Стереометрия Скачать
презентацию
<<  Плоскости в пространстве Основы стереометрии  >>
Стереометрия
Стереометрия
Стереометрия
Стереометрия
Карандаш
Карандаш
Геометрия
Геометрия
Планиметрия
Планиметрия
Основные понятия стереометрии
Основные понятия стереометрии
Аксиомы стереометрии
Аксиомы стереометрии
Аксиомы
Аксиомы
Точки прямой
Точки прямой
Плоскости
Плоскости
Следствия из аксиом
Следствия из аксиом
Пересекающиеся прямые
Пересекающиеся прямые
Плоскость
Плоскость
Определение объема тела
Определение объема тела
Тела с равными объемами
Тела с равными объемами
Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда
Объемы призмы
Объемы призмы
Два прямоугольных треугольника
Два прямоугольных треугольника
Объем наклонной призмы
Объем наклонной призмы
Перпендикулярное сечение
Перпендикулярное сечение
Многогранник
Многогранник
Прямоугольники
Прямоугольники
Плоскости изображения
Плоскости изображения
Параллелепипед
Параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед
Пирамида
Пирамида
Тетраэдр
Тетраэдр
Фигура
Фигура
Отрезки
Отрезки
Усеченная пирамида
Усеченная пирамида
Октаэдр
Октаэдр
Додекаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Икосаэдр
Цилиндры
Цилиндры
Тела вращения
Тела вращения
Шаровой сектор
Шаровой сектор
Шаровой сегмент
Шаровой сегмент
Шаровой слой
Шаровой слой
Требования к качеству чертежа
Требования к качеству чертежа
Стереометрия
Стереометрия
Слайды из презентации «Стереометрия» к уроку геометрии на тему «Стереометрия»

Автор: Наталья. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Стереометрия.ppt» бесплатно в zip-архиве размером 764 КБ.

Скачать презентацию

Стереометрия

содержание презентации «Стереометрия.ppt»
СлайдТекст
1
2 Стереометрия

Стереометрия

Объёмы тел Изображения пространственных фигур

3 Карандаш

Карандаш

«Мой карандаш, бывает еще остроумней моей головы», — признавался великий математик Леонард Эйлер (1707—1783).

Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мышления — это ключ к изучению стереометрии

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией

4 Геометрия

Геометрия

Мы знаем, что.

ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей; ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества; ГЕОМЕТРИЯ нужна

Технику, инженеру, рабочему, архитектору, модельеру …

5 Планиметрия

Планиметрия

Геометрия

Стереометрия

«Планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. Metreo – измерять и лат. Planum – плоская поверхность (плоскость)

«Стереометрия» – от греч. Stereos – пространственный (stereon – объем).

ГЕОМЕТРИЯ на плоскости

ГЕОМЕТРИЯ в пространстве

6 Основные понятия стереометрии

Основные понятия стереометрии

Точка, прямая, плоскость, расстояние

? = (Ркс)

A?? , KC ? ? , P ? ? , |PK| = 2 см

|PK|

7 Аксиомы стереометрии

Аксиомы стереометрии

Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории.

Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов

Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах

8 Аксиомы

Аксиомы

стереометрии.

А-1

? = (Ркс)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна

9 Точки прямой

Точки прямой

Аксиомы стереометрии.

А-2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

m

Если

М, c ? ?

М, C ? m,

То

m ? ?

10 Плоскости

Плоскости

Аксиомы стереометрии.

А-3

? ? ? = m

М ? ?, М ? ?, М ? m

m ? ?, m ? ?

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

11 Следствия из аксиом

Следствия из аксиом

Т-1

В

А

М

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Дано: М?m

Доказательство

Пусть точки A, B ? m.

Так как М?m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM), Обозначим её ?. Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости ?.. Таким образом, плоскость ? проходит через прямую m и точку M и является искомой. Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость — ?, проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости ? и ? проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость ? единственна. Теорема доказана

12 Пересекающиеся прямые

Пересекающиеся прямые

Следствия из аксиом.

Т-2

Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Дано: m ? n = M

Доказательство

N

Рассмотрим плоскость ? =(n, N). Так как M? ? и N??, то по А-2 m ? ?. Значит обе прямые m, n лежат в плоскости ? и следовательно ?, является искомой Докажем единственность плоскости ?. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости ? и проходящая через прямые m и n, плоскость ?. Так как плоскость ? проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью ?. Единственность плоскости ? доказана. Теорема доказана

Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М.

13 Плоскость

Плоскость

Вывод.

Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?

По трем точкам, не лежащим на одной прямой По прямой и точке, не лежащей на этой прямой По двум пересекающимся прямым По двум параллельным прямым

14 Определение объема тела

Определение объема тела

Определение Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид. В частности, любой выпуклый многогранник является простым телом.

