Определение понятия

Математические понятия и методика их изучения в школьном курсе

математики.

ТМОМ Методические основы обучения математике

План

Математические понятия (сведения из логики) Сущность математических понятий; Логические характеристики понятий: содержание, объем; Пути конструирования понятий; Классификация понятий Определения математических понятий Способы определения, структура определения; Виды определений Требования к корректности определений Методики изучения понятий и схемы их применения Методы формирования понятий; Организация усвоения понятий (этапы формирования); Основные приемы действий с понятиями; Система упражнений, направленная на формирование понятия.

Сущность математических понятий

Понятие – форма мышления, отражающая общие и существенные свойства и отношения вещей и явлений материального мира. Математическое понятие – отражение в мышлении отличительных свойств форм и количественных отношений действительного мира. В познании понятия выражаются с помощью признаков посредством речи и символов

Признаки понятия

Признак – все то, с помощью чего объекты можно распознать, описать, в чем объекты могут быть сходными или различными

Существенные признаки - каждый из которых необходим, все вместе они достаточны, чтобы отделить данное понятие от других

Признаки

Существенные

Несущественные

Образование понятия

Выделение с помощью анализа признаков объекта

Соединение с помощью синтеза существенных признаков объекта

Отбрасывание с помощью абстрагирования несущественных признаков

Образование с помощью обобщения единого целого, являющегося понятием

Логические характеристики понятия

Содержание понятия - совокупность всех существенных признаков объектов, охватываемых данным понятием. Объем понятия – совокупность всех объектов, на которое распространяется это понятие, к которым оно может быть применено. Содержание и объем понятия жестко связаны между собой: изменение содержания влечет изменение объема и наоборот.

Закон обратного отношения

Чем уже объем понятия, тем шире его содержание; Чем шире объем понятия, тем уже его содержание.

Родовидовое отношение между понятиями

Если объем одного понятия входит в объем другого понятия, то понятие с меньшим объемом называется «видовым», понятие с большим объемом называется «родовым». Если в понятие входит только один элемент, оно называется «единичным»

Виды понятий (по соотношению объемов)

Сравнимыми называются понятия, если можно указать общий для них универсум (множество объектов, в терминах которого определяются понятия). Совместными называются понятия, объемы которых имеют общие элементы Равнозначными называются понятия, объемы которых полностью совпадают. Пересекающимися называются понятия, объемы которых частично совпадают. Находящимися в отношении включения называются понятия, если объем одного входит в объем другого.

Характеристики признаков понятия

Пусть понятие А включает класс объектов Х Признак а называется необходимым или основным признаком понятия А, если признаком а обладает любой объект из Х. Признак а называется отделимым признаком понятия А, если признаком а обладают только некоторые объекты из Х. Признак а называется противоречивым признаком понятия А, если признаком а не обладает ни один объект из Х.

Конструирование новых понятий

Осуществляется с помощью трех логических операций: обобщения, ограничения, классификации.

Обобщение понятий

Обобщение понятия – логическая операция конструирования нового понятия с большим объемом, чем данное (т.е. переход от видового к родовому понятию). Обобщение понятий происходит путем отбрасывания из содержания понятия основных признаков понятия до тех пор, пока не получится предельно широкое понятие, называемое категорией (время, пространство, форма, количество, отношение), или к неопределяемому понятию, описываемому через категории.

Ограничение понятий

Ограничением понятий - логическая операция конструирования нового понятия с меньшим объемом, чем данное (т.е. переход от родового к видовому понятию). Ограничение понятия происходит добавлением к содержанию понятия отделяемого признака до тех пор, пока не получим единичное понятие, не имеющее отделяемого признака.

Классификация понятий

Классификация понятий - последовательное многоступенчатое разделение множества объектов на классы с помощью некоторого свойства (или свойств) Классификации считается правильной, если: признак, по которому проводится классификация остается неизменным в процессе классификации; понятия, получаемые в классификации - взаимонезависимые; сумма объемов понятий, получаемых при классификации, равна объему исходного понятия; в процессе классификации осуществляется переход к ближайшему в родовом понятии виду.

Виды классификаций

дихотомическая ( трихотомическая), где осуществляется многоступенчатое разбиение на два (три) противоречащих понятия; иерархическая, где каждый член является соподчиненным понятием; последовательная, где классификация проводится по нескольким основаниям. При помощи классификации на основе сходства и различий объектов раскрывается объем понятия.

Определение понятия

Трактовки термина «определение понятия»: логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание нового понятия через перечисление его существенных признаков; математическое предложение, в котором раскрывается содержание понятия через перечисление совокупности условий, необходимых, и достаточных для отделения класса объектов, принадлежащих какому-либо понятию, и вводится термин, обозначающий выделенный класс.

Что значит определить понятие

С точки зрения логической операции – это значит свести его к уже известным понятиям и тем самым раскрыть его содержание. В результате этой операции и появляется математическое предложение, именуемое как определение понятия.

Типы определения понятия

Остенсивное определение – описание объекта с помощью модели через

показ, демонстрацию. Вербальное определение – описание объекта словами. Явное определение – прямое указание на существенные признаки понятия. Определяемое и определяющее понятия выражены четко и однозначно. Неявное определение - не содержит четкого и однозначного определяющего элемента, содержание определяемого понятия устанавливается через контекст (описание).

