Векторы Скачать
презентацию
<<  Векторы на плоскости Координаты вектора геометрия  >>
Метод координат на плоскости
Метод координат на плоскости
Координатная ось
Координатная ось
Прямоугольная система координат на плоскости
Прямоугольная система координат на плоскости
Перпендикуляры
Перпендикуляры
Рассмотрим пример
Рассмотрим пример
Даны точки
Даны точки
Расстояние между точками
Расстояние между точками
Формула
Формула
Окружность
Окружность
Найти расстояние
Найти расстояние
Координаты середины отрезка
Координаты середины отрезка
Найдем координаты
Найдем координаты
Основные формулы
Основные формулы
Вершины параллелограмма
Вершины параллелограмма
Найдите координаты вершины
Найдите координаты вершины
Значение синуса
Значение синуса
Значения
Значения
Вычислить
Вычислить
Множество точек
Множество точек
Множество точек плоскости
Множество точек плоскости
Некоторое множество точек
Некоторое множество точек
Решение данной задачи
Решение данной задачи
Разложите векторы
Разложите векторы
Решить графически систему уравнений
Решить графически систему уравнений
Заданы точки
Заданы точки
Проведена окружность
Проведена окружность
Координаты точек пересечения прямой и окружности
Координаты точек пересечения прямой и окружности
На плоскости даны точки
На плоскости даны точки
Решение
Решение
Метод координат на плоскости
Метод координат на плоскости
Слайды из презентации «Метод координат на плоскости» к уроку геометрии на тему «Векторы»

Автор: XTreme. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Метод координат на плоскости.ppt» бесплатно в zip-архиве размером 183 КБ.

Скачать презентацию

Метод координат на плоскости

содержание презентации «Метод координат на плоскости.ppt»
СлайдТекст
1 Метод координат на плоскости

Метод координат на плоскости

1. Координатная ось 2.Прямоугольная система координат на плоскости 3.Расстояния между точками 4.Координаты середины отрезка 5.Определение тригонометрических функций для любого угла 6.Применение координатной плоскости при решении алгебраических задач 7.Применение координатной плоскости при решении геометрических задач

2 Координатная ось

Координатная ось

1. Координатная ось.

Координатной осью называется прямая, на которой отмечена точка О (начало отсчета или начало координат), выбран масштаб, т.е. указан отрезок единичной длины для измерения расстояний (единичный или масштабный отрезок), и задано положительное направление. Так на рисунке 1 единичный отрезок на координатной оси Ох обозначен OE, направление от точки О к точке Е считается положительным (показано стрелкой). Начало координат О делит координатную ось на два луча: положительную полуось (которой принадлежит точка Е) и отрицательную полуось. Координатой точки Р, лежащей на оси Ох, называется число х = ±ОР (где ОР означает длину отрезка ОР), взятое со знаком плюс, если точка Р лежит на положительной полуоси, и со знаком минус, если эта точка лежит на отрицательной полуоси. Координату точку обычно указывают в скобках рядом с обозначением точки: Р (х). Между точками на числовой оси и их координатами имеется взаимно однозначное соответствие. Расстояние между двумя точками Р1 (х1) и Р2(х2) на оси Ох выражается формулой т.е. оно равно модулю разности соответствующих координат.

3 Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости

2. Прямоугольная система координат на плоскости.

Прямоугольная (или декартова) система координат на плоскости задается парой взаимно перпендикулярных координатных осей, имеющих общее начало в точке О и одинаковый масштаб (рис.2). Оси координат на плоскости обычно обозначают Ох и Оу (оси абсцисс и ординат соответственно). Координатную плоскость обозначают хОу. Координатные оси делят плоскость хОу на четыре квадранта (или четверти): I, II, III, IV.

4 Перпендикуляры

Перпендикуляры

Пусть точка Р лежит на плоскости хОу (рис.2). Опустим из этой точки перпендикуляры на координатные оси; основания перпендикуляров обозначим Рх и Ру. Абсциссой точки Р называется координата х точки Рх на оси Ох, ординатой – координата у точки Ру на оси Оу. Координаты точки обычно указывают в скобках рядом с обозначением точки: Р (х; у). Между точками на плоскости и их координатами имеется взаимно однозначное соответствие.

