Площадь Скачать
презентацию
<<  Равновеликие фигуры Найти площадь криволинейной трапеции  >>
Презентация по математике
Презентация по математике
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Теорема:
Теорема:
Доказательство
Доказательство
Доказательство
Доказательство
Пусть на отрезке [а; b] оси Ох задана непрерывная функция f, не
Пусть на отрезке [а; b] оси Ох задана непрерывная функция f, не
.
.
Пошаговый пример
Пошаговый пример
Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница
ТЕОРЕМА
ТЕОРЕМА
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции
Слайды из презентации «Площадь криволинейной трапеции» к уроку геометрии на тему «Площадь»

Автор: Саня Исаков. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Площадь криволинейной трапеции.pptx» бесплатно в zip-архиве размером 1172 КБ.

Скачать презентацию

Площадь криволинейной трапеции

содержание презентации «Площадь криволинейной трапеции.pptx»
СлайдТекст
1 Презентация по математике

Презентация по математике

На тему : Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница

2 Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции

Определение: фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции f , осью Ох и прямыми х = а, х = b .

Изображения криволинейных трапеций:

3 Теорема:

Теорема:

Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция , а F – ее первообразная на этом отрезке , то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b] , т.е.

Теорема о вычислении площади криволинейной трапеции

4 Доказательство

Доказательство

Доказательство : Рассмотрим функцию S( x) , определенную на отрезке [a; b] . Если a < x ? b , то S( x ) – площадь той части криволинейной трапеции , которая расположена левее вертикальной прямой , проходящей через точку М ( x: 0 ) ( рис 2.а) Если x = a , то S ( a ) = o . Отметим , что S ( b) = S ( S – площадь криволинейной трапеции ) . Нам осталось доказать , что S' ( x ) = f ( x ) (2) По определению производной докажем, что ?S(x) ? f ( x ) (3) ? x при ? x ?0

5 Доказательство

Доказательство

Выясним геометрический смысл числителя ?S ( x) . Для простоты рассмотрим случай ? x > 0 . Поскольку ?S ( x) = S ( x + ? x )- S(x), то ?S ( x) – площадь фигуры , заштрихованной на рисунке 2, б. Дальнейшее доказательство рассмотрите самостоятельно. Итак , мы получили, что S есть первообразная для f . Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех x, принадлежащих промежутку [ a ; b ] . имеем : S ( x ) = F (x) + C , где C – некоторая постоянная , а F – одна из первообразных для функции F . Для нахождения C подставим х = а : F ( a ) + C = S ( a ) = 0, откуда C = - F (a ) . Следовательно , S ( x ) = F( x ) – F ( a ). (4) Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S ( b ) , подставляя x = b в формулу ( 4 ) , получим: S = S ( b ) = F ( b ) – F ( a ).

6 Пусть на отрезке [а; b] оси Ох задана непрерывная функция f, не

Пусть на отрезке [а; b] оси Ох задана непрерывная функция f, не

меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1), называют криволинейной трапецией. Различные примеры криволинейных трапеций приведены на рисунках 1, а — д.

Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема: Теорема. Если f — непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; b] функция, a F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции (рис. 2) равна приращению первообразной на отрезке [а; b] т. е. S=F(b)-F(a). (1) Доказательство. Рассмотрим функцию S (х), определенную на отрезке [а; b]. Если а <x?b, то S (х) — площадь той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку М (х; 0) (рис. 2, а). Если х=а, то S (а) = 0. Отметим, что S(b)=S (S — площадь криволинейной трапеции).

7 .

.

Докажем, что S'(x)=f(x). (2) По определению производной надо доказать, что при (3) Выясним геометрический смысл числителя ? S (х). Для простоты рассмотрим случай ?X>0. Поскольку ? S(х)= S (х + ? х) — S (х), то ? S (х) — площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 2, б. Возьмем теперь прямоугольник той же площади ? S(x),опирающийся на отрезок [х; х+? х] (рис. 2, в). В силу непрерывности функции f верхняя сторона прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой с ? [х; х+? х] (в противном случае этот прямоугольник либо содержится в части криволинейной трапеции над отрезком [х;x+?x], либо содержит ее; соответственно его площадь будет меньше или больше площади ? S (X)). Высота прямоугольника равна f (с). По формуле площади прямоугольника имеем ? S (x)=f (с) ? х, откуда (Эта формула верна и при ? х<0.) Поскольку точка с лежит между х и х + ?x; то с стремится к х при . Так как функция f непрерывна, при . Итак, при .Формула (2) доказана.Мы получили, что S есть первообразная для f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех х? [а;b] имеем: S(x) = F(x)+C, где С — некоторая постоянная, a F — одна из первообразных для функции f. Для нахождения С подставим х = а: F(a)+C=S(a)=0, откуда C=—F(a). Следовательно, S(x) = F(x)-F(a). (4) Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляя х = b в формулу (4), получим: S=S(b)=F(b)-F(a).

8 Пошаговый пример

Пошаговый пример

Пример: Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4 - х?и у=0 Решение: 1. Построим криволинейную трапецию: у = 4 - х?- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз. у = 0 - ось абсцисс. 2. Найдём [а; b]: 4-х?= 0; х? = 4 х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 2 3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле: S = F(b) – F(а) S=F(2)-F(-2)=10,(6).

9 Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница

Определённый интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

10 ТЕОРЕМА

ТЕОРЕМА

Пусть функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е. Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона–Лейбница (2) осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x); на втором применяется собственно формула Ньютона-Лейбница – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим, введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона – Лейбница можно использовать любую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x), например имеющую наиболее простой вид при С=0.

11
12
13
14
15
16
17
18
19
«Площадь криволинейной трапеции»
http://900igr.net/prezentatsii/geometrija/Ploschad-krivolinejnoj-trapetsii/Ploschad-krivolinejnoj-trapetsii.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

39 тем
Слайды
Презентация: Площадь криволинейной трапеции.pptx | Тема: Площадь | Урок: Геометрия | Вид: Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Площадь > Площадь криволинейной трапеции.pptx