Структура определений понятия

Конъюнктивная структура – в определении все признаки связаны союзом «и»; дизъюнктивная структура – в определении признаки связаны союзом «или»; импликативная структура – в определении признаки связаны отношением следования (в терминах «если …, то…»)

Виды определений (в зависимости от определяемого объекта)

Номинальные определения – вводятся новые символы, термины, выражения или уточняется смысл ранее введенных объектов. Реальные определения – фиксируются свойства новых определяемых объектов.

Виды определений (в зависимости от способа выделения видовых отличий)

Характеристические определения, в которых указывается ближайший род и перечисляются видовые отличия понятия. Генетические (конструктивные) определения, в которых описывается или указывается способ происхождения или образования понятия. Рекурсивные (индуктивные) определения, в которых указываются исходные (базисные) объекты некоторого множества и правила, позволяющие получать другие объекты этого же множества. Условные определения, в которых вводится некоторое соглашение, суть договоренность.

Формально-логические требования корректности определений

Признаков должно быть достаточно, чтобы отделять данное понятие от других; количество признаков должно быть минимальным для отделения данного понятия; признаки должны быть независимыми.

Логико – математический анализ определения понятия

Определение способа получения нового понятия; определение типа и вида определения; определение структуры определения; раскрытие математического содержания каждого элемента определения (термин, род, видовые отличия); определение корректности определения.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны

Конструируется с помощью ограничения: к свойствам прямоугольника добавляется отделимый признак равенства всех сторон. Определение явное и реальное: с помощью слов фиксируются свойства квадрата. Структура конъюнктивная: признаки соединены союзом «и». Ближайший род – прямоугольник. Видовые отличия задаются перечислением: все стороны равны. Определение не вполне корректное: избыточное.

Формирование понятия – длительный процесс

Начальные этапы работы с понятием Профессиональный – выполнение логико-математического анализа, выбор методов работы, отбор содержания. Подготовительный – актуализация необходимых знаний учащихся, установление связей с субъектным опытом ребенка, мотивация. Введение понятия и его определения - организация знакомства и первичное усвоение понятия и его определения учащимися.

Введение понятия и его определения

Схема применения конкретно- индуктивного метода

Анализируется эмпирический материал, при этом привлекаются такие мыслительные операции как сравнение, классификация, абстрагирование; через обобщение выделяются признаки, характеризующие новое понятие; на основе синтеза конструируется формулировка определения, вводится термин, обозначающий понятие; рассматриваются примеры и контрпримеры; понятие и его определение усваивается в процессе его дальнейшего применения.

Схема применения абстрактно- дедуктивного метода

Формулируется принятое в науке (или учебнике) определение нового понятия; через рассмотрение частных примеров и контрпримеров осуществляется конкретизация определения; понятие и его определение усваиваются в процессе дальнейшего применения.

Усвоение понятия

Раздельный метод – сначала происходит запоминание формулировки

определения. А затем формируется навык ее применения. Компактный метод – запоминание формулировки происходит одновременно с приобретением навыка по ее применению. Алгоритмический метод – запоминание и формирование навыка происходят в процессе выполнения предписаний алгоритма.

Этапы организации усвоения понятия (в соответствии с концепцией

обогащающей модели обучения М.А. Холодной).

Мотивировка - создание условий для осознания учащимися недостаточности их прошлого математического опыта. Категоризация – введение знаково-символического обозначения нового понятия, ориентация ребенка на выделение отличительных признаков соответствующего понятия. Обогащение – накопление и дифференциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания. Перенос –применение усваиваемого понятия в разных ситуациях, в том числе и в условиях самостоятельного выстраивания отдельных аспектов его содержания. Свертывание – представление образа понятия в сжатой форме.

Организация обучения учащихся работе с понятиями ( в соответствии с

теорией поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина ).

формирование мотивации введения нового понятия; представление основного содержания подлежащего усвоению понятия в краткой схематической форме, т.е. создание ООД; организация работы учащихся с понятиями, позволяющей контролировать и ее ход, и ее результат; организация постепенного перехода от пошагового контроля к самоконтролю.

Основные приемы действий с определениями понятий

Подведение объекта под понятие – распознавание объектов, принадлежащих объему данного понятия, установление факта возможности называть объект связанным с понятием термином. Выведение следствий из определения понятия – наделение конкретного объекта, именуемого термином, связанным с понятием, всеми характеристическими свойствами понятия, выделенными в определении.

Система упражнений, направленная на формирование понятий

Задачи и упражнения – основное средство формирования понятий.

Системообразущий фактор

Этапы формирования понятия (система Г.И. Саранцева)

Структура понятийной познавательной деятельности (система М.А. Холодной)

Система задач Г.И. Саранцева

На мотивацию (практического характера); на построение объектов, удовлетворяющих выделенным свойствам; на распознавание объектов, принадлежащих объему понятия; на выделение следствий из определения понятия; на дополнение условий (для распознавания и выведения следствий)на составление родословной понятия; на применение понятий в разных ситуациях; на систематизацию понятий.

Система задач М.А. Холодной

На формирования способности к словесно-образному переводу разной степени общности; на выделение признаков усвояемого понятия; на включение изучаемого понятия в систему связей с другими понятиями; на развитие мыслительных операций. Лежащих в основе образования понятия; на подключение предметного опыта учащихся.

Благодарю за внимание