B3 по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике

Решение заданий В3.

Умения по КТ

Проверяемые требования (умения)

Прототипов заданий В3 - 28

Уметь решать уравнения и неравенства

Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы

Содержание задания В3

по КЭС.

Уравнения и неравенства 2.1 Уравнения 2.1.1 Квадратные уравнения 2.1.2 Рациональные уравнения 2.1.3 Иррациональные уравнения 2.1.4 Тригонометрические уравнения 2.1.5 Показательные уравнения 2.1.6 Логарифмические уравнения 2.1.7 Равносильность уравнений, систем уравнений 2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными 2.1.9 Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных 2.1.10 Использование свойств и графиков функций при решении уравнений 2.1.11 Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем 2.1.12 Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений 2.2 Неравенства 2.2.1 Квадратные неравенства 2.2.2 Рациональные неравенства 2.2.3 Показательные неравенства 2.2.4 Логарифмические неравенства 2.2.5 Системы линейных неравенств 2.2.6 Системы неравенств с одной переменной 2.2.7 Равносильность неравенств, систем неравенств 2.2.8 Использование свойств и графиков функций при решении неравенств 2.2.9 Метод интервалов 2.2.10 Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем

Памятка ученику

В Задании B3 ученик должен продемонстрировать умение решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения и их системы. Задание B3 сводится в одно действие к линейному или квадратному уравнению и далее ученик использует навыки решения уравнений и неравенств.

Логарифмы

Логарифм числа b по основанию a (logab) определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (Логарифм существует только у положительных чисел). Обозначение: logab. logab = x, ax = b. Логарифм числа b по основанию a - logab (a > 0, a ? 1, b > 0) Десятичный логарифм - lg b (Логарифм по основанию 10, а = 10). Натуральный логарифм - ln b (Логарифм по основанию e, а = e).

Свойства логарифмов

1 Основное логарифмическое тождество - alogab = b; 2 loga1 = 0; 3 logaa = 1; 4 loga(bc) = logab + logac; 5 loga(b/c) = logab - logac; 6 loga(1/c) = loga1 - logac = - logac; 7 loga(bc) = c logab; 8 log(ac)b = (1/c) logab; 9 Формула перехода к новому основанию - logab = (logcb)/(logca); 10 logab = 1/logba;

Степень

Свойства степеней: a1 = а, a0 = 1 (a ? 0), a-n = 1/an. 1° aman = am+n; 2° am/an = am-n; 3° (ab)n = anbn; 4° (am)n = amn; 5° (a/b)n = an/bn.

Основные свойства корней

Прототип задания B3

(№ 26646).

Найдите корень уравнения .

По определению логарифма: 4-x=27 4-x=128 x=132 Ответ: x = 132.

Решение

Задания для самостоятельного решения

Ответ: 1)21 2)2 3)-12

Найдите корень уравнения:

Проверка

1)

2)

3)

Прототип задания B3

№ 26650).

Представим 1/125 в виде степени с основанием 5. Если степени с одинаковыми основаниями равны, значит равны их показатели х-7=-3 х=4 Ответ:4

Найдите корень уравнения:

Решение

Ответ

Задания для самостоятельного решения.

Ответ: 1)10 2)4 3)3 4)0,5

Проверка

3.

1.

4.

2.

Решим линейное уравнение

Прототип задания B3 (№26656).

Возведем обе части уравнения в квадрат. Решим линейное уравнение: 15-2х=9 -2х=-6 х=3 Ответ:3

Найдите корень уравнения:

Решение

Проверка

Задания для самостоятельного решения.

Ответ: 1) 6 2)12 3)6 4)2 5)7 6)3

Проверка

1)

5)

2)

6)

3)

4)

Логарифмы с одинаковыми основаниями

Прототип задания B3 (№ 26657):

Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, значит равны выражения, стоящие под знаком логарифма: х+3=4х-15 -3х=-18 х=6 Ответ:6

Найдите корень уравнения:

.

Решение

Ответ: 1)5 2)3 3)4 4)26 5)3

Задания для самостоятельного решения.

Ответ: 1)5 2)3 3)4 4)26 5)3

Проверка

1)

2)

.

.

.

.

.

3)

4)

5)

Корень уравнения

Прототип задания B3 (№ 26659).

Чтобы опустить логарифмы, нам мешает 2,поэтому 3 возводим во вторую степень и опускаем логарифмы: 5-х=9 -х=4 х=-4 Ответ:-4

Найдите корень уравнения

Решение

Ответ: 1)3 2)-11 3)-7 4)-6 5)2

Проверка

Задания для самостоятельного решения

1)

2)

3)

.

.

.

.

.

4)

5)

Найдите корень уравнения

.

Обе части уравнения возводим в квадрат. 4х-54=49•6 4х-54=294 4х=348 х=87 Ответ:87

Прототип задания B3 (№ 26660)

Решение

Ответ: 1)31 2)9 3)137 4)21 5)607

Задания для самостоятельного решения

Проверка

1)

4)

2)

5)

3)

Прототип задания

B3 (№ 26662).

Ответ:13

Найдите корень уравнения:

Решение

Ответ: 1)-21 2)10 3)8 4)-24 5)-26

Задания для самостоятельного решения

Проверка

1.

3.

2.

4.

5.

Прототип задания B

(№ 26664).

х-119=-5(х+7) х-119=-5х-35 6х=84 х=14 Ответ:14

Найдите корень уравнения:

Решение

Ответ: 1)12 2)14 3)-15 4)5 5)8

Задания для самостоятельного решения.

Ответ: 1)12 2)14 3)-15 4)5 5)8

Проверка

1.

4.

2.

5.

3.

Уравнение

Прототип задания B3 (№ 26665).

х2-2x=6x-15 х2-8x+15=0 x=5 x=3 Нам нужен набольший корень Ответ:5

Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение

Ответ: 1)5 2)8 3)-3 4)2 5)4

Задания для самостоятельного решения.

Ответ: 1)5 2)8 3)-3 4)2 5)4

Проверка

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

3.

1.

4.

2.

5.