5 Рассмотрим пример

Рассмотрим пример

Известны координаты пятнадцати точек: 1(4,1); 2(4,2); 3(1,2); 4(4,5); 5(2,5); 6(4,7); 7(3,7); 8(5,9); 9(7,7); 10(6,7); 11(8,5); 12(6,5); 13(9,2); 14(6,2); 15(6,1). Если отметить эти точки на координатной плоскости, а затем соединить их отрезками в последовательности 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-1, то получим рисунок:

6 Даны точки

Даны точки

A(0; - 2), B(- 2;1), C(0;0) и D(2; - 9). Укажите те из них, которые лежат на прямой 2x - 3y + 7 = 0. Решение Уравнению прямой удовлетворяют координаты только точки B, т.к. 2(-2)- 3(1)+7=0, -4-3+7=0, 0=0.

Задача 1

7 Расстояние между точками

Расстояние между точками

3. Расстояние между точками.

Пусть на плоскости хОу даны две точки: A1с координатами(x1;y1;) , и A2 с координатами(x2;y2) , . Выразим расстояние между точками и А через координаты этих точек. Рис.3 Рассмотрим сначала случай, когда х ? х1 и у ? у1. Проведем через точки А и А2прямые, параллельные осям координат , и обозначим точку их пересечения буквой А (рис.3). Расстояние между точками А и А 1 равно ?у2-у 1 ?, а расстояние между точками А и А 2 равно ?х1-х 2 ?. Применяя к прямоугольному треугольнику АА1А2 теорему Пифагора, получим: , откуда 1) , где d – расстояние между точками А и А.

8 Формула

Формула

Хотя формула (1) для расстояния между точками выведена нами в предположении х ? х1, у ? у 1, она остается верной и в других случаях. Действительно, если х = х 1, у ? у 1, то d равно ?у – у 1 ?. Тот же результат дает формула (1). Аналогично рассматривается случай, когда х ? х 1, у = у 1. При х = х 1, у = у 1 точки А и А 1 совпадают и формула (1) дает d = 0.

9 Окружность

Окружность

Задача 2.

Даны точки A(0;0), B(- 2;1), C(3;3), D(2; - 1) и окружность (x - 1)2 + (y + 3)2 = 25. Выясните, где расположены эти точки: на окружности, внутри или вне окружности. Решение Подставив координаты данных точек в левую часть уравнения данной окружности, найдём квадраты расстояний от данных точек до центра Q(1; - 3) окружности: QA2 = (0 - 1) 2 + (0 + 3) 2 = 10 < 25, QB2 = (- 2 - 1) 2 + (1 + 3) 2 = 25, QC2 = (3 - 1) 2 + (3 + 3) 2 = 40 > 25, QD2 = (2 - 1) 2 + (- 1 + 3) 2 = 5 < 25. Следовательно, точки A и D расположены внутри окружности, точка B — на окружности, а точка C — вне окружности.

10 Найти расстояние

Найти расстояние

между точками А (-1; -2) и В (-4; 2). Решение. По формуле (1) имеем:

Задача 3

11 Координаты середины отрезка

Координаты середины отрезка

4. Координаты середины отрезка.

Пусть А (х1;у1) и В (х2;у2) – две произвольные точки и С (х; у) – середина отрезка АВ. Найдем координаты х, у точки С. Рассмотрим сначала случай, когда отрезок АВ не параллелен оси Оу, т.е. х1 ? х2. Проведем через точки А, В, С прямые, параллельные оси Оу (рис.4). Они пересекут ось Ох в точках А1 (х1; 0), В1 (х2; 0), С1 (х; 0). По теореме Фалеса (см. Приложение) точка С будет серединой отрезка А1В1.

x=

y=

12 Найдем координаты

Найдем координаты

х, у точки С. Рассмотрим сначала случай, когда отрезок АВ не параллелен оси Оу, т.е. х ? х. Проведем через точки А, В, С прямые, параллельные оси Оу (рис.4). Они пересекут ось Ох в точках А1 (х1; 0), В1 (х2; 0), С1 (х; 0). По теореме Фалеса (см. Приложение 7) точка С1 будет серединой отрезка А1В1. Так как точка С1 – середина отрезка А1В1, то А1С1 = С1В1. при выбранном расположении точек имеем: А1С1 = х – х1, С1В1 = х – х1 И, значит, х – х1= х – х2, откуда 2) Аналогично получим: 3).

