Объём призмы

Объем прямой призмы

Цели урока:

Вспомнить понятие призмы. Изучить теорему об объеме призмы. Провести доказательство. Применить полученные знания на практике.

Призма – многогранник, составленный из двух равных многоугольников

A1A2…An и B1B2 и Bn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма

называется прямой. Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.

Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на

высоту.

Доказательство Сначала докажем теорему для прямоугольной призмы, а затем –для произвольной прямой призмы.

В1

А1

С1

D1

В

А

C

D

V=SABC• h

Рассмотрим прямую треугольную призму ABCA1B1C1 с объёмом V и высотой h. Проведем такую высоту треугольника ABC (на рис. BD),которая разделяет этот треугольник на два треугольника. Плоскость BB1D разделяет данную призму на 2 призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники ABD и BDC. Поэтому объемы V1 и V2 этих призм соответственно равны S ABD ·h и S BDC ·h. По свойству 2° объемов V=V1 +V2, т.е V=SABD ·h=(SABD+SBDC) · h. Таким образом, V= SABC ·h.

D1

В

Такую призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h

На рис. изображена пятиугольная призма, которая разбита на три прямоугольные призмы. Выразим объем каждой прямоугольной призмы по формуле V= SABC ·h и сложим эти объемы. Мы вынесем за скобки общий множитель h, потом получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению S · h.

Теорема для произвольной прямой призмы с высотой h и площадью основания S.

Задача

Дано: ABCA1B1C1- прямая призма. AB=BC=m; ABC= ?, BD- высота в ? ABC; BB1=BD. Найти: VABCA1B1C1-?

Решение:

S ABC ·h, h=BB1. Рассмотрим ? ABC; ? ABC- р/б. BD- высота ? ABC, следовательно медиана и биссектриса. ABD= DBC= ?/2 3) Рассмотрим ? ABD; ? ABD- прямоугольный. Из соотношения в ?: cos?/2 = BD/AB BD= cos?/2 AB, BD=m cos?/2 (AB=m) 4) Т.к. BD=BB1 BB1=m · cos ? /2 5) S ABC= ? AB·BC· sin?; S ABC= ? m2 · sin? 6) V= ? m2 · sin?· mcos?/2=? m3 · sin? · cos?/2 Ответ: ? m3 · sin? · cos?/2

Вопросы:

Как найти объем прямой призмы? Основные шаги при доказательстве теоремы прямой призмы?

Работу выполнили: Шахбазян Эллена,11”В” Шмырева Юлия,11 “В” Двадненко

Аня,11 “В”.

Спасибо за внимание =)