Признак перпендикулярности двух плоскостей

Перпендикулярность плоскостей

Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.

Теорема. (Признак перпендикулярности двух плоскостей.) Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Пусть плоскость ? проходит через прямую a, перпендикулярную плоскости ?, c – линия пересечения плоскостей ? и ?. Докажем, что плоскости ? и ? перпендикулярны. В плоскости ? через точку пересечения прямой a с плоскостью ? проведем прямую b, перпендикулярную прямой c. Через прямые a и b проведем плоскость ?. Прямая c будет перпендикулярна плоскости ?, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b в этой плоскости. Поскольку прямая a перпендикулярна плоскости ?, то угол, образованный a и b, прямой. Он является линейным углом соответствующего двугранного угла. Следовательно, плоскости ? и ? перпендикулярны.

Упражнение 1

Верно ли, что две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны?

Ответ: Нет.

Упражнение 2

Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную прямую?

Ответ: Бесконечно много, если прямая перпендикулярна плоскости, и одну в противном случае.

Упражнение 3

Плоскость ? перпендикулярна плоскости ?. Будет ли всякая прямая плоскости ? перпендикулярна плоскости ??

Ответ: Нет.

Упражнение 4

Плоскость и прямая параллельны. Верно ли утверждение о том, что плоскость, перпендикулярная данной плоскости, перпендикулярна и данной прямой?

Ответ: Нет.

Упражнение 5

Плоскость и прямая параллельны. Будет ли верно утверждение о том, что плоскость, перпендикулярная прямой, перпендикулярна и данной плоскости?

Ответ: Да.

Упражнение 6

Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC( C = 90°) перегнули по высоте CD таким образом, что плоскости ACD и BCD образовали прямой угол. Найдите углы ADB и ACB.

Ответ: 90о, 60о.

Упражнение 7

Существует ли треугольная пирамида, у которой три грани попарно перпендикулярны?

Ответ: Да.

Упражнение 8

Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию?

Ответ: Да.

Упражнение 9

Существует ли пирамида, у которой три боковые грани перпендикулярны основанию?

Ответ: Да.

Упражнение 10

Могут ли боковыми гранями наклонной призмы быть: а) 2 прямоугольника; б) 3 прямоугольника; в) 4 прямоугольника?

Ответ: а) Да;

Б) да;

В) да.

Упражнение 11

Ответ: 1), 3), 5).

Для пирамиды, изображённой на рисунке, назовите номера верных утверждений: 1) угол между плоскостями SAB и DBC прямой; 2) плоскости SBC и SAB перпендикулярны; 3) плоскости SAC и DBC перпендикулярны; 4) угол между плоскостями SCD и DBC прямой; 5) плоскости DBC и ASP перпендикулярны; 6) угол между плоскостями SBC и ASP прямой.