13 Основные формулы

Основные формулы

14 Вершины параллелограмма

Вершины параллелограмма

Даны две вершины параллелограмма АВСD: А (0; 1) , С (3; 2). Найти координаты точки пересечения диагоналей. Решение. Точка пересечения диагоналей является серединой отрезка АС и имеет координаты:

Задача 4

15 Найдите координаты вершины

Найдите координаты вершины

Задача 5.

Даны точки A(- 6; - 1), B(1;2) и C(- 3; - 2). Найдите координаты вершины M параллелограмма ABMC Решение.. Первый способ Координаты середины K(x0;y0) диагонали BC параллелограмма ABMC есть средние арифметические соответствующих координат концов отрезка BC, т.е. x0 = = - 1, y0 = = 0. Поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то K(x0;y0) — середина отрезка с концами в точках A(- 6; - 1) и M(x1;y1). Поэтому x0 = = - 1, y0 = = 0. Отсюда находим, что x1 = 4, y1 = 1. Второй способ.. Пусть x1, y1 — координаты точки M. Если ABMC — параллелограмм, то , а т.к. то x1 - 1 = 3, y1 - 2 = - 1. Отсюда находим, что x1 = 4, y1 = 1. Ответ: M(4;1).

16 Значение синуса

Значение синуса

До сих пор значение синуса, косинуса и тангенса были определены только для острых углов. Теперь мы определим их для любого угла от 0° до 180°. Возьмем окружность на плоскости хОу с центром в начале координат и радиусом R (рис.6). Пусть ? – острый угол, который образует радиус ОА с положительной полуосью Ох. Пусть х и у – координаты точки А. Значение sin ? и tg ? для острого угла ? выражаются через координаты точки А, а именно: sin? = , cos? = , tg? =.

5. Определение тригонометрических функций для любого угла от 0° до 180°

17 Значения

Значения

Определим теперь значения sin ?, cos ? и tg ? для любого угла ?. (Для tg ? угол ? = 90° исключается). Имеем: sin 90° = = 1, cos90° = = 0, sin180° = 0, cos180° =- = -1 Считая, что совпадающие лучи образуют угол 0°, будем иметь: sin0° = 0, cos0° = 1, tg0° = 0 Теорема: Для любого угла ?, 0° < ? < 180°, sin (180° - ?) = sin ?, cos (180° - ?) = -cos ? Для угла ? ? 90° tg (180° - ?) = -tg ?

18 Вычислить

Вычислить

1) sin 135°; 2) cos 135°; 3) 150° Решение. Согласно только что доказанной теореме sin 135° = sin (180°- 45°) = sin 45°; cos 135° = cos (180° - ?) = -cos 45°; tg 150° = tg (180° - ?) = -tg 30° Но sin 45° = ?2/2, cos 45° = ?2/2 , tg 30° = ?3/3 Следовательно, sin 135° = ?2/2, cos 135° = - ?2/2, tg 135° = - ?3/3.

Задача 6

19 Множество точек

Множество точек

Задача 7 Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию: х?5 Решение: Решению неравенства удовлетворяет область, закрашенная розовым цветом.

6. Применение координатной плоскости при решении алгебраических задач

20 Множество точек плоскости

Множество точек плоскости

Покажите на координатной плоскости множество точек, которое задается неравенством Решение: Множество точек плоскости, удовлетворяющих данному неравенству, выделено на рисунке 8 серым цветом.

