Повторение геометрии

Повторение геометрии при подготовке к итоговой аттестации

Обобщить и систематизировать полученные и приобретенные знания, умения, навыки; активация элементов ранее изученного материала; повторить свойства фигур, рассмотреть различные способы расположения геометрических фигур на плоскости; при решении стандартных задач рассматривать возможность другой конфигурации фигур.

Устная работа

Проверка д/з

Решение задач

Д/з

Тема урока:

Цели урока:

Авторы:

Веприкова Римма Хабибулаевна (учитель математики) Зайцева Вера Васильевна (учитель информатики) МОУ – Гимназия № 2 г. Клин Московской области

Устная работа

Проверка д/з

Решение задач

Д/з

Задача 1

Задача 2

Задача 3

C

B

Дано: ?CBD=35?; BF=2см; AD=3см; AF=FC; ?CAD=?ACB. Найти: ?ADF; FD; BC.

F

A

D

Решение

1

2

2

3

Д/з

Устная работа.

Проверка д/з

Решение задач

Д/з

Задача 1

Задача 2

Задача 3

C

B

Дано: ?CBD=35?; BF=2см; AD=3см; AF=FC; ?CAD=?ACB. Найти: ?ADF; FD; BC.

F

A

D

Решение

1). Так как ?CAD=?ACB – накрест лежащие, то по признаку параллельности прямых BC||AD.

2). Рассмотрим ?AFD=?BFC по стороне и двум прилежащим углам (1.AF=FC; 2. ?CAD=?ACB; 3. ? AFD =? BFC).

Вf=fd; ?fbc=?adf; bc=ad

BC=AD=3 (см); ВF=FD=2 (см); ?ADF=35?.

Ответ: 35?; 3 см; 2 см.

2

1

2

3

Решение задач

Устная работа.

Проверка д/з

Решение задач

Д/з

Задача 1

Задача 2

Задача 3

B

Дано: AB=BC; CF=FD. Доказать, что AB||DF.

C

D

A

Доказательство

F

1

2

Доказательство

Устная работа.

Проверка д/з

Решение задач

Д/з

Задача 1

Задача 2

Задача 3

B

Дано: AB=BC; CF=FD. Доказать, что AB||DF.

C

D

A

Доказательство

1). ?ABC – равнобедренный (по определению), так как AB=BC ? ?BAC=?ACB по свойству равнобедренного треугольника.

F

2). ?CDF – равнобедренный по определению, так как CF=FD ? ?DCF=?CDF (по свойству).

3) ?ACB=?DCF – вертикальные ? ?BAC=?CDF – накрест лежащие, то по признаку параллельности прямых ? AB||FD, что и требовалось доказать.

2

1

Окружность

Устная работа.

Проверка д/з

Решение задач

Д/з

Задача 3

Задача 1

Задача 2

B

C

Дано: (O;R) – окружность т.A,B,C,D ? (O;R) AC ? BD= т.F Записать: пропорциональные отрезки.

F

A

O

D

Решение

1

2

Пропорциональные отрезки

Устная работа.

Проверка д/з

Решение задач

Д/з

Задача 3

Задача 1

Задача 2

B

C

Дано: (O;R) – окружность т.A,B,C,D ? (O;R) AC ? BD= т.F Записать: пропорциональные отрезки.

F

A

O

D

Решение

1). ?ABD=?ACD – вписанные, опирающиеся на одну и туже дугу ?AD.

2). ?BAC=?CDB – вписанные, опирающиеся на одну и туже дугу ?BC.

3). ?AFB=?CFD – вертикальные ? стороны AF и DF; BF и CF; AB и CD – сходственные стороны ? ?ABF ? ?CDF ?

2

1

Проведены две прямые

Проверка д/з.

Устная работа

Решение задач

Д/з

Задача 1

Задача 2

A

Проверка д/з

Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса r в точках M и N. Найти длину отрезка MN, если расстояние от точки A до центра окружности равно a.

Решение

M

N

B

O

1

2

Радиусы окружности

Проверка д/з.

