Окружность вписанная в многоугольник

Многоугольники, описанные около окружности

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник.

Теорема 1

В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Теорема 2

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Ее центром является точка пересечения биссектрис углов многоугольника.

Теорема 3

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны, т.е. AB + CD = AD + BC.

Вопрос 1

Какой многоугольник называется описанным около окружности?

Ответ: Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Вопрос 2

Какая окружность называется вписанной в многоугольник?

Ответ: Вписанной в многоугольник называется окружность, касающаяся всех сторон этого многоугольника.

Вопрос 3

Во всякий ли треугольник можно вписать окружность?

Ответ: Да.

Вопрос 4

Какая точка является центром вписанной в треугольник окружности?

Ответ: Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Вопрос 5

В любой ли правильный многоугольник можно ли вписать окружность?

Ответ: Да.

Вопрос 6

Можно ли вписать окружность в: а) остроугольный треугольник; б) прямоугольный треугольник; в) тупоугольный треугольник?

Ответ: а) Да;

Б) да;

В) да.

Вопрос 7

Может ли центр вписанной в треугольник окружности находиться вне этого треугольника?

Ответ: Нет.

Вопрос 8

Какой вид имеет треугольник, если: а) центры вписанной и описанной около треугольника окружностей совпадают; б) центр вписанной в него окружности принадлежит одной из его высот?

Ответ: а) Равносторонний;

Б) равнобедренный.

Упражнение 1

Укажите центр окружности, вписанной в квадрат ABCD.

Упражнение 2

Укажите центр окружности, вписанной в квадрат ABCD.

Упражнение 3

Укажите центр окружности, вписанной в ромб ABCD.

Упражнение 4

Укажите центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Упражнение 5

Укажите центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Упражнение 6

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 4.

Ответ: 2.

Упражнение 7

Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 3.

Ответ: 6.

Упражнение 8

Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 5.

Ответ: 10.

Упражнение 9

Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит сторону AB в точке касания D на два отрезка AD = 5 см и DB = 6 см. Найдите периметр треугольника ABC, если известно, что BC = 10 см.

Ответ: 30 см.

Упражнение 10

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, которые равны 4 см и 3 см, считая от вершины. Найдите периметр треугольника.

Ответ: 20 см.

Упражнение 11

К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны p1, p2, p3. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ: p1 + p2 + p3.

Упражнение 12

В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками касания вписанной в треугольник окружности в отношении 7:5, считая от вершины, противоположной основанию. Найдите периметр треугольника, если его основание равно 10 см.

Ответ: 34 см.

Упражнение 13

Всегда ли можно ли вписать окружность в: а) прямоугольник; б) параллелограмм; в) ромб; г) квадрат; д) дельтоид ?

Ответ: а) Нет;

Б) нет;

В) да;

Г) да;

Д) да.

Упражнение 14

Два равнобедренных треугольника имеют общее основание и расположены по разные стороны от него. Можно ли в образованный ими выпуклый четырехугольник вписать окружность?

Ответ: Да.

Упражнение 15

Какой вид имеет четырехугольник, если центр вписанной в него окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей?

Ответ: Ромб.

Упражнение 16

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 18 см. Найдите ее среднюю линию.

Ответ: 4,5 см.

Упражнение 17

В трапецию, периметр которой равен 56 см, вписана окружность. Три последовательные стороны трапеции относятся как 2:7:12. Найдите стороны трапеции.

Ответ: 4 см, 14 см, 24 см, 14 см.

Упражнение 18

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 см и 4 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ: 3 см.

Упражнение 19

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Ответ: 2.

Упражнение 20

Докажите, что если в трапецию ABCD (AB||CD) вписана окружность с центром O, то углы AOD и BOC равны 90о.

Доказательство. Лучи AO и DO являются биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых AB и CD. Следовательно, угол AOD равен 90о. Аналогично, угол BOC равен 90о.

Упражнение 21

Докажите, что если в равнобедренную трапецию ABCD (AB||CD) вписана окружность, ее боковые стороны AD и BC равны средней линии EF.

Доказательство. Сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований. Следовательно, боковая сторона равна полусумме оснований, т.е. равна средней линии.

Упражнение 22

Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону и периметр этого четырехугольника.

Ответ: 7 см, 30 см.

Упражнение 23

Противоположные стороны четырехугольника, описанного около окружности, равны 7 см и 10 см. Можно ли по этим данным найти периметр четырехугольника?

Ответ: Да, 34 см.

Упражнение 24

Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон.

Ответ: 7.

Упражнение 25

К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ: 24.

Упражнение 26

В шестиугольнике ABCDEF, описанном около окружности AB = 3, CD = 4, EF = 2. Найдите периметр этого шестиугольника.

Ответ: 18.