Углы в пространстве Скачать
презентацию
<<  Трёхгранные и многогранные углы Угол между прямой и плоскостью  >>
Многогранные углы
Многогранные углы
Многогранные углы
Многогранные углы
Трехгранные углы
Трехгранные углы
Трехгранные углы
Трехгранные углы
Выпуклые многогранные углы
Выпуклые многогранные углы
Вертикальные многогранные углы
Вертикальные многогранные углы
Измерение многогранных углов
Измерение многогранных углов
Измерение трехгранных углов*
Измерение трехгранных углов*
Измерение многогранных углов*
Измерение многогранных углов*
Упражнение 1
Упражнение 1
Упражнение 2
Упражнение 2
Упражнение 3
Упражнение 3
Упражнение 4
Упражнение 4
Упражнение 5
Упражнение 5
Упражнение 6
Упражнение 6
Упражнение 7
Упражнение 7
Упражнение 8
Упражнение 8
Упражнение 9
Упражнение 9
Упражнение 10
Упражнение 10
Упражнение 11
Упражнение 11
Упражнение 12
Упражнение 12
Упражнение 13
Упражнение 13
Упражнение 14
Упражнение 14
Упражнение 15
Упражнение 15
Упражнение 16
Упражнение 16
Слайды из презентации «Многогранный угол» к уроку геометрии на тему «Углы в пространстве»

Автор: *. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Многогранный угол.ppt» бесплатно в zip-архиве размером 329 КБ.

Скачать презентацию

Многогранный угол

содержание презентации «Многогранный угол.ppt»
СлайдТекст
1 Многогранные углы

Многогранные углы

Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью.

Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах.

2 Многогранные углы

Многогранные углы

В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

3 Трехгранные углы

Трехгранные углы

Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства ?ASB ? ?ASC < ?ASC + ?BSC; ?BSC ? ?ASC < ?ASC + ?ASB. Таким образом, остается доказать неравенство ?ASС < ?ASB + ?BSC.

Отложим на грани ASC угол ASD, равный ASB, и точку B выберем так, чтобы SB = SD. Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD.

Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC. Вычитая из обеих его частей AD = AB, получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно, ?DSC < ?BSC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD, равный углу ASB, получим требуемое неравенство ?ASС < ?ASB + ?BSC.

4 Трехгранные углы

Трехгранные углы

Свойство. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Доказательство. Пусть SABC – данный трехгранный угол. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABS, ACS и углом BAC. В силу доказанного свойства, имеет место неравенство ? BAС < ?BAS + ? CAS.

Аналогично, для трехгранных углов с вершинами B и С имеют место неравенства: ? ABС < ? ABS + ? CBS, ? ACB < ? ACS + ?BCS. Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника ABC равна 180°, получаем 180°< ? BAS + ? CAS + ? ABS + ? CBS + ? BCS + ? ACS = 180° - ? ASB + 180° - ? BSC + 180° - ? ASC. Следовательно, ? ASB + ? BSC + ? ASC < 360° .

5 Выпуклые многогранные углы

Выпуклые многогранные углы

Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов.

Свойство. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

6 Вертикальные многогранные углы

Вертикальные многогранные углы

На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов

Теорема. Вертикальные углы равны.

7 Измерение многогранных углов

Измерение многогранных углов

Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360о:8 = 45о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен , получаем, что трехгранный угол призмы равен .

8 Измерение трехгранных углов*

Измерение трехгранных углов*

Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его двугранные углы. Опишем около вершины S трехгранного угла единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C. Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A'B'C' являются пересечением трех двуугольников. Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или ? SA + ? SB + ? SC = 180о + 2 ? SABC.

9 Измерение многогранных углов*

Измерение многогранных углов*

Пусть SA1…An – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A1A3, …, A1An-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь: ? SA1 + … + ? SAn = 180о(n – 2) + 2 ? SA1…An.

Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2?. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь: ?SA1+ …+?SAn = ? (n – 2) + 2?SA1…An.

10 Упражнение 1

Упражнение 1

Может ли быть трехгранный угол с плоскими углами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°?

Ответ: а) Нет;

Б) нет;

В) да.

11 Упражнение 2

Упражнение 2

Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные углы.

Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр;

Б) октаэдр;

В) икосаэдр.

12 Упражнение 3

Упражнение 3

Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол?

Ответ: 10о < ? < 150о.

13 Упражнение 4

Упражнение 4

Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45° и 60°. Найдите величину угла между плоскостями плоских углов в 45°.

Ответ: 90о.

14 Упражнение 5

Упражнение 5

В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол.

Ответ: 60о.

15 Упражнение 6

Упражнение 6

Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA, OB, OC. Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC.

Ответ: 90о.

16 Упражнение 7

Упражнение 7

Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см, и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра.

17 Упражнение 8

Упражнение 8

Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его граней.

Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, делящих двугранные углы пополам.

18 Упражнение 9

Упражнение 9

Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его ребер.

Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, проходящих через биссектрисы плоских углов и перпендикулярных плоскостям этих углов.

19 Упражнение 10

Упражнение 10

Найдите приближенные значения трехгранных углов тетраэдра.

20 Упражнение 11

Упражнение 11

Найдите приближенные значения четырехгранных углов октаэдра.

21 Упражнение 12

Упражнение 12

Найдите приближенные значения пятигранных углов икосаэдра.

22 Упражнение 13

Упражнение 13

Найдите приближенные значения трехгранных углов додекаэдра.

23 Упражнение 14

Упражнение 14

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдите четырехгранный угол при вершине этой пирамиды.

24 Упражнение 15

Упражнение 15

В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, углы при вершине 90о. Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды.

25 Упражнение 16

Упражнение 16

В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, а высота Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды.

«Многогранный угол»
http://900igr.net/prezentatsii/geometrija/Mnogogrannyj-ugol/Mnogogrannyj-ugol.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

39 тем
Слайды
Презентация: Многогранный угол.ppt | Тема: Углы в пространстве | Урок: Геометрия | Вид: Слайды