Устная работа

Решение задач

Д/з

Задача 1

Задача 2

Задача 1

Задача 2

A

Проверка д/з

Решение

OM и ON – радиусы окружности; по свойству радиуса, проведенного в точку касания, OM?MA; ON?NA. ?AMO= ?ANO – прямоугольные (по катету и гипотенузе: OM=ON=r; OA – общая) ? ?OAM=?OAN. AM=AN ? ?AMN – равнобедренный (по определению) ?AOM=?AON. По свойству равнобедренного треугольника: AB – биссектриса, медиана и высота MB=BN; AB?MN.

M

N

B

O

S(?AMO)=?MB?AO или S(?AMO)=?MO?AM Из ?AMO: по теореме Пифагора: и Ответ:

Слайд 5

2

1

Диагонали

Проверка д/з.

Устная работа

Решение задач

Д/з

Задача 1

Задача 2

B

C

Проверка д/з

В параллелограмме ABCD (AB||CD) диагонали AC=c; BD=3с/2. Найти площадь параллелограмма, если ?CAB=2?ABD.

O

Решение

A

D

1

2

Точка пересечения диагоналей

Проверка д/з.

Устная работа

Решение задач

Д/з

Задача 1

Задача 2

Задача 2

B

C

Проверка д/з

Решение

O

Точка О – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Для вычисления площади применим формулу S(ABCD)=?AC?BD?sin ?AOB; S(ABCD)=?c2?sin ?AOB Пусть ?DBA=?, тогда ?CAB=2?, ?AOB=? – 3?.

A

D

По теореме синусов из ?AOB: Тогда, используя формулу sin3?, получаем sin ?AOB=sin3 ? =3sin ? –4sin3?= Ответ:

2

1

3?

Стороны треугольника

Решение задач.

Устная работа

Проверка д/з

Д/з

Задача 1

Задача 2

B

Проверка д/з

Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.

a

Решение

Искомую сторону ?ABC обозначим c, то есть AB=c

b

A

C

1

2

3

4

5

6

T

8

Решение

задач.

Устная работа

Проверка д/з

Д/з

Задача 1

Задача 2

B

Проверка д/з

Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.

a

c

Решение

Искомую сторону ?ABC обозначим c, то есть AB=c

b

A

C

?B=?, тогда ?C=2?. Проведем CD – биссектрису ?C.

2

3

4

5

6

T

8

1

Треугольника

Решение задач.

Устная работа

Проверка д/з

Д/з

Задача 1

Задача 2

B

Проверка д/з

Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.

a

c

D

Решение

Искомую сторону ?ABC обозначим c, то есть AB=c

b

A

C

?B=?, тогда ?C=2?. Проведем CD – биссектрису ?C.

3

1

2

4

5

6

T

8

?

2?

?

?

Две стороны треугольника

Решение задач.

Устная работа

Проверка д/з

Д/з

Задача 1

Задача 2

B

Проверка д/з

Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.

a

c

D

Решение

Искомую сторону ?ABC обозначим c, то есть AB=c

b

A

C

?B=?, тогда ?C=2?. Проведем CD – биссектрису ?C.

Рассмотрим ?CBD – равнобедренный, так как ?BCD=?B=? (углы при основании ?ABD) ? BD=CD. Пусть BD = x, тогда AD=c – x, CD=x.

4

1

2

3

5

6

T

8

?

2?

?

?

Углы при основании

Решение задач.

Устная работа

Проверка д/з

Д/з

Задача 1

Задача 2

B

Проверка д/з

Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.

x

a

c

D

x

Решение

Искомую сторону ?ABC обозначим c, то есть AB=c

b

A

C

?B=?, тогда ?C=2?. Проведем CD – биссектрису ?C.

Рассмотрим ?CBD – равнобедренный, так как ?BCD=?B=? (углы при основании ?ABD) ? BD=CD. Пусть BD – x, тогда AD=c – x, CD=x.

5

1

2

3

4

6

T

8

?

2?

?

?

B=?, тогда

Решение задач.

Устная работа

Проверка д/з

Д/з

Задача 1

Задача 2

B

Проверка д/з

Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.

x

a

c

D

x

Решение

Искомую сторону ?ABC обозначим c, то есть AB=c

b

A

C

?B=?, тогда ?C=2?. Проведем CD – биссектрису ?C.

Рассмотрим ?CBD – равнобедренный, так как ?BCD=?B=? (углы при основании ?ABD) ? BD=CD. Пусть BD – x, тогда AD=c – x, CD=x.

По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника

6

1

2

3

4

5

T

8

?

2?

?

?

