Декартовы координаты на плоскости

Координатная прямая

Координатной прямой, или координатной осью называется прямая, на которой выбраны точка O, называемая началом координат, и единичный отрезок OE, указывающий положительное направление координатной прямой.

Координатой точки А на координатной прямой называется расстояние x от точки А до начала координат О, взятое со знаком "+", если А принадлежит положительной полуоси, и со знаком "–", если А принадлежит отрицательной полуоси.

Теорема. Расстояние между точками А1, А2 на координатной прямой с координатами x1, x2 соответственно выражается формулой: А1А2 = |x2 – x1|.

Координатная плоскость

Прямоугольной системой координат на плоскости называется пара перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Начало координат обозначается буквой O, а координатные прямые обозначаются Ox, Oy и называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Плоскость, с заданной прямоугольной системой координат, называется координатной плоскостью.

Координаты точки

Пусть A – точка на координатной плоскости. Через точку A проведем прямую, перпендикулярную оси Ox, и точку ее пересечения с осью Ox обозначим Ax. Координата этой точки на оси Ox называется абсциссой точки A и обозначается x. Аналогично через точку А проведем прямую, перпендикулярную оси Оy и точку ее пересечения с осью Оy обозначим Ay. Координата этой точки на оси Oy называется ординатой точки А и обозначается y.

Таким образом, точке А на координатной плоскости соответствует пара (x, y), называемая координатами точки на плоскости относительно данной системы координат. Точка А с координатами (x, y) обозначается А(x, y).

Декарт

Р. Декарт.

Впервые прямоугольные координаты были введены Р. Декартом (1596-1650), поэтому прямоугольную систему координат называют также декартовой системой координат, а сами координаты – декартовыми координатами. Введение прямоугольных координат на плоскости позволило свести многие геометрические задачи к чисто алгебраическим и, наоборот, алгебраические задачи – к геометрическим. Метод, основанный на этом, называется методом координат.

Точка

Вопрос 1.

Какая прямая называется координатной?

Ответ. Координатной прямой, или координатной осью называется прямая, на которой выбраны точка O, называемая началом координат, и единичный отрезок OE, указывающий положительное направление координатной прямой.

Расстояние

Вопрос 2.

Что называется координатой точки на координатной прямой?

Ответ. Координатой точки А на координатной прямой называется расстояние x от точки А до начала координат О, взятое со знаком "+", если А принадлежит положительной полуоси, и со знаком "–", если А принадлежит отрицательной полуоси.

Расстояние между двумя точками

Вопрос 3.

Как выражается расстояние между двумя точками на координатной прямой?

Ответ. Расстояние между точками А1, А2 на координатной прямой с координатами x1, x2 соответственно выражается формулой: А1А2 = |x2 – x1|.

Пара перпендикулярных координатных прямых

Вопрос 4.

Что называется прямоугольной системой координат на плоскости?

Ответ. Прямоугольной системой координат на плоскости называется пара перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат.

Плоскость

Вопрос 5.

Какая плоскость называется координатной плоскостью?

Ответ. Плоскость, с заданной прямоугольной системой координат, называется координатной плоскостью.

Координатные прямые

Вопрос 6.

Как обозначаются и как называются координатные прямые на координатной плоскости?

Ответ. Координатные прямые обозначаются Ox, Oy и называются соответственно осью абсцисс и осью ординат.

Найдите координату

Упражнение 1.

На координатной прямой точки A1, A2 имеют координаты x1 и x2 соответственно. Найдите координату середины A отрезка A1A2.

Координаты

Упражнение 2.

Для заданных точек на координатной плоскости найдите их координаты.

Ответ: A(3, 1), B(2, 3), C(1, 2), D(–2, 2), E(–1, –2), F(4, –1).

Точки

Упражнение 3.

На координатной плоскости изобразите точки A(2, 1), B(1, 3), C(4, 2), D(-3, 2), E(-2, -3), F(3, -2).

Ордината

Упражнение 4.

На прямой, параллельной оси абсцисс, взяты две точки. У одной из них ордината равна 2. Чему равна ордината другой точки?

Ответ: 2.

Чему равна абсцисса

Упражнение 5.

На прямой, перпендикулярной оси абсцисс, взяты две точки. У одной из них абсцисса равна 3. Чему равна абсцисса другой точки?

Ответ: 3.

Изобразите угол

Упражнение 6.

Изобразите угол AOB, для которого: а) A(3, 0), O(0, 0), B(0, 3); б) A(3, 0), O(0, 0), B(3, 3); в) A(3, 0), O(0, 0), B(-3, 3). Найдите его величину.

Угол

Упражнение 7.

Изобразите угол ABC, для которого: а) A(2, 1), B(-1, 1), C(2, -2); б) A(2, -1), B(-1, 2), C(1, 4); в) A(-1, 0), B(3, 2), C(2, 4). Найдите его величину.

Перпендикуляр

Упражнение 8.

Из точки А(2, 3) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите координаты основания перпендикуляра.

Ответ: (2, 0).

Прямая

Упражнение 9.

Через точку А(2, 3) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите координаты ее точки пересечения с осью ординат.

Ответ: (0, 3).

