Занимательная математика Скачать
презентацию
<<  Ребусы Математические головоломки  >>
Парадокс дней рождения
Парадокс дней рождения
Утверждение
Утверждение
Утверждение парадокса дней рождения
Утверждение парадокса дней рождения
Вероятность несовпадения
Вероятность несовпадения
Вероятность
Вероятность
Значение этой функции
Значение этой функции
Вероятность совпадения дней рождения
Вероятность совпадения дней рождения
Вероятность выбрать строку
Вероятность выбрать строку
Вероятность совпадения
Вероятность совпадения
Парадокс дней рождения
Парадокс дней рождения
Близкие дни рождения
Близкие дни рождения
Спасибо за внимание
Спасибо за внимание
Слайды из презентации «Парадокс дней рождения» к уроку математики на тему «Занимательная математика»

Автор: . Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Парадокс дней рождения.pptx» бесплатно в zip-архиве размером 295 КБ.

Скачать презентацию

Парадокс дней рождения

содержание презентации «Парадокс дней рождения.pptx»
СлайдТекст
1 Парадокс дней рождения

Парадокс дней рождения

С точки зрения теории вероятностей

2 Утверждение

Утверждение

Парадокс дней рождения — утверждение, гласящее, что если дана группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения (число и месяц) совпадут, превышает 50 %. Для группы из 60 или более человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух её членов составляет более 99 %, хотя 100 % она достигает, только когда в группе не менее 366 человек (с учётом високосных лет — 367).

3 Утверждение парадокса дней рождения

Утверждение парадокса дней рождения

Ключевым моментом здесь является то, что утверждение парадокса дней рождения говорит именно о совпадении дней рождения у каких-либо двух членов группы. Одно из распространённых заблуждений состоит в том, что этот случай путают с другим — похожим, на первый взгляд, — случаем, когда из группы выбирается один человек и оценивается вероятность того, что у кого-либо из других членов группы день рождения совпадёт с днем рождения выбранного человека. В последнем случае вероятность совпадения значительно ниже.

4 Вероятность несовпадения

Вероятность несовпадения

Рассчитаем сначала, какова вероятность p (n) того, что в группе из n человек дни рождения всех людей будут различными. Если n > 365, то в силу принципа Дирихле вероятность равна нулю. Если же n ? 365, то будем рассуждать следующим образом. Возьмём наугад одного человека из группы и запомним его день рождения. Затем возьмём наугад второго человека, при этом вероятность того, что у него день рождения не совпадёт с днем рождения первого человека, равна 1 — 1/365. Затем возьмём третьего человека, при этом вероятность того, что его день рождения не совпадёт с днями рождения первых двух, равна 1 — 2/365. Рассуждая по аналогии, мы дойдём до последнего человека, для которого вероятность несовпадения его дня рождения со всеми предыдущими будет равна 1 — (n — 1)/365. Перемножая все эти вероятности, получаем вероятность того, что все дни рождения в группе будут различными:

5 Вероятность

Вероятность

Тогда вероятность того, что хотя бы у двух человек из n дни рождения совпадут, равна.

6 Значение этой функции

Значение этой функции

превосходит 1/2 при n = 23 (при этом вероятность совпадения равна примерно 50.7 %). Вероятности для некоторых значений n иллюстрируются следующей таблицей:

7 Вероятность совпадения дней рождения

Вероятность совпадения дней рождения

в группе можно также рассчитать с использованием формул комбигаторики. Представим, что каждый день года — это одна буква в алфавите из 365 букв. Дни рождения n человек могут быть представлены строкой, состоящей из n букв такого алфавита. Общее число таких строк равно.

Общее число строк, в которых буквы не повторяются, составит

8 Вероятность выбрать строку

Вероятность выбрать строку

Тогда, если строки выбираются случайно (с равномерным распределением), то вероятность выбрать строку, в которой хотя бы две буквы совпадут, равна.

для n ? 365 и p (n) = 1 для n > 365. Поскольку

То это выражение эквивалентно представленному выше.

9 Вероятность совпадения

Вероятность совпадения

Родившиеся в один день с заданным человеком.

Интересно сравнить вероятность p (n) с вероятностью того, что в группе из n человек у кого-либо день рождения совпадет с днём рождения некоторого заранее выбранного человека (не принадлежащего к этой группе). Эта вероятность равна:

Подставляя n = 23, получаем q (n) примерно 5.9 %, что лишь немногим лучше одного шанса из 17. Для того, чтобы вероятность совпадения дня рождения с заданным человеком превысила 50 %, число людей в группе должно быть не менее 253. Это число заметно больше, чем половина дней в году (365/2 = 182.5); так происходит из-за того, что у остальных членов группы дни рождения могут совпадать между собой, и это уменьшает вероятность совпадения одного из них с днём рождения заданного человека.

10
11 Близкие дни рождения

Близкие дни рождения

Таким образом, вероятность того, что даже в группе из 7 людей дни рождения хотя бы у двух будут различаться не более чем на неделю, превышает 50 %.

12 Спасибо за внимание

Спасибо за внимание

«Парадокс дней рождения»
http://900igr.net/prezentatsii/matematika/Paradoks-dnej-rozhdenija/Paradoks-dnej-rozhdenija.html
cсылка на страницу
Урок

Математика

67 тем
Слайды
Презентация: Парадокс дней рождения.pptx | Тема: Занимательная математика | Урок: Математика | Вид: Слайды