Уравнения Скачать
презентацию
<<  Уравнения 6 Линейное уравнение  >>
Ст
Ст
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения
ОДУ первого порядка
ОДУ первого порядка
Разделяют несколько типов (видов) обыкновенных дифференциальных
Разделяют несколько типов (видов) обыкновенных дифференциальных
Уравнения с разделёнными переменными
Уравнения с разделёнными переменными
Записываем уравнение в форме: затем делим на g(y) и умножаем на dx:
Записываем уравнение в форме: затем делим на g(y) и умножаем на dx:
Пример:
Пример:
Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными
Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными
Пример:                                                              -
Пример: -
Пример:
Пример:
Линейные уравнения
Линейные уравнения
Для решения уравнения представим y(x) в виде произведения двух новых
Для решения уравнения представим y(x) в виде произведения двух новых
Отметим, решая уравнение на v(x) мы не вводим в это решение
Отметим, решая уравнение на v(x) мы не вводим в это решение
Пример:     Решение: и общее решение уравнения
Пример: Решение: и общее решение уравнения
Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям
Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям
(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его
(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его
Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений Из первого
Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений Из первого
.
.
Задание: К какому типу относятся дифференциальные уравнения:
Задание: К какому типу относятся дифференциальные уравнения:
Дифференциальное уравнение
Дифференциальное уравнение
ОДУ высших порядков
ОДУ высших порядков
Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка
Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка
Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие
Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие
Пример: Понизить порядок уравнения:
Пример: Понизить порядок уравнения:
Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x
Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x
Спасибо за внимание
Спасибо за внимание
Слайды из презентации «Дифференциальное уравнение» к уроку математики на тему «Уравнения»

Автор: user. Чтобы увеличить слайд, нажмите на его эскиз. Чтобы использовать презентацию на уроке, скачайте файл «Уравнения 7.ppt» бесплатно в zip-архиве размером 102 КБ.

Скачать презентацию

Дифференциальное уравнение

содержание презентации «Уравнения 7.ppt»
СлайдТекст
1 Ст

Ст

преп., к.ф.м.н. Богданов Олег Викторович.

2010

2 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Пример: y(4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).

Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения если при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество.

3 ОДУ первого порядка

ОДУ первого порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

Где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция

Общее решение:

Пример: общее решение:

4 Разделяют несколько типов (видов) обыкновенных дифференциальных

Разделяют несколько типов (видов) обыкновенных дифференциальных

уравнений: -Уравнения с разделяющимися переменными, -Однородные уравнения, -Линейные уравнения, -Уравнение в полных дифференциалах, -и т.д. Остановимся подробнее на каждом из этих типов уравнений.

5 Уравнения с разделёнными переменными

Уравнения с разделёнными переменными

Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию.

f(x)dx + g(y)dy = 0,

Интегрируя, получим - общий интеграл (общее решение) этого уравнения.

Пример: - общее решение

6 Записываем уравнение в форме: затем делим на g(y) и умножаем на dx:

Записываем уравнение в форме: затем делим на g(y) и умножаем на dx:

Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

Это уравнение - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общий интеграл:

7 Пример:

Пример:

Выразим у из последнего выражения как функцию х, получим общее решение:

8 Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными

относительно новой неизвестной функции u(x) заменой:

Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов:

Подставляя в уравнение y = x·u, y ? = u + x·u ?, получим (это - уравнение с разделяющимися переменными), - это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u

9 Пример:                                                              -

Пример: -

общее решение уравнения.

10 Пример:

Пример:

Окончательно, получим общее решение:

11 Линейные уравнения

Линейные уравнения

ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная входят в уравнение в первой степени:

Здесь p(x), q(x) - непрерывные функции.

Пример:

12 Для решения уравнения представим y(x) в виде произведения двух новых

Для решения уравнения представим y(x) в виде произведения двух новых

неизвестных функций u(x) и v(x): y(x) = u(x)v(x). Тогда и уравнение приводится к виду: или Это уравнение решаем в два этапа: сначала находим функцию v(x) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными: затем находим u(x) из уравнения:

13 Отметим, решая уравнение на v(x) мы не вводим в это решение

Отметим, решая уравнение на v(x) мы не вводим в это решение

произвольную постоянную C, нам достаточно найти одну функцию v(x), обнуляющую слагаемое со скобками. Запоминать эту формулу не надо, лучше усвоить порядок действий и воспроизводить его при решении каждой задачи.

14 Пример:     Решение: и общее решение уравнения

Пример: Решение: и общее решение уравнения

15 Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям

Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям

(задача Коши), подставим в общее решение Решение задачи:

16 (P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его

(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его

левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие: Если - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна 0, т.е. принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x,y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

17 Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений Из первого

Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений Из первого

уравнения этой системы находим: с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x.

Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы (т.е. ), получим дифференциальное уравнение из которого можно найти .

18 .

.

Пример: найти общее решение уравнения

Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах.

19 Задание: К какому типу относятся дифференциальные уравнения:

Задание: К какому типу относятся дифференциальные уравнения:

20
21 ОДУ высших порядков

ОДУ высших порядков

Общим решением (общим интегралом) уравнения называется соотношение вида:

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

22 Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка

Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка

Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием.

Пример:

Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде : y = cos x + C1x3 + C2x2 + C3x + C4.

23 Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие

Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие

производные. Порядок уравнения вида F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n)) = 0, не содержащего функции y(x) и (k – 1) младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = y(k)(x). Тогда уравнение примет вид т.е. будет уравнением (n – k)-го порядка. После нахождения z(x) последовательным интегрированием решается уравнение y(k)(x)= z(x).

24 Пример: Понизить порядок уравнения:

Пример: Понизить порядок уравнения:

Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой функции: Тогда и уравнение примет вид

25 Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x

Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x

Порядок уравнения не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от y:

Пример: Понизить порядок уравнения:

Переменная x явно в уравнение не входит, поэтому полагаем , тогда . Просто сократить на p это уравнение нельзя, так как можно потерять семейство решений поэтому рассматриваем два случая:

26 Спасибо за внимание

Спасибо за внимание

«Дифференциальное уравнение»
http://900igr.net/prezentatsii/matematika/Uravnenija-7/Differentsialnoe-uravnenie.html
cсылка на страницу
Урок

Математика

67 тем
Слайды
Презентация: Дифференциальное уравнение | Файл: Уравнения 7.ppt | Тема: Уравнения | Урок: Математика | Вид: Слайды