Возрастание и убывание функции

Возрастание и убывание функций

Познакомимся на примере с возрастанием и убыванием функции

На рисунке ниже изображен график функции, определенной на отрезке [-1;10]. Эта функция возрастает на отрезках [-1;3] и [4;5], и убывает на отрезках [3;4] и [5,10]. Рассмотрим еще один пример. Очевидно, что функция y=x2 убывает на промежутке (-?; 0] и возрастает на промежутке [0;?). Видно, что график этой функции при изменении x от -? до 0 сначала опускается до нуля, а затем поднимается до бесконечности. Определение. Функция f возрастает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества P, таких, что x2>x1, выполнено неравенство f(x2) > f(x1). Определение. Функция f убывает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества P, таких, что x2>x1, выполнено неравенство f(x2) < f(x1). Иначе говоря, функция f называется возрастающей на множестве P, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве P, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Возрастание и убывание четных функций

Для четных функций задача нахождения промежутков возрастания и убывания сильно упрощается. Достаточно всего лишь найти промежутки возрастания и убывания при x?0 (см. рисунок внизу). Пусть, например, функция f четна и возрастает на промежутке [a;b], где b>a?0. Докажем, что эта функция убывает на промежутке [-b; -a]. Действительно, пусть -a?x2>x1?-b. Тогда f(-x2)=f(x2), f(-x1)=f(x1), причем a?-x2<-x1?b, и, поскольку f возрастает на [a;b], имеем f(-x1)>f(-x2), то есть f(x1)>f(x2).

Возрастание и убывание функции синус

Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-?/2+2?n ; ?/2+2?n], n - целое. В силу периодичности функции синуса доказательство достаточно провести для отрезка [-?/2 ; ?/2]. Пусть x2 > x1. Применим формулу разности синусов и найдем: Из неравенства -?/2 ? x1 < x2 ? ?/2 следует, что и , поэтому и , следовательно и . Это доказывает, что на указанных промежутках синус возрастает. Аналогичным образом легко доказать, что промежутки [?/2+2?n ; 3?/2+2?n], n - целое, являются промежутками убывания функции синуса. Полученный результат можно легко проиллюстрировать с помощью рисунка единичной окружности (см. рисунок ниже). Если -?/2 ? t1 < t2 ? ?/2, то точка Pt2 имеет ординату большую, чем точка Pt1. Если же ?/2 ? t1 < t2 ? 3?/2, то ордината точки Pt2 меньше, чем ордината точки Pt1.

Возрастание и убывание функции косинус

Промежутками возрастания косинуса являются отрезки [-?+2?n ; 2?n], n - целое. Промежутками убывания косинуса являются отрезки [2?n ; ? + 2?n], n - целое. Доказательство этих утверждений можно провести аналогично доказательству для синуса. Однако, проще воспользоваться формулой приведения cos(x) = sin(x + ?/2), из которой сразу следует, что промежутками возрастания косинуса являются промежутки возрастания синуса, сдвинутые на ?/2 влево. Аналогичное утверждение можно сделать и для промежутков убывания.

Упражнение №82а

Упражнение №82б

Упражнение №82в

Упражнение №82г

Упражнение №83а

Упражнение №83в

Упражнение №77,78

Автор: Сабитова Файруза Рифовна учитель математики 1 квалификационной

категории.