Найдите координаты середины отрезка

Упражнение 10.

Найдите координаты середины отрезка АВ, если: а) А(1, -2), В(5, 6); б) А(-3, 4), В(1, 2); в) А(5, 7), В(-3, -5).

Ответ: а) (3, 2);

Б) (–1, 3);

В) (1, 1).

Геометрическое место

Упражнение 11.

Найдите геометрическое место точек на координатной плоскости, для которых: а) x 0; б) y < 0; в) x 0, y 0; г) xy > 0.

Ответ: а) Полуплоскость, расположенная справа от оси ординат;

Б) полуплоскость, расположенная ниже оси абсцисс, без самой оси абсцисс;

В) левый верхний квадрант координатной плоскости;

Треугольник

Упражнение 12.

Изобразите треугольник ABC, для которого A(-2, -1), B(2, -1), C(-2, 1). Какой это треугольник?

Изобразите треугольник

Упражнение 13.

Изобразите треугольник ABC, для которого A(-2, -2), B(2, -2), C(0, 1). Какой это треугольник?

Изобразите четырехугольник

Упражнение 14.

Изобразите четырехугольник ABCD, для которого A(-2, 0), B(0, -2), C(2, 0), D(0, 2). Какой это четырехугольник?

Четырехугольник

Упражнение 15.

Изобразите четырехугольник ABCD, для которого A(-2, 1), B(2, -1), C(3, 1), D(-1, 3). Какой это четырехугольник?

Упражнение 16

Изобразите четырехугольник ABCD, для которого A(-2, 1), B(2, 2), C(1, 4), D(-3, 3). Какой это четырехугольник?

Упражнение 17

Изобразите четырехугольник ABCD, для которого A(-2, -1), B(2, -1), C(1, 2), D(-1, 2). Какой это четырехугольник?

Нарисуйте ломаную

Упражнение 18.

Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (1, 0), (2, 1), (1, 3), (2, 4), (1, 4,5), (1, 6), (1,5, 5,5), (2,5, 5,5), (3, 6), (3, 4,5), (2, 4), (3, 3), (4,5, 2,5), (4,5, 0), (5, 2,5), (5, 0). Очертания какого животного она напоминает?

Вершины

Упражнение 19.

Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (4, 0), (3, 1,5), (1, 2), (-1, 2), (-4, 0,5), (-6, 2), (-5,5, 0), (-6, -2), (-4, -0,5), (-1, -2), (1, -2), (3, -1,5), (4, 0). Очертания кого она напоминает?

Очертания

Упражнение 20.

Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (-5, 1), (-6, 0,5), (-7, 1), (-4,5, 2,5), (-3,5, 2,5), (-4,5, 1), (5,5, 1), (5,5, -0,5), (4,5, -1,5), (4,5, -1), (5, -0,5), (5, 0,5), (4, 0,5), (4,5, 0), (3,5, -2), (3, -2), (3, -1), (2, -0,5), (-2, -0,5), (-3,5, -1), (-4,5, -2), (-5,5, -2), (-5, -1), (-4,5, -1), (-4,5, 2), (-5, 1), (-5,5, -1), (-5, -1). Очертания какой породы собаки она напоминает?

Вершины

Упражнение 21.

Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (0, 0), (-1, 1), (-3, 1), (-2, 3), (-3, 3), (-4, 6), (0, 8), (2, 5), (2, 11), (6, 10), (3, 9), (4, 5), (3, 0), (2, 0), (1, -7), (3, -8), (0, -8), (0, 0). Очертания какой птицы она напоминает?

Оси абсцисс

Упражнение 22.

Найдите координаты точки, симметричной точке A(x, y) относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат.

Ответ: а) (x, –y);

Б) (–x, y);

В) (–x, –y).

Оси ординат

Упражнение 23.

Точки N(…, 6) и N1(2, …) симметричны относительно оси ординат. Назовите пропущенные координаты этих точек.

Ответ: N(–2, 6); N1(2, 6).

Найдите координаты точки

Упражнение 24.

Найдите координаты точки, полученной поворотом точки A вокруг начала координат на угол 90о против часовой стрелки, если точка A имеет координаты: а) (2, 1); б) (-1, 3); в) (-2, -3); г) (1, -3).

Ответ: а) (–1, 2);

Б) (–3, –1);

В) (3, –2);

Г) (3, 1).

Найдите координаты точки, полученной поворотом точки

Упражнение 25.

Найдите координаты точки, полученной поворотом точки A(1, 0) вокруг начала координат против часовой стрелки на угол: а) 30о; б) 45о; в) 60о.

Найдите геометрическое место точек

Упражнение 26.

Найдите геометрическое место точек на координатной плоскости, для которых: а) x = 2; б) y = -1; в) |x| = 3; г) |y| 1; д) x = y; е) x = -y.

Ответ: а) Прямая, параллельная оси ординат;

Б) прямая, параллельная оси абсцисс;

В) две прямые, параллельные оси ординат;

Г) две полуплоскости;

Д) прямая;

Е) прямая.

Найдите расстояние от начала координат до точки

Упражнение 27.

Найдите расстояние от начала координат до точки с координатами: а) (1, 1); б) (-3, 4); в) (-1, -2).

Б) 5;