Цилиндром называется тело

Проект «Математика в профессии «Повар, кондитер»

Автор: преподаватель ГОУ СПО ПК № 33 Симоненко Е.Е.

Цилиндр

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов

А

А1

В

В1

Поверхность цилиндра состоит из оснований цилиндра – двух равных

кругов, лежащих в параллельных плоскостях, и боковой поверхности.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны

плоскостям оснований. Прямой цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг своей оси.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания

R

R

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований

Н

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований

Она параллельна образующим.

R

R

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется

осевым сечением.

Цилиндр, осевое сечение, которого-квадрат называется равносторонним

Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую

поверхность по окружности, , равной окружности его основания.

=

=

R1

R2

R3

Плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярна

осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскости цилиндра.

Задача № 1

Высота цилиндра 8 м, радиус основания 5 м. Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси.

Решение:

1)Сечение АВВ'А' - квадрат 2) Фигура OAВO'A' В'- прямая треугольная

призма, в которой боковые ребра равны по 8 м ,стороны ОА=ОВ=R = 5 м, боковая грань АА'В' В - квадрат. 3) На рисунке призма АОВА'О'В' вынесена из цилиндра. ОК AВ. Найдем, длину (h) перпендикуляра ОК. 4) По условию АВ = А'В' = М' = 8. В прямоугольном треугольнике АОК катет АК = 4. Тогда по теореме Пифагора h = ОК = = = 3 м.

Задача № 2

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Решение:

1. Боковые грани призмы - квадраты, так как сторона правильного

шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу 2. Ребра призмы параллельны оси цилиндра поэтому, угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. 3. Так как грань призмы АА’B’B –квадрат, то этот угол равен 45о.

Задача № 3

Сережа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку тетю Люду: «Сколько нужно налить воды чтобы получилась вкусная каша? –«Это очень просто, - ответила соседка. - Наклони кастрюлю, постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь точку на стенке кастрюли у края, до которого поднялась крупа, зажми ее пальцем. До этого уровня надо налить воду!»- «Так ведь пшена можно насыпать побольше или поменьше, да и кастрюли бывают разные- широкие, узкие»,- усомнился Сережа. «Все равно, мой способ годиться в любом случае»,- гордо ответила соседка. Докажите, что соседка права : отношение объемов воды и крупы по ее рецепту для любой цилиндрической кастрюли получается одинаковым. Найдите это отношение.

Решение:

На рисунке слева изображена стоящая кастрюля, а на рисунке справа-

кастрюля, наклоненная так ,как советовала соседка. Поместим исследуемую модель в систему координат, чтобы основание цилиндра ( кастрюли ) лежало в плоскости XOY, а центр основания О стал началом координат. Через точку x на оси OX строим сечение тела( т.е. горки из крупы внутри кастрюли) плоскостью, перпендикулярной оси OX и параллельной оси OY.

Эта величина не зависит от размеров цилиндра( кастрюли)

Цилиндры

В моей профессии

Конец