Производная Скачать
презентацию
<<  Задачи, приводящие к понятию производной Задания на производную  >>
Задачи, приводящие к понятию производной
Задачи, приводящие к понятию производной
К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое
К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое
Совершенно верно
Совершенно верно
А как Вы представляете себе мгновенную скорость
А как Вы представляете себе мгновенную скорость
Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость в данный момент времени»
Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость в данный момент времени»
Остановись мгновенье – мы тебя исследуем
Остановись мгновенье – мы тебя исследуем
Производная
Производная
Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного
Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного
Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t)
Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t)
Задача о мгновенной скорости
Задача о мгновенной скорости
А л г о р и т м
А л г о р и т м
Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в
Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в
Задача о касательной к графику функции
Задача о касательной к графику функции
А л г о р и т м
А л г о р и т м
Убедитесь, что угловой коэффициент касательной к графику функции y =
Убедитесь, что угловой коэффициент касательной к графику функции y =
Задача о скорости химической реакции
Задача о скорости химической реакции
А л г о р и т м
А л г о р и т м
Задача о теплоёмкости тела
Задача о теплоёмкости тела
А л г о р и т м
А л г о р и т м
Задача о мгновенной величине тока
Задача о мгновенной величине тока
А л г о р и т м
А л г о р и т м
Экономические задачи
Экономические задачи
Экономические задачи
Экономические задачи
Экономические задачи
Экономические задачи
Рост численности населения
Рост численности населения
Выводы
Выводы
Определение производной
Определение производной
Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее: а)
Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее: а)
А это значит:
А это значит:
Авторы:
Авторы:
Слайды из презентации «Задачи на производную» к уроку алгебры на тему «Производная»

Автор: Неизвестный. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Задачи на производную.ppt» бесплатно в zip-архиве размером 694 КБ.

Скачать презентацию

Задачи на производную

содержание презентации «Задачи на производную.ppt»
СлайдТекст
1 Задачи, приводящие к понятию производной

Задачи, приводящие к понятию производной

2 К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое

К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое

широко используемое в физике понятие, как мгновенная скорость неравномерно движущегося тела. Мы познакомились с этим понятием, изучая в курсе физики раздел кинематики, а точнее кинематики прямолинейного неравномерного движения.

В начале было слово.

3 Совершенно верно

Совершенно верно

Как же Вы представляете себе мгновенную скорость? Что это такое? Мгновенной скоростью тела называют скорость, которую оно имеет в данный момент времени (в данной точке траектории).

4 А как Вы представляете себе мгновенную скорость

А как Вы представляете себе мгновенную скорость

Так и представляю… Если тело движется равномерно, то в разные моменты времени его скорость одинакова. Если тело движется неравномерно (ускоряясь или замедляясь, то в разные моменты времени его скорость будет, вообще говоря, различной.

5 Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость в данный момент времени»

Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость в данный момент времени»

не более как синоним фразы «мгновенная скорость»? Как говорится, «что в лоб, что по лбу». Термин «скорость в данный момент времени нуждается в разъяснении в той же мере, в какой нуждается в нём термин «мгновенная скорость». Физик эту проблему решает просто. У него есть приборы, например, спидометр. А математик создаст математическую модель процесса. Итак, проблема поставлена. Приступим к её решению.

6 Остановись мгновенье – мы тебя исследуем

Остановись мгновенье – мы тебя исследуем

Сначала мы определили «территорию» своих исследований. В каких ещё науках математика поможет решить подобную проблему ? Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, экономикой, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью. Основным математическим понятием, выражающим эту связь является производная.

7 Производная

Производная

Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой. Рассмотрим подробно каждую из них.

8 Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного

Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного

падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

9 Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t)

Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t)

Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t). Если промежуток времени h очень мал, то приближённо s(t+h)-s(t)?v(t)?h, или , причём последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h. Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h. Сказанное записывают в виде.

10 Задача о мгновенной скорости

Задача о мгновенной скорости

Предел средней скорости за промежуток времени от t0 до t при t? t0, называется мгновенной скоростью v(t0) в момент времени t0 v(t0) =

11 А л г о р и т м

А л г о р и т м

?t = t – t0 ?x = x – x0 ?v = v(t+t0) - v(t0) ?f = f(x+x0) – f(x0) . .

На языке предмета На математическом языке

12 Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в

Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в

терминах производной, - построение касательной к кривой. Требуется построить прямую Т, касательную в т. А к кривой – графику функции y = f(x).

