Свойства призмы

Призма

Урок 2.

Призма

Выпуклый многогранник

Сколько ребер может иметь выпуклый многогранник?

Почему не может быть 7 ребер?

Рассмотрим F

? и не принадлежащую прямой а. ?X?F проведем равные отрезки XX’, параллельные а и лежащие относительно ? в одном полупространстве. Фигура, образованная этими отрезками называется цилиндром. Фигура F называется основанием цилиндра, а любой [XX’] – его образующей.

Сечение цилиндра

1) F’ = F, 2) Любое сечение цилиндра, параллельное плоскости основания, равно основанию.

Определения

Высотой цилиндра называется общий перпендикуляр к плоскостям его оснований. 2) Высотой цилиндра называется расстояние между его основаниями.

Цилиндр

основанием которой является многоугольник, называется призмой.

Сформулируйте определения боковых ребер и боковых граней призмы; высоты призмы

Ребра, не лежащие в плоскостях оснований; грани, не являющиеся основаниями; общий перпендикуляр к основаниям, заключенный между их плоскостями (расстояние между плоскостями оснований)

Свойства призмы

Какие свойства призмы следуют из свойств цилиндра?

Равенство сечений призмы, параллельных основанию, в частности, равенство оснований призмы; равенство и параллельность боковых ребер и высот призмы; боковые грани – параллелограммы

Призмой называется многогранник

у которого две грани, называемые основаниями, равны и их соответственные стороны параллельны, а остальные грани – параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными основаниями параллелограммов.

Докажите, что это определение эквивалентно предыдущему.

Сформулируйте и обоснуйте

Н. и Д. условие того, что около призмы можно описать сферу. Где расположен ее центр?

Прямая призма, основание которой – вписанный многоугольник; середина высоты, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований

Вокруг каких из разновидностей призм всегда можно описать сферу

Прямая треугольная; правильная.

Основание

Верно ли, что в любую правильную призму можно вписать сферу?

Сформулируйте и обоснуйте Н. и Д. условие того, что в прямую призму можно вписать сферу. Где расположен ее центр?

Основание – описанный многоугольник, причем диаметр вписанной окружности равен высоте призмы;

Середина высоты, соединяющей центры окружностей, вписанных в основания

Существую ли наклонные призмы, в которые можно вписать сферу

Условие, сформулированное для прямой призмы

Почему условие, сформулированное для прямой призмы, не применимо для наклонной?

Треугольная призма

Существует ли треугольная призма, у которой: а) ровно одна боковая грань — прямоугольник; б) ровно две боковые грани — прямоугольники; в) ровно одна грань перпендикулярна основанию; г) ровно две грани перпендикулярны основанию; д) боковое ребро перпендикулярно ровно одной стороне основания; е) центр вписанной сферы не совпадает с центром описанной сферы?

Ребро треугольной призмы

Каждое ребро треугольной призмы АВСA’B’C’ имеет длину а. Найдите углы наклона боковых ребер и граней к плоскости основания, если вершина А’ верхнего основания ортогонально проектируется в: а) вершину В; б) в центр О нижнего основания; в) середину K ребра АС.

Вершина

А’ верхнего основания ортогонально проектируется в:

а) вершину В;

Центр

вершина А’ верхнего основания ортогонально проектируется в:

б) в центр О нижнего основания;

Вершина

А’ верхнего основания ортогонально проектируется в:

в) середину K ребра АС.

arccos 1/4

60

60

Формула трех косинусов

c – проекция наклонной а на плоскость ?; b ? ?; ? = ?(a; b); ? = ?(a; c); ? = ?(b; c). Тогда: cos? = cos??cos?.

Теорема косинусов для трехгранного угла

Тогда cos? = cos??cos? + sin??sin??cos

= 90?, то cos? = cos??cos? – аналог теоремы Пифагора!

Следствие. Если

Теорема синусов для трехгранного угла