаты точек попадания при стрельбе в мишень

НСВ X – координаты точек попадания при стрельбе в мишень

Случайная величина (СВ).

Например, НСВ X – координаты точек попадания при стрельбе в мишень; ее возм. значения ограничены размерами мишени. Или НСВ Y – результаты многократных измерений одной величины; ее возм. значения непрерывно изменяются в пределах точности измерительного прибора Число возможных значений НСВ всегда бесконечно.

8

9 Закон распределения вероятностей

Закон распределения вероятностей

Случайная величина (СВ).

Важнейшей и исчерпывающей характеристикой СВ является: закон распределения вероятностей ее значений.

9

10 Закон распределения СВ

Закон распределения СВ

Рассмотрим ДСВ X с возможными значениями . Они составляют полную группу событий. Каждое из них СВ может принять с некоторой вероятностью, т.е.: .

10

11 СВ обязательно примет только одно из этих значений

СВ обязательно примет только одно из этих значений

Закон распределения СВ.

В результате опыта эта СВ обязательно примет только одно из этих значений. Если указать численно значения вероятностей pi, то тем самым будет задан закон распределения вероятностей СВ или просто – закон распределения СВ.

11

12 Законом распределения СВ называется любое соотношение

Законом распределения СВ называется любое соотношение

Закон распределения СВ.

Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между ее возможными значениями xi и соответствующими им вероятностями pi. Про СВ говорят, что она подчинена данному закону распределения.

12

13 Способы задания закона распределения ДСВ

Способы задания закона распределения ДСВ

1. Численный способ – в виде ряда распределения

...

13

14 Графический способ – в виде многоугольника распределения

Графический способ – в виде многоугольника распределения

Способы задания закона распределения ДСВ.

2. Графический способ – в виде многоугольника распределения: Он строится по данным ряда распределения

14

15 Аналитический способ – в виде формулы

Аналитический способ – в виде формулы

Способы задания закона распределения ДСВ.

3. Аналитический способ – в виде формулы, позволяющей вычислять вероятности отдельных значений СВ в зависимости от самих этих значений.

15

16 Формула Бернулли

Формула Бернулли

Напр., формула Бернулли задает биномиальный закон распределения ДСВ X, где: X = k – число появлений события в n испытаниях. Возможные значения этой СВ k = 0,1, 2 ,…, n , а вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли: .

16

17 Аналитическое выражение закона распределения СВ

Аналитическое выражение закона распределения СВ

Имея аналитическое выражение закона распределения СВ, всегда можно получить ряд распределения. Так ряд распределения для биномиального закона: При этом всегда .

0

1

2

...

...

17

18 Способы задания закона распределения НСВ

Способы задания закона распределения НСВ

Для НСВ нельзя составить ряд распределения, как для ДСВ, так как в принципе невозможно перечислить все ее возможные значения, принадлежащие отрезку [ a, b ] .

18

19 Разные интервалы значений СВ

Разные интервалы значений СВ

Способы задания закона распределения НСВ.

Однако внутри этих границ разные интервалы значений СВ имеют в общем случае разные вероятности:

19

20 Вычисление вероятностей попадания

Вычисление вероятностей попадания

Способы задания закона распределения НСВ.

Поэтому для НСВ: имеет смысл только вычисление вероятностей попадания в соседние интервалы и не имеет смысла вычисление вероятностей отдельных ее значений

20

21 Для НСВ возможен только аналитический способ задания закона

Для НСВ возможен только аналитический способ задания закона

Способы задания закона распределения НСВ.

Для НСВ возможен только аналитический способ задания закона ее распределения. Это должен быть такой способ, который позволял бы легко вычислять вероятности ее попадания в отдельные интервалы. Такому требованию отвечает т.н. функция распределения вероятностей или просто – функция распределения СВ.

21

22 Функция распределения СВ F(x) и связанная с нею плотность вероятности

Функция распределения СВ F(x) и связанная с нею плотность вероятности

f(x) – две формы аналитического задания закона распределения НСВ.

Способы задания закона распределения НСВ

22

23 Функция распределения вероятностей

Функция распределения вероятностей

Понятие функции F(x) распределения СВ вводится в виде вероятности случайного события, состоящего в том, что СВ X примет значение левее точки x на числовой оси, т. е.