Задача 8

21 Некоторое множество точек

Некоторое множество точек

На рисунке изображено некоторое множество точек. Из двух неравенств выберете то, которому оно соответствует и . Решение Множество точек изображенных на рисунке СЕРЫМ ЦВЕТОМ , соответсвует неравенству.

Задача 9

22 Решение данной задачи

Решение данной задачи

Задача 10.

Решение данной задачи можно увидеть на рис.11, это область образованная пересечением двух областей желтого и синего цвета. Получившуюся область можно задать неравенством -9?у?10

Постройте какую-нибудь полосу, охватывающую все данные точки на рисунке 10. Каким неравенством ее можно задать?

Решение:

23 Разложите векторы

Разложите векторы

Задача 12 .Разложите векторы а, b,c.d по единичным векторам i и j и найдите их координаты. Решение: a=3i-3j b=-5j c=6i=3j d=6i.

7. Применение координатной плоскости при решении геометрических задач

,

,

,

24 Решить графически систему уравнений

Решить графически систему уравнений

Задача 11.

Решить графически систему уравнений Решение:Графиком уравнения х2+у2=25 является окружность с центром в начале координат и радиусом, Равным5. Графиком уравнения ху=12 является Гипербола у=12:х. Построив графики в одной системе координат (рис.11), найдём координаты точек А, В, С, Д пересечения окружности и гиперболы: А(4; 3), В(3; 4), С(-4; -3), Д(-3; -4). Значит, решения заданной системы таковы: (4;3), (3;4), (-4;-3), (-3; -4).

25 Заданы точки

Заданы точки

На координатной плоскости заданы точки A(1;3), B(1;9), C(6;8) и E(5;1). Найдите площадь пятиугольника ABCDE, где D — точка пересечения прямых AC и BE. Решение Если y1y2 и x1x2, то уравнение прямой, проходящей через точки (x1;y1) и (x2;y2), имеет вид = Ответ:21.

Задача 13

26 Проведена окружность

Проведена окружность

Задача 14.

На координатной плоскости (x;y) проведена окружность радиуса 4 с центром в начале координат. Прямая, заданная уравнением y = 4 - (2 - )x, пересекает её в точках A и B. Найдите сумму длин отрезка AB и меньшей дуги AB.

27 Координаты точек пересечения прямой и окружности

Координаты точек пересечения прямой и окружности

Решив систему уравнений Найдем координаты точек пересечения прямой и окружности: А(0;4), В(2,2;). Тогда, АВ = Пусть О- начало координат. По теореме косинусов из треугольника АОB находим, что cos?AOB= . Поэтому градусная мера меньшей дуги АВ равна 300.Длина этой дуги равна одной двенадцатой длины окружности радиуса 4, т.е. . . Следовательно, искомая сумма равна +4 Ответ: +4.

Решение

.

28 На плоскости даны точки

На плоскости даны точки

A и B . Доказать, что множество всех точек M , удалённых от A в 3 раза больше, чем от B , есть окружность.

Задача 15

29 Решение

Решение

Решим задачу координатным методом. Введём систему координат таким образом, чтобы A находилась в начале координат, а B имела координаты (1;0) . Пусть точка M(x,y) – искомая. Тогда 1/3=MB/MA= . Отсюда получаем x2+y2=9((x-1) 2+y2 , 8x2-18x+8(x- ) 2+y2( )2- . Получили уравнение окружности. Следовательно, все точки M данного множества лежат на окружности. Далее, так как все наши преобразования были равносильными, то любая точка, лежащая на окружности, заданной получившимся уравнением, будет принадлежать данному множеству. y2+9=0 , x2- x+y2+ =0; x2-2· x+( )2+y2+ -( )2=0;

30
«Метод координат на плоскости»
http://900igr.net/prezentatsii/geometrija/Metod-koordinat-na-ploskosti/Metod-koordinat-na-ploskosti.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

39 тем
Слайды
Презентация: Метод координат на плоскости.ppt | Тема: Векторы | Урок: Геометрия | Вид: Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Векторы > Метод координат на плоскости.ppt