Задачи С2 по математике

Решение задач типа С2

Факультативное занятие по теме «Решение задач типа С2» из сборника «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013» под редакцией Ф. Ф. Лысенко.

Улыбнись

Египетский царь

Однажды Египетский царь Птолемей I спросил древнегреческого математика Евклида, нет ли более короткого пути для понимания геометрии, чем тот, который описан в его знаменитом тринадцатитомном труде. Учёный гордо ответил: «В геометрии нет царской дороги!» ПтолемейI Евклид.

Навыки решения задач

Цели занятия:

отработать навыки решения задач С2 двумя способами, углубить, закрепить полученные знания; выбрать наиболее приемлемый для ЕГЭ способ решения задач С2.

Прямая, проведенная на плоскости

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Стороны основания

В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1.

Решение. Построим ребро двугранного угла. Для этого придется «выйти» за пределы призмы…

Точки В и О лежат в одной плоскости АВС, значит, можно их соединить отрезком. ВО – след секущей плоскости на плоскости грани АВСD.

D1

C1

FP является наклонной к плоскости ABC.

A1

3

B1

FC – перпендикуляр к плоскости ABC

CP – проекция отрезка FP на плоскость ABC.

Применим теорему о трех перпендикулярах.

E

5

2

C

D

2

А

2

В

Треугольники

В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1.

Треугольники FD1C1 и FOC подобны по двум углам. Составим пропорцию сходственных сторон.

D1

C1

A1

3

B1

E

5

2

C

D

2

А

2

2

В

Площадь

Мы уже решали задачу о нахождении высоты треугольника через площадь. Но можно применить и подобие треугольников ВОС и РОС (по двум углам: угол О – общий, углы ОСВ и ОРС – прямые).

Составим пропорцию сходственных сторон.

D1

2

C1

A1

3

B1

E

5

2

C

D

2

А

2

В

Алгоритм нахождения угла

между плоскостями (геометрический метод).

Построить сечения многогранника данными плоскостями. Определить искомый угол между плоскостями, используя ТТП или другие свойства геометрических фигур. Применить знания теорем и аксиом стереометрии и планиметрии. Найти острый угол прямоугольного треугольника.

Правильная четырехугольная призма

Дана правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а боковые ребра равны 10. На ребре АА1 отмечена точка N так, что AN:NA1=4:1. Найдите координаты точек, изображенных на рисунке.

Алгоритм составления уравнения плоскости

1.Записать уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0.

2.Найти координаты трех точек плоскости.

3. Подставить найденные координаты в уравнение плоскости.

4.Решить систему трех линейных уравнений, найти A,B,C.

5.Подставить A,B,C в уравнение плоскости.

Составить уравнение плоскости

проходящей через точки с заданными координатами:

А(0;0;0) , в(0;1;1) , с(1;1;0)

Запишите формулу

для нахождения косинуса угла между плоскостями.

Вектор нормали к плоскости

- это вектор, перпендикулярный данной плоскости (нормальный вектор).

n (A;B;C) n (i;j;k)

Боковые ребра

В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1.

Геометрический метод

Этапы решения:

Метод координат. Этапы решения:

1.Построили сечение, используя метод «следов».

1.Ввели систему координат..

2.Определили координаты точек плоскости, определили вектор нормали к плоскости.

2.Определили искомый угол, используя ТТП.

3.Составили уравнение плоскости.

3. Применили признак подобия треугольников.

4.Подставили полученные коэффициенты из уравнения плоскости в формулу косинуса угла:

4.Применили теорему Пифагора.

5.Нашли тангенс угла прямоугольного треугольника.

Алгоритм решения задач

координатно - векторным методом.

1.Ввести систему координат. 2.Определить координаты точек плоскости, определить вектор нормали к плоскости (если необходимо). 3.Составить уравнение плоскости. 4.Подставить полученные коэффициенты из уравнения плоскости в формулу косинуса угла:

Обучающая самостоятельная работа

(вариант №21, С2).

В кубе ABCD A1B1C1D1 найдите угол между плоскостями AB1C и CB1D1.

Домашнее задание

(вариант №3 С2).

В правильной четырехугольной призме ABCD A1B1C1D1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 5. На ребре DD1 отмечена точка F так, что DF:FD1=2:3. Найдите угол между плоскостями ABC и AFC1.

Улыбнись