23

24 X – некоторая текущая переменная

X – некоторая текущая переменная

Функция распределения вероятностей.

Где x – некоторая текущая переменная, с изменением которой меняется и значение функции f(x):

24

25 Определение

Определение

Функция распределения вероятностей.

Определение. Функцией распределения СВ называется вероятность того, что СВ X примет значение меньше заданного x . Ее называют также интегральным законом распределения или интегральной функцией.

25

26 Свойства функции распределения

Свойства функции распределения

1. F(x) есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т. Е. . Т.К. F(x) определена как вероятность случайного события, а вероятность не может быть отрицательной.

26

27 Вероятность появления СВ в интервале , полузамкнутом справа

Вероятность появления СВ в интервале , полузамкнутом справа

Свойства функции распределения.

2. Вероятность появления СВ в интервале , полузамкнутом справа, равна разности значений функции распределения в концах этого интервала, т. е. .

27

28 Доказательство

Доказательство

Свойства функции распределения.

Доказательство. Выберем на числовой оси две точки и и рассмотрим события: , , . Очевидно, что .

28

29 По теореме сложения вероятностей несовместных событий можно написать

По теореме сложения вероятностей несовместных событий можно написать

Свойства функции распределения.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий можно написать: или ,т.е. поскольку , а согласно определению функции распределения как .

29

30 Замечание

Замечание

Свойства функции распределения.

Замечание. Если будем неограниченно уменьшать участок , полагая, например, что , то в пределе получим вероятность того, что СВ примет отдельное значение : Если в точке функция имеет разрыв (ДСВ), то этот предел равен значению скачка функции в точке .

30

31 Если же функция в точке непрерывна (НСВ), то этот предел равен нулю

Если же функция в точке непрерывна (НСВ), то этот предел равен нулю

Свойства функции распределения.

Если же функция в точке непрерывна (НСВ), то этот предел равен нулю. Т.о., для НСВ вероятность любого конкретного значения равна нулю, т. е. .

31

32 Функция распределения есть неубывающая функция

Функция распределения есть неубывающая функция

Свойства функции распределения.

3. Функция распределения есть неубывающая функция, т. е. при . Это свойство вытекает из свойства 2.

32

33 Случайная величина

Случайная величина

Свойства функции распределения.

4.

33

34 Функция распределения вероятностей

Функция распределения вероятностей

существует как для НСВ, так и для ДСВ – это универсальный способ задания закона их распределения.

34

35 Для ДСВ функция распределения имеет вид

Для ДСВ функция распределения имеет вид

, где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения СВ, которые меньше заданного .

35

36 Задача

Задача

Производятся два выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0.3. Построить функцию распределения числа попаданий.

36

37 Решение

Решение

Имеем ДСВ Построим для нее ряд распределения, учитывая, что все возможные значения этой СВ равны 0, 1 и 2, а вероятности этих значений получим по формуле Бернулли: , где

37

38 Ряд распределения

Ряд распределения

Решение.

Ряд распределения:

k

0

1

2

pi

0.49

0.42

0.09

38

39 Для построения функции распределения вычислим несколько ее значений

Для построения функции распределения вычислим несколько ее значений

Решение.

Для построения функции распределения вычислим несколько ее значений в таблице и построим график функции распределения.

39

40 График функции

График функции

Решение.

1

0

2

1

k

0

1

2

3

2

pi

0.49

0.42

0.09

4

График функции

40

41 График функции распределения любой ДСВ величины

График функции распределения любой ДСВ величины

есть всегда прерывная ступенчатая линия Сумма ординат всех скачков равна единице.

41

42 Число скачков становится больше

Число скачков становится больше

С увеличением числа возможных значений СВ и уменьшением интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки меньше, – ступенчатая линия становится более плавной. ДСВ постепенно приближается к НСВ, а ее функция распределения – к непрерывной функции.

42

43 График функции F(x) любого закона распределения вероятностей

График функции F(x) любого закона распределения вероятностей

имеет одинаковый внешний вид:

43

44 Дана функция распределения НСВ

Дана функция распределения НСВ

Задача.

Дана функция распределения НСВ: Найти вероятность попадания СВ в интервал и построить график функции распределения.

