Тригонометрические неравенства

Решение простейших тригонометрических неравенств

Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции обычно

сводится к решению простейших неравенств вида: sin(t)<(?;>;?)a; cos(t)<(?;>;?)a; tg(t)<(?;>;?)a; ctg(t)<(?;>;?)a; Способы решения этих неравенств совершенно очевидным образом вытекают из представления тригонометрических функций на единичном круге.

Неравенства : sin x > a, sin x a, sin x < a, sin x a

Тригонометрическое неравенство sin(t)

a.

Все точки Pt единичной окружности при значениях t, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, большую или равную -1/2. Множество таких точек это дуга l, которая выделена жирным на рисунке ниже. Найдем условие принадлежности точки Pt этой дуге. Точка Pt лежит на правой полуокружности, ордината Pt равна 1/2, и, следовательно, в качестве t1 удобно взять значение t1=arcsin(-1/2)=-?/6. Представим себе, что мы совершаем обход дуги l от точки Pt1 к Pt2 против часовой стрелки. Тогда t2 > t1, и, как легко понять, t2=?-arcsin(-1/2)=7*?/6. Таким образом, получаем, что точка Pt принадлежит дуге l, если -?/6 ? t ? 7*?/6. Таким образом, решения неравенства, принадлежащие промежутку [-?/2 ; 3*?/2] длиной 2*? таковы: -?/6 ? t ? 7*?/6. Вследствие периодичности синуса остальные решения получаются добавлением к найденным чисел вида 2?n, где n - целое. Таким образом, мы приходим к ответу: -?/6+2?n?t?7?/6+2?n, n - целое.

Пример 1

Пример 1.

Решите неравенство Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит Для x [0; 2?] решением данного неравенства будут Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на 2? n то sin x также будет не меньше Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить 2? n , где Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все где Ответ. где

Тригонометрическое неравенство cos(t)<a

Рассмотрим решение простейших тригонометрических неравенств с косинусом на примере решения неравенства cos(t)<1/2. Множество точек единичной окружности, абсциссы которых меньше 1/2 левее прямой x=1/2. Значит, множкество всех таких точек есть дуга l, выделенная на рисунке ниже жирным, прияем ее концы Pt1 и Pt2 не входят в это множкество. Необходимо найти точки t1 и t2. Точка Pt1 расположена на верхней полуокружности, абсцисса Pt1 равна 1/2, следовательно t1=arccos(1/2)=5*?/3. При переходе от точки Pt1 к Pt2 по дуге l выполняем обход против движения часовой стрелки, тогда t2>t1 и t2=2?-arccos(1/2)=5?/3. Точка принадлежит выделенной дуге l (исключая ее концы) при условии, что ?/3<t<5?/3. Решения неравенства, принадлежащие промежутку [0; 2?] длиной 2?, таковы: ?/3<t<5?/3. Вследствие периодичности косинуса остальные решения получаются добавлением к найденным чисел вида 2?n, где n - целое. Таким образом, мы приходим к окончательному ответу: ?/3+2?n<t<5?/3+2?n, n - целое.

Тригонометрическое неравенство tg(t)

a.

Рассмотрим способ решения тригонометрического неравенства с тангенсом на примере неравенства tg(t)?1. период тангенса равен ? Найдем сначала все решения данного неравенства, принадлежащие промежутку (-?/2; ?/2), а затем воспользуемся периодичностью тангенса. Для выделения всех точек Pt правой полуокружности, значения t которых удовлетворяют данному неравенству, обратимся к линии тангенсов. Если t является решением неравенства, то ордината точки T - луч AT (см. рисунок ниже). Множество точек Pt, соответствующих точкам этого луча, - дуга l, выделенная на рисунке жирным. Следует отметить, что точка Pt1 принадлежит рассматриваемому множеству, а Pt2 нет. Найдем условие, при котором точка Pt принадлежит дуге l. t1 принадлежит интервалу (-?/2 ; ?/2), и tf(t)=1, следовательно t1=arctg(1)=?/4. Значит t должно удовлетворять условию -?/2<t??/4. Все решения данного неравенства, принадлежащие промежутку (-?/2 ; ?/2), таковы: (-?/2 ; ?/4]. учитывая периодичность тангенса, приходим к окончательному ответу: -?/2+?n<t??/4+?n, n - целое.

Сабитова Файруза Рифовна преподаватель математики ГАОУ СПО

«Сармановский аграрный колледж».