Определение Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами: равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется;

15 Тела с равными объемами

Тела с равными объемами

называются равновеликими .

Определение

Из свойства 2 следует, что если тело с объемом V 1 содержится внутри тела с объемом V 2, то V 1 < V 2.

За единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины; если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей;

16 Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда

Теорема 1.

Теорема 2.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: V = abc

Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: V = SH .

Данная призма и призма ABDA1B1D1, которая дополняет данную призму до параллелепипеда, симметричны относительно точки O , а поэтому равновелики.

Пусть ABCA 1 B 1 C 1 – прямая треугольная призма, причем ее основание – прямоугольный треугольник ABC Дополним эту призму до прямоугольного параллелепипеда ACBDA 1 C 1 B 1 D 1. Середина O диагонали AB 1 этого параллелепипеда является его центром симметрии.

17 Объемы призмы

Объемы призмы

Пусть V и V 1 – соответственно объемы призмы ABCA 1 B 1 C 1 и параллелепипеда,

Тогда, учитывая теорему1, получим

Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA1B1C1 Если ? ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC и BDC . Следовательно, V = V 1 + V 2 = S ? ADC · H + S ? BDC · H = S? ABC · H = S · H . Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n -угольная призма ( n > 3), разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем n -угольной призмы V = V 1 + V 2 + ... + V n = ( S 1 + S 2 + ... + S n ) H = S · H , где S 1, S 2, ..., S n – площади оснований треугольных призм, S и H – площадь основания и высота n -угольной призмы.

18 Два прямоугольных треугольника

Два прямоугольных треугольника

Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA 1 B 1 C 1 Если ? ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC и BDC . Следовательно, V = V1 + V2 = S? ADC · H + S? BDC · H = S ? ABC · H = S · H . Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n -угольная призма ( n > 3), разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм.

Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем n -угольной призмы V = V 1 + V 2 + ... + V n = ( S 1 + S 2 + ... + S n ) H = S · H , где S 1, S 2, ..., S n – площади оснований треугольных призм, S и H – площадь основания и высота n -угольной призмы.

19 Объем наклонной призмы

Объем наклонной призмы

Теорема 3.

Объем наклонной призмы равен площади перпендикулярного сечения на боковое ребро: V = S пс

Пусть ABCA1B1C1 – наклонная призма (чертеж 6.1.4), A2B2C2 и A3B3C3 – перпендикулярные сечения этой призмы. Призма A2B2C2A3B3C3 прямая, причем A2A3=A1A .Заметим, что параллельный перенос на вектор переводит многогранник A 2 B 2 C 2 A 1 B 1 C 1 в многогранник A 3 B 3 C 3 ABC . Следовательно, эти многогранники равновеликие. Пусть V – объем призмы ABCA 1 B 1 C 1, V 1 – объем призмы A 3 B 3 C 3 A 2 B 2 C 2, V 2 – объем многогранника A 2 B 2 C 2 ABC , тогда V + V 2 = V1 + V2, откуда V = V 1. Поскольку призма A 3 B 3 C 3 A 2 B 2 C 2 прямая, то V 1 = S ? A 3 B 3 C 3 · A 2 A 3 = Sпс · l = V , что и требовалось доказать

20 Перпендикулярное сечение

Перпендикулярное сечение

Теорема 4.

Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S · H .

Пусть A 2 B 2 C 2 – перпендикулярное сечение наклонной призмы ABCA 1 B 1 C 1, A 1 O – высота этой призмы. Пусть . Поскольку , а , то плоскости A2B2C2 и ABC образуют тот же угол ?, что и прямые A 1 A и A 1 O . По теореме о площади ортогональной проекции SA2B2C2 = S AB С cos ?. Согласно теореме 3 V = S A 2 B 2 C 2 · A 1 A = S AB С cos ? · A 1 A = SABС · A 1 O = S · H .

21 Многогранник

Многогранник

Объёмы тел и их изображение в пространстве.

Объём: V = Sh S — площадь основания

Многогранник — тело, ограниченное плоскостями. Призма — многогранник, основания которого равные многоугольники, боковые грани — параллелограммы. АВ — ребро; h — высота

.

22 Прямоугольники

Прямоугольники

Прямоугольный параллелепипед — у которого основания прямоугольники, а рёбра перпендикулярны основанию. Рёбра: а — длина, b — ширина, с — высота; d — диагональ (все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны).