44

45 Вероятность попадания СВ в интервал

Вероятность попадания СВ в интервал

Решение.

Вероятность попадания СВ в интервал найдем по формуле , т. е. .

45

46 Для построения графика найдем

Для построения графика найдем

Решение.

Для построения графика найдем:

0

1

2

3

4

5

6

0

0

0.25

0.5

0.75

1

1

46

47 Построим график

Построим график

Решение.

Построим график:

47

48 Плотность распределения (плотность вероятности)

Плотность распределения (плотность вероятности)

Понятие плотности вероятности – функция – вводится только для НСВ и определяется как:

48

49 Функция характеризует как бы плотность, с которой распределяется СВ

Функция характеризует как бы плотность, с которой распределяется СВ

Плотность распределения (плотность вероятности).

Функция характеризует как бы плотность, с которой распределяется СВ в данной точке. Поэтому ее и называют плотностью распределения или плотностью вероятности, а также дифференциальным законом распределения СВ.

49

50 Кривая, изображающая плотность вероятности

Кривая, изображающая плотность вероятности

Плотность распределения (плотность вероятности).

Кривая, изображающая плотность вероятности, называется кривой распределения. Кривая распределения для разных законов имеет разную форму, Это более наглядно отражает различие между законами.

50

51 Общие свойства функции

Общие свойства функции

Плотность распределения (плотность вероятности).

Например: Но, несмотря на различие графиков, общие свойства функции одинаковы для всех законов распределения.

51

52 Свойства плотности вероятности

Свойства плотности вероятности

1. Плотность вероятности неотрицательна, т. е. , т.к она определена как производная от неубывающей функции . Геометрически это свойство означает, что кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс.

52

53 Что очевидно из определения функции распределения

Что очевидно из определения функции распределения

Свойства плотности вероятности.

2. Что очевидно из определения функции распределения:

53

54 Геометрически на графике функции функция численно равна площади

Геометрически на графике функции функция численно равна площади

Свойства плотности вероятности.

Геометрически на графике функции функция численно равна площади:

54

55 Вероятность попадания СВ на участок

Вероятность попадания СВ на участок

Свойства плотности вероятности.

3. Вероятность попадания СВ на участок равна

55

56 Вероятность численно равна площади криволинейной трапеции

Вероятность численно равна площади криволинейной трапеции

Свойства плотности вероятности.

Геометрически эта вероятность численно равна площади криволинейной трапеции с основанием .

56

57 Узкий прямоугольник

Узкий прямоугольник

Свойства плотности вероятности.

Положив и , получим узкий прямоугольник, площадь которого называется элементом вероятности.

57

58 Свойство следует из свойства 2

Свойство следует из свойства 2

Свойства плотности вероятности.

4. . Это свойство следует из свойства 2 и из того, что .

58

59 Площадь

Площадь

Свойства плотности вероятности.

Геометрически это означает, что вся площадь, между кривой распределения и осью абсцисс, равна единице:

59

60 СВ подчинена закону распределения

СВ подчинена закону распределения

Задача.

СВ подчинена закону распределения с плотностью вероятности 1. Построить график плотности; 2. Вычислить вероятность попадания СВ на участок от 0 до ; 3. Найти функцию распределения СВ

60

61 Для построения графика найдем ряд значений функции

Для построения графика найдем ряд значений функции

Решение.

1. Для построения графика найдем ряд значений функции :

0

0

0.35

0.5

0.35

0

61

62 Построим график плотности

Построим график плотности

Решение.

Построим график плотности

62

63 Вычислим вероятность попадания в заданный интервал по формуле

Вычислим вероятность попадания в заданный интервал по формуле

Решение.

2. Вычислим вероятность попадания в заданный интервал по формуле , где , а :

63

64 Решение

Решение

64

65 Найдем функцию распределения по формуле

Найдем функцию распределения по формуле

Решение.

3. Найдем функцию распределения по формуле

65

66 Получим

Получим

Решение.

Получим:

66

67 Решение

Решение

И окончательно:

67

«Случайная величина»
http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Sluchajnaja-velichina/Sluchajnaja-velichina.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

34 темы
Слайды
Презентация: Случайная величина.ppt | Тема: Вероятность | Урок: Алгебра | Вид: Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Вероятность > Случайная величина.ppt