Затухающие колебания

Лекция 26

Тема: Затухающие колебания

26.1. Свободные затухающие механические колебания; 26.2. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания; 26.26. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре; 26.27. Автоколебания;

Сегодня: суббота, 29 октября 2011 г.

Рис

26.1.

Выясним физический смысл

и ? Обозначим через ? -время, в течение которого амплитуда А уменьшается в e раз. A0 /A? = e?? = e1, откуда ?? = 1, ? = 1/? Следовательно, коэффициент затухания ? - есть физическая величина, обратная времени, в течении которого амплитуда уменьшается в е раз. ? - время релаксации. Пусть Nе число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз, ? - время этих колебаний, тогда ? = ??, ?= ? /? и ? = ?? = ? / ? N = 1/N, ? = 1/N Следовательно, логарифмический декремент затухания ? есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечению которых амплитуда А уменьшается в e раз. Если ? = 0,01, то N = 100.

Где ? = arctg(

/?). График этой функции изображен на рис. 26.2.

Рис. 26.2.

перестает быть периодическим

При ? > ?0 корни характеристичес- кого уравнения становятся вещественными и решение дифферен- циального уравнения (26.1) оказывается равным сумме двух экспонент: х = С1е-?1t + С2е-?2t , где ?1= - ? +i?, а ?2= - ? - i?, а С1 и С2 - вещественные константы, значения которых зависят от нача- льных условий (от х0 и ?0). Следовательно движение носит апериодический (непериодический) характер – выведенная из поло- жения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. На рис. 26.26 показано три возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении. Каким из этих способов приходит.

Рис. 26.26.

Это условие будет выполнено в том случае, если выведенной из положения

равновесия системе сообщить достаточно сильный толчок к положению равновесия. Если, отведя систему из положения равновесия, отпустить ее без толчка (т.е. с ?0 = 0) или сообщить ей толчок недостаточной силы (такой, что ?0 окажется меньше определяемой условием (26.6)), движение будет Происходить в соответствии с кривой А на рис. 26.26.

Рис

26.27.