Теорема о биссектрисе

Решение задач.

Устная работа

Проверка д/з

Д/з

Задача 1

Задача 2

B

Проверка д/з

Теорема о биссектрисе

Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

D

Доказательство

Пусть AD – биссектриса ?ABC. Так как площади треугольников, имеющих общую вершину A, относятся как длины их оснований, то

A

C

С другой стороны, эти площади относятся как длины сторон:

Из (1) и(2) следует, что Теорема доказана .

T

1

2

3

4

5

6

8

Внешний угол

С другой стороны, ?ACD=?, a ?ADC=2? (как внешний угол ?CBD). Тогда три угла ?ACD равны трем углам ?ABC, следовательно, ?ACD ? ?ABC.

Решение задач

Устная работа

Проверка д/з

Д/з

Задача 1

Задача 2

B

Проверка д/з

По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника:

x

a

c

D

x

Из подобия треугольников найдем

b

A

C

Приравнивая правые части (1) и (2) равенства, получим

Ответ:

8

1

2

3

4

5

6

T

?

2?

2?

?

?

Отношение радиусов окружностей

Решение задач.

Устная работа

Проверка д/з

Д/з

Задача 2

Задача 1

B

Проверка д/з

Точка N лежит на стороне AC правильного треугольника ABC. Найти отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABN и ABC, если AN:AC=n

A

N

C

Решение

Обозначим сторону треугольника ABC через а, тогда AN=na. Сторону BN найдем по теореме косинусов:

R1 – радиус окружности, описанной около ?ABN. R2 – радиус окружности, описанной около ?ABC. Применим формулу

1

2

3

Центр окружности

Решение задач.

Устная работа

Проверка д/з

Д/з

Задача 2

Задача 1

Проверка д/з

Около всякого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных из середин сторон этого треугольника.

Радиус R окружности, описанной около треугольника, по его сторонам и полупериметру вычисляется по формуле:

Также радиус R окружности, описанной около треугольника, может быть вычислен по формулам:

где S – площадь треугольника, hc – высота, проведенная из вершины С.

2

1

3

Выражения

Решение задач.

Устная работа

Проверка д/з

Д/з

Задача 2

Задача 1

B

Проверка д/з

Применяя формулу

Получим, что

A

N

C

Если у треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания. А так как ?ABN и ?ABC имеют общую высоту, проведенную из вершины B, то их площади относятся как длины оснований:

Подставляя выражения для площадей, получим:

Ответ:

3

1

2

Трапеция

Д/з.

Решение задач

Устная работа

Проверка д/з

Задача 1

Задача 2

Проверка д/з

B

C

Трапеция ABCD вписана в окружность. Найти среднюю линию трапеции, если ее большее основание AD равно 15, синус ?BAC равен 1/3, синус ?ABD равен 5/9.

M

N

A

15

D

Решение

1

2

?

?

Средняя линия трапеции

Д/з.

Решение задач

Устная работа

Проверка д/з

Задача 1

Задача 2

Проверка д/з

B

C

Решение

M

N

Средняя линия трапеции равна Для нахождения средней линии надо найти длину основания BC.

A

15

D

Используя свойства вписанных и центральных углов окружности, а также радиус описанной окружности R, выразим:

Длина

Ответ: 12

2

1

?

?

Найти площадь трапеции

Д/з.

Устная работа

Решение задач

Проверка д/з

Задача 2

Задача 2

Задача 1

Проверка д/з

C

D

В трапеции ABCD (AB||CD) диагонали AC=a и BD=7/5a. Найти площадь трапеции, если ?CAB=2?DBA.

О

B

A

Решение

1

2

Пересечения

Д/з.

Устная работа

Решение задач

Проверка д/з

Задача 2

Задача 2

Задача 1

Проверка д/з

C

D

Решение

Пусть ?DBA=?, тогда ?CAB=2?.

О

Через вершину C проведем CE||DB до пересечения ее с продолжением основания AB в точке E.

A

E

B

BE=CD; CE=BD; ?CEA=?DBA=? – соответственные при DB||CE и AE секущая.

H – высота ?ACE и трапеции ABCD.

Для ?ACE применим теорему синусов:

Ответ:

2

1

2?

?

Спасибо за внимание

Проверка д/з

Устная работа

Решение задач

Д/з

Выход