Параллелепипед — призма, у которой основания параллелограммы. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке

Объём: V = a•b•c Полная поверхность: S = 2(ab + bc + ca) d 2 = a 2 + b 2 + c 2

23 Плоскости изображения

Плоскости изображения

Другими словами, любые три отрезка AB, CD и AA' плоскости изображения с общим концом А, ни какие два из которых не лежат на одной прямой, можно считать изображением рёбер AоBо, AоDо и AоА? параллелепипеда.

Для построения изображения произвольного параллелепипеда AоBоCоDоA?B?С?D? заметим, что точки Ао, Во, Dо и А? являются вершинами тетраэдры АоВоDоА?.

Поэтому в качестве их изображения можно взять вершины произвольного четырёхугольника АВDА'.

24 Параллелепипед

Параллелепипед

Таким образом параллелепипед ABCDA'B'C'D' является изображением параллелепипеда AоBоCоDоA?B?С?D? .

Но тогда изображения остальных рёбер строятся однозначно, так как все грани параллелепипеда являются параллелограммами, и, следовательно, их изображения также будут параллелограммами.

25 Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед

Куб — прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты. а=b=с.

Число граней – 6, форма граней – квадраты, число ребер – 12, число вершин – 8.

V = а 3 (отсю­да и название третьей степени — «куб»), d — диагональ

S = 6a 2 d 2 =3a 2

26 Пирамида

Пирамида

–.

Основание

Многогранник, основание которого многоугольник,

А остальные грани - треугольники,

Имеющие общую вершину.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т.д.

27 Тетраэдр

Тетраэдр

–.

3

1

2

4

Это один из пяти типов правильных многогранников; правильная треугольная пирамида;

Под изображением многогранника следует понимать фигуру, состоящую из проекций всех его рёбер.

Форма граней – треугольники,

Число граней – 4,

Число ребер – 6,

Число вершин – 4.

28 Фигура

Фигура

состоящая из сторон и диагоналей любого (выпуклого или невыпуклого) четырёхугольника, является изображением тетраэдра при соответствующем выборе плоскости изображений и направления проектирования.

На этих рисунках невидимые рёбра изображены штриховыми линиями.

29 Отрезки

Отрезки

AB, BC, CA, AD, BD, CD служат сторонами и диагоналями четырёхугольника ABCD. Фигура, образованная из этих отрезков (или любая другая фигура, подобная ей), является изображением тетраэдра A0B0C0D0 .

Пусть A0B0C0D0 – произвольный тетраэдр, A, B, C и D – параллельные проекции его вершин на плоскость изображений (?).

30 Усеченная пирамида

Усеченная пирамида

– плоскость сечения которой параллельна плоскости основания.

31 Октаэдр

Октаэдр

Виды многогранников

• Число граней – 8, форма граней – треугольники, число ребер – 12, число вершин – 6.

32 Додекаэдр

Додекаэдр

Виды многогранников

• Число граней – 12, форма граней – пятиугольники, число ребер – 30, число вершин – 20.

33 Икосаэдр

Икосаэдр

Виды многогранников

Число граней – 20, форма граней – треугольники, число ребер – 30, число вершин – 12.

34 Цилиндры

Цилиндры

Тела вращения

• Круглый прямой. • Круглый усеченный S – площадь боковой поверхности. V – объем.

35 Тела вращения

Тела вращения

Сфера – поверхность шара

36 Шаровой сектор

Шаровой сектор

Тела вращения.

Шаровой сектор.

R — радиус шара; а — радиус окружности сечения; h — высота отсекаемой шляпки

37 Шаровой сегмент

Шаровой сегмент

Тела вращения.

Шаровой сегмент

R — радиус шара; а — радиус окружности сечения; h — высота отсекаемой шляпки

38 Шаровой слой

Шаровой слой

Тела вращения.

Шаровой слой

R — радиус шара, a , b — радиусы окружностей сечений, h — высота слоя

39 Требования к качеству чертежа

Требования к качеству чертежа

При решении стереометрических задач высоки требования к качеству чертежа, его наглядности.

Нельзя научиться решать сколько-нибудь содержательные стереометрические задачи, не освоив принципы и технику построения пространственного чертежа.

Сюда входит: выбор оптимального положения изображаемого тела (в частности, выбор ориентации - верх и низ, право и лево), выбор ракурса и проекции, умение минимизировать количество изображенных линий (напомним, что видимые и невидимые линии должны изображаться различным образом), умение строить сечения и проекции на плоскость, умение выделить на пространственном чертеже и соответственно изобразить плоскую конфигурацию, дающую ключ к решению задачи, умение перевести условие задачи на графический язык.

40
«Стереометрия»
http://900igr.net/prezentatsii/geometrija/Stereometrija/Stereometrija.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

39 тем
Слайды
Презентация: Стереометрия.ppt | Тема: Стереометрия | Урок: Геометрия | Вид: Слайды