Производная Скачать
презентацию
<<  Применение производной к исследованию функций Задачи на производную  >>
Определение производной
Определение производной
Приращение функции
Приращение функции
Начало отсчета
Начало отсчета
Момент времени
Момент времени
Камешек
Камешек
Значение скорости
Значение скорости
Прямая, проходящая через точку
Прямая, проходящая через точку
Положение касательной
Положение касательной
Задача о касательной к графику функции
Задача о касательной к графику функции
Задача о мгновенной величине тока
Задача о мгновенной величине тока
Приращение аргумента
Приращение аргумента
Задача о скорости химической реакции
Задача о скорости химической реакции
Предел отношения приращения функции
Предел отношения приращения функции
Мгновенная скорость
Мгновенная скорость
А л г о р и т м
А л г о р и т м
Аппарат производной
Аппарат производной
Основные формулы
Основные формулы
Слайды из презентации «Задачи, приводящие к понятию производной» к уроку алгебры на тему «Производная»

Автор: Loner-XP. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Задачи, приводящие к понятию производной.pptx» бесплатно в zip-архиве размером 289 КБ.

Скачать презентацию

Задачи, приводящие к понятию производной

содержание презентации «Задачи, приводящие к понятию производной.pptx»
СлайдТекст
1 Определение производной

Определение производной

1. Задачи, приводящие к понятию производной

Составила учитель математики МОУ «Гимназия им. Горького А.М.»: Фабер Г.Н.

2 Приращение функции

Приращение функции

y=f(x).

Приращение функции и приращение аргумента

Приращение аргумента:

x

=x0+?x

Т.е., значение функции изменилось на величину f(x)-f(x0)= f(x0 +?x)-f(x0),КОТОРАЯ НАЗЫВАЕТСЯ ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ И ОБОЗНАЧАЕТСЯ ?f

Дана функция f(x)

Первоначальное значение аргумента получило приращение ?х, и новое значение х равно х0+?х

Пусть х0- фиксированная точка, f(х0)- значение функци в точке х0

В окрестности точки х0 возьмём точку х

Расстояние между точками х и х0 обозначим ?х.Оно называется приращением аргумента и равно разности между х и х0:

Функция f(х) тоже примет новое значение: f(x0+?x)

?Х = х - х0 (1)

f(x)=f(x0+?x)

Приращение функции :

?f

?f = f(x0 +?x)-f(x0) (2)

f(x0)

x0

?x

y

?f = f(x)-f(x0) (3)

x

3 Начало отсчета

Начало отсчета

Задача 1 (о скорости движения).

По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой s=s (t), где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

4 Момент времени

Момент времени

Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М пройдя путь от начала движения ОМ = s{t). Дадим аргументу t приращение ?t и рассмотрим момент времени t+?t Координата материальной точки стала другой, тело в этот момент будет находиться в точке P : OP=s(t+?t) Значит, за ?t секунд тело переместилось из точки М в точку Р, т.е. прошло путь МР. Имеем: MP=OP-OM=s(t+?t)-s(t)=?s Полученную разность мы назвали в § 26 приращением функции Путь ?s тело прошло за ?t секунд. Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени [t;t+?t] : = А что такое скорость v (t) в момент времени t (ее называют иногда мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени [t;t+?t] при условии , что ?t выбирается все меньше и меньше; точнее: иными словами, при условии, что ?t?0.Это значит , что Подводя итог решению задачи 1, получаем:

5 Камешек

Камешек

Задача 2.

Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

6 Значение скорости

Значение скорости

Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t). Если промежуток времени h очень мал, то приближённо s(t+h)-s(t)?v(t)?h, или , причём последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h. Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h. Сказанное записывают в виде.

7 Прямая, проходящая через точку

Прямая, проходящая через точку

М0 (х0; f(х0)), с отрезком которой почти сливается график функции f(х),называют касательной к графику в точке х0.

Тема: Задача, приводимая к понятию “производная”

y

M0

X

0

f(x0)

x0

8 Положение касательной

Положение касательной

Задача: Определить положение касательной (tg?).

А к какому углу будет стремиться угол ? ?

У

f(x)

=f(x0+?x)

М

Через точки М и М0 проведём секущую, которая образует с осью ОХ угол ?

?f

М0

f(x0)

?

?

Х

Х0

0

Х

=x0+?x

?x

Пусть дан график функции f(х) и касательная, проходящая через точку М0 ,которая образует с положительным направлением оси ОХ угол ?

Будем перемещать точку М вдоль графика, приближая её к точке М0.Соответственно будет меняться положение секущей ММ0

Отметим точку М, координаты которой рассмотрим как приращение координат точки М0

К чему будет стремиться приращение аргумента?

При этом координата х точки М будет стремиться к х0

Предельным положением секущей МоМ, когда М неограниченно приближается к Мо, является касательная

Секущая, поворачиваясь вокруг точки М0, приближается к положению касательной

9 Задача о касательной к графику функции

Задача о касательной к графику функции

y

?f(x) = f(x) - f(x0)

С

?Х=х-х0

x

10 Задача о мгновенной величине тока

Задача о мгновенной величине тока

Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Пусть ?t – некоторый промежуток времени, ?q = q(t+?t) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + ?t. Тогда отношение называют средней силой тока. Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества ?q ко времени ?t, при условии, что ?t?0.

11 Приращение аргумента

Приращение аргумента

Выводы.

Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.: Присвоить ей новый термин. Ввести для неё обозначение. Исследовать свойства новой модели. Определить возможности применения нового понятия - производная

12 Задача о скорости химической реакции

Задача о скорости химической реакции

Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t0;t1] (масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле . Скорость растворения в данный момент времени

13 Предел отношения приращения функции

Предел отношения приращения функции

Определение производной.

Производной функции f в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем стремящимся к нулю:

14 Мгновенная скорость

Мгновенная скорость

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее: а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени; б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х0; в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени; Г) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

15 А л г о р и т м

А л г о р и т м

1) ?x = x – x0 2) ?f = f(x+x0) – f(x0) 3) 4)

16 Аппарат производной

Аппарат производной

А это значит:

Аппарат производной можно использовать при решении геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера. И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

17 Основные формулы

Основные формулы

Средняя скорость = Мгновенная скорость или Скорость изменения функции Значение производной в точке =

«Задачи, приводящие к понятию производной»
http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Zadachi-privodjaschie-k-ponjatiju-proizvodnoj/Zadachi-privodjaschie-k-ponjatiju-proizvodnoj.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

34 темы
Слайды
Презентация: Задачи, приводящие к понятию производной.pptx | Тема: Производная | Урок: Алгебра | Вид: Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Производная > Задачи, приводящие к понятию производной.pptx