13 Задача о касательной к графику функции

Задача о касательной к графику функции

y

?f(x) = f(x) - f(x0)

С

?Х=х-х0

x

14 А л г о р и т м

А л г о р и т м

1) ?x = x – x0 2) ?f = f(x+x0) – f(x0) 3) 4)

15 Убедитесь, что угловой коэффициент касательной к графику функции y =

Убедитесь, что угловой коэффициент касательной к графику функции y =

f(x) можно определить по формуле.

M

y=f(x)

?y

M0

T

?x

x0 x0+?x

y

x

0

16 Задача о скорости химической реакции

Задача о скорости химической реакции

Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t0;t1] (масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле . Скорость растворения в данный момент времени

17 А л г о р и т м

А л г о р и т м

?t = t – t0 ?x = x – x0 ?f = f(t1) - f(t0) ?f = f(x) – f(x0) . .

На языке предмета На математическом языке

18 Задача о теплоёмкости тела

Задача о теплоёмкости тела

Если температура тела с массой в 1 кг повышается от t1 = 0 до t2 = ?, то это происходит за счёт того, что телу сообщается определённое количество тепла Q; значит Q есть функция температуры ?, до которой тело нагревается: Q=Q(?).

Пусть температура повысилась с ? до ? +??. Количество тепла ?Q, затраченное для этого нагревания равно: ?Q=Q(?+??)-Q(?). Отношение есть количество тепла, которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на 1?. Это отношение называется средней теплоёмкостью, которая не даёт представления о теплоёмкости для любого значения температуры ?. Теплоёмкостью при температуре ? называ-ется предел отношения приращения количества тепла ?Q к приращению температуры ??.( при ?? ?0)

19 А л г о р и т м

А л г о р и т м

?? = ? – ?0 ?x = x – x0 ?Q = Q(?1) - Q(?0) ?f = f(x) – f(x0) . .

На языке предмета На математическом языке

20 Задача о мгновенной величине тока

Задача о мгновенной величине тока

Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Пусть ?t – некоторый промежуток времени, ?q = q(t+?t) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + ?t. Тогда отношение называют средней силой тока. Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества ?q ко времени ?t, при условии, что ?t?0.

21 А л г о р и т м

А л г о р и т м

?t = t – t0 ?x = x – x0 ?q = q(t1) - q(t0) ?f = f(x) – f(x0) . .

На языке предмета На математическом языке

22 Экономические задачи

Экономические задачи

Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда ?x- прирост продукции, а ?y - приращение издержек производства. В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции ,где MC – предельные издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество.C(t)СС

23 Экономические задачи

Экономические задачи

Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер. Другой пример - категория предельной выручки (MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта. Она представляет собой первую производную от выручки: При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price). Таким образом , ? MR= P.

24 Экономические задачи

Экономические задачи

Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0 до t0+ t количество продукции изменится от u(t0) до u0+? u = u(t0+? t). Тогда средняя производительность труда за этот период поэтому производительность труда в момент t0

25 Рост численности населения

Рост численности населения

Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t. Пусть у=у(t)- численность населения. Рассмотрим прирост населения за ?t = t - t0 ?y=k ? y ? ?t, где к = кр – кс –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости, кс – коэффициент смертности) получим

26 Выводы

Выводы

Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.: Присвоить ей новый термин. Ввести для неё обозначение. Исследовать свойства новой модели. Определить возможности применения нового понятия - производная

27 Определение производной

Определение производной

Производной функции f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции в точке х к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует

28 Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее: а)

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее: а)

мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени; б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х0; в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени; г) теплоёмкость С(?) при температуре ? есть производная от количества тепла Q(?), получаемого телом; д) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

29 А это значит:

А это значит:

Аппарат производной можно использовать при решении геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера. И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств У нас впереди огромные возможности для исследовательской работы в новых проектах!

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

30 Авторы:

Авторы:

Учащиеся 10 класса Амбарцумян Ануш, Дешевых Андрей, Рындин Вячеслав, Макаровская Ирина Леликова Евгения, Морохов Александр.

«Задачи на производную»
http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Zadachi-na-proizvodnuju/Zadachi-na-proizvodnuju.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

34 темы
Слайды
Презентация: Задачи на производную.ppt | Тема: Производная | Урок: Алгебра | Вид: Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Производная > Задачи на производную.ppt