Понятие вектора в пространстве

Векторы в пространстве

Учитель математики высшей квалификационной категории Ефимова Наталья Владимировна ГБОУ СОШ № 899 г. Москва

Цели урока

Знать: определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия; равенство векторов. Уметь: решать задачи по данной теме.

Физические величины

v

Скорость Ускорение а Перемещение s Сила F

Электрическое поле

Е.

Электрическое поле

Магнитное поле

В.

Магнитное поле

Направление тока

Понятие вектора появилось в 19 веке

в работах математиков Г. Грассмана У. Гамильтона.

Современная символика для обозначения вектора

r была введена в 1853 году французским математиком О. Коши.

Записать все термины по теме «Векторы на плоскости»

Задание Записать все термины по теме «Векторы на плоскости».

Вектор Нулевой вектор Длина вектора Коллинеарные векторы Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы Равенство векторов

Определение вектора в пространстве

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой- концом, называется вектором.

Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор

Нулевым.

Т

Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется

Длина ненулевого вектора

Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длина вектора АВ (вектора а) обозначается так: АВ , а Длина нулевого вектора считается равной нулю:

0

= 0

Определение коллинеарности векторов

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы

Сонаправленные векторы

Противоположно направленные векторы

Какие векторы на рисунке сонаправленные

Какие векторы на рисунке противоположно направленные? Найти длины векторов АВ; ВС; СС1.

Сонаправленные векторы:

5 см

3 см

Противоположно-направленные:

9 см

9 см

3 см

5 см

D1

C1

В1

A1

D

C

A

B

Равенство векторов

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

С

В

Е

А

Могут ли быть равными векторы на рисунке

Ответ обоснуйте.

Рисунок № 1 Рисунок № 2

О

А

В

Н

А

М

С

Доказать, что от любой точки пространства можно отложить вектор

равный данному, и притом только один.

Дано: а, М. Доказать: в = а, М в, единственный.

Доказательство:

К

Проведем через вектор а и точку М плоскость.

М

Решение задач

№ 322

М

А1

К

Д1

В

С

А

Д

Укажите на этом рисунке все пары:

В1

С1

А) сонаправленных векторов

Б) противоположно направленных векторов

В) равных векторов

№ 321 (б)

Решение задач.

№ 321 (б)

Решение:

D1

C1

DC1 =

A1

B1

DB =

DB1 =

D

C

A

B

№ 323

Решение задач.

№ 323

D

Р

N

А

С

Q

М

В

Дано: точки М, N, P,Q – середины сторон AB, AD, DC, BC; AB=AD= DC=BC=DD=AC;

А) выписать пары равных векторов;

Б) определить вид четырехугольника MNHQ .

Решение: NP-средняя линия треугольника ADC, NP = 0,5AC, NP\\AC;

Mq-средняя линия тр. Abc, mq = 0,5ac, mq\\ac,

NP=MQ, NP\\MQ.

PQ-средняя линия треугольника DВC; PQ = 0,5DB, PQ\\DB;

Nm-средняя линяя треугольника ADB, MN = 0,5DB, MN\\DB,

PQ=MN, PQ\\MN.

MNPQ- квадрат

По условию все ребра тетраэдра равны, то он правильный и скрещивающиеся ребра в нем перпендикулярны. DB перпендикулярно АС .

NP=MQ=PQ=MN NP\\MQ MN\\PQ

Решение задач

№ 326 (а, б, в)

М

А1

К

D1

В

С

А

D

В1

С1

Самостоятельная работа

М

М

К

С

А

В

Дан тетраэдр МАВС, угол АСВ прямой. Точки К и Р середины сторон МВ и МС, АС = 9 см и ВА = 15 см. Найти КМ . Решение:

Треугольник АВС, угол АСВ- прямой.

9

15

Кроссворд

В е к т о р

К о л л и н е а р н ы е

К о ш и

Д л и н а

И н д у к ц и и

Р а в н ы м и

1

Г а м и л ь т о н

2

4

5

6

7

Домашнее задание

Стр. 84 – 85 № 320, 321(а), 325.

Перемена

Список литературы

1. «Геометрия 10-11» Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2010. 2. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Э 68 А.. П. Савин.- М. Педагогика, 1985. 3. Поурочные разработки по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь школьному учителю- М.: ВАКО, 2007.